2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题(学生版+解析)

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5565" 1、函数极值的第二判定定理： PAGEREF _Tc5565 \h 1
\l "_Tc8561" 类型一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc8561 \h 1
\l "_Tc8862" 类型二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc8862 \h 3
\l "_Tc23784" 类型三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc23784 \h 5
\l "_Tc13452" 类型四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc13452 \h 7
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
高频考点
类型一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
例题2．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，设，若恒成立，求的取值范围．
练透核心考点
1．（2024·四川遂宁·二模）已知函数．
(1)若在区间存在极值，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
2．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
类型二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·江西九江·二模）已知函数在处的切线方程为
(1)求a，b的值；
(2)判断的单调性.
例题2．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知，当，试比较与的大小，并给予证明．
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆铜梁·阶段练习）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.设是函数的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.求的拐点.
2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，函数在上的最大值为，求不超过的最大整数．
练透核心考点
1．（23-24高三下·山东潍坊·阶段练习）已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．
2．（2023·河南·三模）已知函数，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式的整数解的个数；
(3)当时，，求实数a的取值范围．
类型四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.
例题2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：．
练透核心考点
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有极值点，求证：.
2．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
第10讲：拓展三：通过求二阶导函数解决导数问题
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5565" 1、函数极值的第二判定定理： PAGEREF _Tc5565 \h 1
\l "_Tc8561" 类型一：利用二阶导数求函数的极值 PAGEREF _Tc8561 \h 1
\l "_Tc8862" 类型二：利用二阶导数求函数的单调性 PAGEREF _Tc8862 \h 7
\l "_Tc23784" 类型三：利用二阶导数求参数的范围 PAGEREF _Tc23784 \h 12
\l "_Tc13452" 类型四：利用二阶导数证明不等式 PAGEREF _Tc13452 \h 18
1、函数极值的第二判定定理：
若在附近有连续的导函数，且，
（1）若则在点处取极大值；
（2）若则在点处取极小值
2、二次求导使用背景
（1）求函数的导数，无法判断导函数正负；
（2）对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出.
（3）一阶导函数中往往含有或
3、解题步骤：
设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.
高频考点
类型一：利用二阶导数求函数的极值
典型例题
例题1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可证明；
（3）分和两种情况讨论，求出在附近的单调区间，即可求解.
【详解】（1）设，则.
当时，：当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3），则
，设，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在上单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增,
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分和两种情况，利用导数判断附近的单调性.
例题2．（23-24高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调区间；
(2)当时，设，若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，分离参数，然后构造函数，求导可得，转化为最值问题，即可得到结果.
【详解】（1）定义域为，，
①当时，恒成立，在上单调递减
②当时，
综上所述，当时，的单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）恒成立，
所以恒成立，设，
则，
设，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，所以当时，恒成立，
当时，递增，当时，递减，
所以，
由恒成立得，
所以的取值范围为.
练透核心考点
1．（2024·四川遂宁·二模）已知函数．
(1)若在区间存在极值，求的取值范围；
(2)若，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对分类讨论研究单调性后，结合极值的定义计算即可得；
（2）设，原问题即为在时恒成立，多次求导后，对时及时分类讨论，结合零点的存在性定理与函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由，得，
当时，，则单调递增，不存在极值，
当时，令，则，
若，则，单调递减；
若，则，单调递增，
所以是的极小值点，
因为在区间存在极值，则，即，
所以，在区间存在极值时，的取值范围是；
（2）由在时恒成立，
即在时恒成立，
设，则在时恒成立，
则，
令，则，
令，则，
时，，则，时，，则，
所以时，，则即单调递增，
所以，则即单调递增，
所以，
①当时，，故，，则单调递增，
所以，
所以在时恒成立，
②当时，，
，
故在区间上函数存在零点，即，
由于函数在上单调递增，则时，，
故函数在区间上单调递减，
所以，当时，函数，不合题意，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于多次求导后，得到，从而通过对及进行分类讨论.
2．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值点，即可得解；
（2）依题意即证明在时恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
（2）欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
类型二：利用二阶导数求函数的单调性
典型例题
例题1．（2024·江西九江·二模）已知函数在处的切线方程为
(1)求a，b的值；
(2)判断的单调性.
【答案】(1)，
(2)在上单调递增
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助导数的导数研究导数的最值后即可得原函数的单调性.
【详解】（1），由题意可得，，
则，可得，
，
即，；
（2），，
令，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即，
故在上单调递增.
例题2．（23-24高二下·广东清远·阶段练习）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)已知，当，试比较与的大小，并给予证明．
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【分析】
（1）先求出的导函数，再对分类讨论，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）构造函数，求出函数的导函数，再令，利用导数分析的单调性，从而得到函数的最值，从而得证.
【详解】（1）因为，定义域为，
所以，
当时，，所以的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，令，得；令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），证明如下：
当时，，又，
令，
则，
令，则，又，
所以函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得，
且时，；时，，
即时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，而，即，
两边取对数得，
所以，故在上恒成立.
练透核心考点
1．（23-24高二下·重庆铜梁·阶段练习）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.设是函数的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.求的拐点.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减，极大值为26，极小值为；
(2)
【分析】
（1）根据题意，由条件结合二阶导数的定义可得，然后求导即可得到单调区间以及极值；
（2）根据题意，求函数二阶导数可得，然后构造函数转化为零点问题，即可求解.
【详解】（1）
，，
由题意得，即，解得，
且，即，解得，
故，
所以，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，极小值为；
（2）
，
由于，，故，即的定义域为，
，
，
令得，，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，由零点存在性定理知，有唯一的零点，
故，即时，满足，
当时，，
故的拐点为
2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求证：；
(2)当时，函数在上的最大值为，求不超过的最大整数．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）令，利用导数证明即可；
（2）利用导数求的最大值，得不超过的最大整数．
【详解】（1）令，
则，
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
则，
所以，即.
（2）当时，，
，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
时，，则函数单调递减，
又，，，
所以存在唯一的，使，即，
所以当时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴，
，
又，所以，
所以不超过的最大整数为.
类型三：利用二阶导数求参数的范围
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；
（2）将不等式转化为恒成立，构造函数，，然后求其最小值即可；
（3）将不等式转化为恒成立，构造函数，然后求导研究其最值即可.
【详解】（1）由已知，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
设，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以当时，恒成立；
（3）当，时，，
令，，则，
令，则，所以在上单调递增，
令，得，令，得，
当，即时，在上单调递增，
所以，即恒成立，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合恒成立，
所以，
所以当时，恒成立，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明在上恒成立，然后再设新函数，利用导数得到范围.
例题2．（23-24高三下·江西·阶段练习）记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)存在，
(3)3
【分析】（1）根据题意，求得，结合新定义，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，进而得到，进而新定义，即可求解；
（3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解.
【详解】（1）解：令，则，
当时，；当时，，
所以当时，函数在区间上具有性质；
当时，函数在区间上不具有性质．
（2）解：因为，所以，
因为在处取得极值，且为奇函数，
所以在处也取得极值，则，解得，
所以，可得，
当时，令，解得；令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，满足在处取得极值，
所以，
当时，恒成立，
所以，存在实数，使得在区间上具有性质，且的取值范围是．
（3）解：因为，所以，即，
令，则，
令，则，
当时，在区间上单调递增，
又因为，
所以存在，使，
因为当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为，
由，有，
所以，
因为，所以，
又因为恒成立，所以，
因为且，所以的最大值为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
练透核心考点
1．（23-24高三下·山东潍坊·阶段练习）已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）求得，转化为在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，得出函数的单调性和最大值，即可求解.
（2）当时，得到且，当时，只需使得，利用导数求得单调递增，得到；当时，显然满足；当时，由和，得到，即可得证.
【详解】（1）
由函数，可得，
因为在R上单调递增，可得在R上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以当时，函数取得极大值，最大值，所以，
即实数a的取值范围为.
（2）
当时，，可得
可得，要使得，只需使得，
当时，令，可得，
所以在上单调递增，
又由，所以，所以在上单调递增，
所以；
当时，可得且，所以，满足；
当时，可得，因为且，
所以，所以，
综上可得，对于，都有.
【点睛】
关键点睛：本题考查导数的综合应用，根据函数的单调性求解参数范围以及利用导数证明不等式，解答的关键是将证明时，不等式成立，转化为证明，然后分类讨论x的取值范围，结合函数单调性，即可证明结论.
2．（2023·河南·三模）已知函数，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式的整数解的个数；
(3)当时，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】
（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，继而可解；
（2）利用导数考查函数的单调性，确定零点所在区间即可求解；
（3）变形不等式，参变分离后，利用换元法变形不等式，利用导数考查函数的单调性即可求解.
【详解】（1），所以，又
所以该曲线在点P处的切线方程为:，即
（2）的定义域为，，
当时，，单调递增；
当，，单调递减．
又，，
，，
所以，不等式的整数解的个数为3．
（3）不等式
可整理为，
令，，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，又，
所以令，则
令，
则
令，
则
令，，
则，，
所以单调递减，，
所以，单调递减，，
所以，
所以，
所以单调递减，
所以.
【点睛】
方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
类型四：利用二阶导数证明不等式
典型例题
例题1．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知（e为自然对数的底数）
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，恒成立；
(3)已知，如果当时，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求导，然后利用导数的几何意义求切线方程；
（2）将不等式转化为恒成立，构造函数，，然后求其最小值即可；
（3）将不等式转化为恒成立，构造函数，然后求导研究其最值即可.
【详解】（1）由已知，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
设，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以当时，恒成立；
（3）当，时，，
令，，则，
令，则，所以在上单调递增，
令，得，令，得，
当，即时，在上单调递增，
所以，即恒成立，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合恒成立，
所以，
所以当时，恒成立，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是等价转化为证明在上恒成立，然后再设新函数，利用导数得到范围.
例题2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
证．
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较：
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．
（3）适当放缩证明不等式：
导数方法证明不等式中，最常见的是和与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对和进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1) ，当且仅当时取等号．(2)，当且仅当时取等号．
练透核心考点
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有极值点，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数，分类讨论求的单调性
（2）由（1）中的结论，得极值点的值，代入函数解析式，构造新函数，利用导数求出最大值即可.
【详解】（1），函数定义域为，
则有，
设，函数定义域为，
由函数和在上都单调递增，则在上单调递增，
又，则时，；时，，
（i）若，时，单调递减，和时，单调递增；
（ii）若，，在上单调递增；
（iii）若，时，单调递减，和时，单调递增.
综上可得，
时在上单调递减，在和上单调递增；
时在上单调递增；
时在上单调递减，在和上单调递增.
（2）由（1）知在上有极值点，则，且，
所以，
设，则，
设，则，
由，有，，
所以，则在上单调递减，得，
所以在上单调递减，
有，即.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.
2．（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值点，即可得解；
（2）依题意即证明在时恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
（2）欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
+
单调递减
单调递增