2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第15讲：拓展八：定义题(解答题)(学生版+解析)

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(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
(1)用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；
(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求：
①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程.
3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
(1)判断函数和是否具有关系；
(2)若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
7．（2024·广东茂名·一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
8．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．
(1)求，的关系式并求的单调减区间；
(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．
9．（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题：
(1)分别求在区间、上的平均变化率；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
10．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
第15讲：拓展八：定义题（解答题10大题）
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．
(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；
(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．
【答案】(1)函数在上是“上凸函数”，理由见解析
(2)
(3)证明过程见解析
【分析】（1）求导得，令，只需判断在上是否恒成立即可；
（2）由题意设，则恒成立，即当时，恒成立，从而分类讨论、分离参数即可求解；
（3）构造函数，则，借助“上凸函数”的定义即可得证.
【详解】（1）由题意，，令，
则，当时，，
即此时，所以即单调递减，
从而由定义可知函数在上是“上凸函数”；
（2）因为，
所以，设，
则，
由题意函数是其定义域上的“上凸函数”，
所以单调递减，
从而当时，恒成立，
即当时，恒成立，
当时，不等式左边为，不等式成立，此时任意，
当时，恒成立，
而此时，
所以此时，
当时，恒成立，
而此时，等号成立当且仅当，
即此时，所以，
综上所述，的取值范围为；
（3）设为曲线上的任意一点，过点的切线方程为，
令，则，
函数是定义在上的“上凸函数”，则单调递减，
所以当时，，此时单调递减，
所以，，
当时，，此时单调递增，
所以，，
综上所述，除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方.
【点睛】关键点点睛：关键是得到当时，恒成立，由此即可顺利得解.
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.
(1)用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；
(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求：
①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；
②紧急刹车后至停止火车运行的路程.
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）先利用定积分的定义表示出所围图形的面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式进行积分运算，最后利用配方法即可得解
（2）①求导得瞬时速度；
②令，解得的值即为从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间，紧急刹车后火车运行的路程是从0到10对函数的定积分．
【详解】（1）
，
当时，由曲线围成的图形面积最小．
（2）①，则，
故火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率为；
②当火车的速度时火车完全停止，即，
，解得或（舍去）；
即从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为．
根据定积分的物理意义，紧急刹车后火车运行的路程就是从0到10对应函数
的定积分，
，
即紧急刹车后火车运行的路程为．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解决问题关键是熟记导数运算公式得到积分表达式.
3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
(1)判断函数和是否具有关系；
(2)若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．
【答案】(1)与具有关系；
(2)．
【分析】
（1）依据给定的新定义结合导数判断即可.
（2）令，得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，后结合给定定义求解参数范围即可.
【详解】（1）
与具有关系．
理由如下：根据定义，若在与的定义域的交集上存在，
使得，则与具有关系．令，，
则，所以单调递增，又，，
所以，使得，即，即与具有关系．
（2）
令，则，因为与在上具有关系，
所以在上存在零点．，若，
当时，因为，，所以，
即在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意．若，
当时，，，
当时，设，则，
所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，
设零点为，则，所以当时，；
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上存在唯一极小值，因为，所以，
又，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有关系．
综上所述，，即实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是得出所以在上存在零点且．在上单调递增，推出，然后利用给定定义得到所要求的参数范围即可．
4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.
(1)若函数，求函数图象的对称中心；
(2)已知函数，其中.
（ⅰ）求的拐点；
（ⅱ）若，求证：.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】
（1）根据“拐点”的定义，对函数求导即可得结果，
（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数求导，构造函数，利用导数得出结果；（ⅱ）由（ⅰ）可知，求出函数在上单调递增且，从而得证.
【详解】（1）因为，所以，
所以.令，解得，又，
所以函数的“拐点”为，
所以函数图象的对称中心为.
（2）（ⅰ）因为，，
所以，
，且，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，又，
由零点存在性定理知，有唯一的零点，
所，且，当时，，
所以的拐点为.
（ⅱ）证明：由（i）可知，在上单调递增，，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，
∴在上恒成立，∴在上单调递增，
又，，
所以.
【点睛】思路点睛：根据“拐点”的定义求出函数对称中心，利用二次求导得出函数的单调性即可得证.
5．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．
(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；
(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；
(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）记，设切点为，利用导数的几何意义求出，再证明直线与的图象只有唯一的公共点，将与函数联立，得，记，利用导数说明函数的单调性，即可得到方程的解．
（2）将点处的切线的方程与联立得，记，利用导数说明函数存在唯一零点，即可得证；
（3）类似第（2）问的思路得到在上有且仅有一解，则或，再分、两种情况说明即可.
【详解】（1）记，则，设切点为，
由切线方程为知，则，解得．
所以切点为，下面证明直线与的图象只有唯一的公共点，
将与函数联立，得．
记，则，
当时，当时，
故在上单调递增，在上单调递减，，
故函数只有一个零点，故是一条“切线”；
（2）因为，所以，
则点处的切线方程为，
将点处的切线的方程与联立得，
记，
则直线为“切线”函数有且仅有一个零点（此时，一个对应一条“切线”），显然是的零点，
故只要没其它零点，此时，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故此时为唯一的极小值点（也是最小值点），而，
故无其他零点，故直线为“切线”，因为的任意性，
故函数存在无穷多条“切线”，
（3）因为，则，
设点在函数的图象上，
则点的切线为，与联立得：
，
由题意得直线为“切线”，故方程在上有且仅有一解，
则或，
若，则是方程的唯一解（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值）．
若，则（此时只有一条“切线”，切点的横坐标为）
或（此时有无数条“切线”，切点横坐标为上的任意值），
综上，，即证．
【点睛】关键点睛：对于新定义问题的关键是理解定义，将问题转化为方程有唯一解问题.
6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，
（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数，即可求解，
（3）根据的单调性，即可令求解.
【详解】（1），
则，
所以，又因为，所以切线方程为.
（2），，
，
令，令，
，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增.
（3）由（2）知，令，得，
由（2）知在上单调递增.
所以在上单调递增，
当时，，即.
当时，
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
7．（2024·广东茂名·一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.
(1)若，判断是否为上的“3类函数”；
(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.
【答案】(1)是上的“3类函数”，理由见详解.
(2)
(3)证明过程见详解.
【分析】
（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明即可；
（2）由已知条件转化为对于任意，都有，，只需且，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分和两种情况进行证明，，用放缩法进行证明即可.
【详解】（1）对于任意不同的，
有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”.
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，
由可转化为，令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故.
（3）因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因为，
，
综上所述，，，.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立或恒成立；②数形结合（的图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
8．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．
(1)求，的关系式并求的单调减区间；
(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；
(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：
当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．
【答案】(1)，减区间见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由得，则，结合即可求解；
（2）将原方程转化为，得，结合零点的存在性定理即可证明；
（3）令，由拉格朗日中值定理可知存在使，结合列不等式，即可证明.
【详解】（1）因为，
由已知有，所以即，
即，由知．
当时，由得，则的减区间为，
当时，由得或，的减区间为和，
综上所述：当时，的减区间为；
当时，的减区间为和；
（2），
可化为，
令，
则，，
即，
又，所以，，即，
由零点的存在性定理知方程在区间,内必有解，
即关于的方程在,恒有实数解
（3）令，，
则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，
使，
所以在时恒成立，
对于函数，，
设任意且，则，
因为且，所以，，则，
所以，即在上恒成立，
所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减，
所以当时，所以.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是参变分离得到在时恒成立，结合所给定义证明函数，的单调性.
10．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)
(3)①证明见解析；②假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列，理由见解析．
【分析】
（1）求导得，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为当时，恒成立，求导得，然后分，以及讨论，即可得到结果；
（3）①根据题意，构造函数，求导可得在恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在.
【详解】（1）当时，，，
令，则，解得或，
当时，；
当时，；
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），
令，依题意，当时，恒成立，
由，得，，
又因为，所以，
当时，，所以在单调递增，
，不合题意；
当时，令，解得，
当时，；当时，；
所以在单调递增，在单调递减．
若要使恒成立，则需，解得，
故此时；
当时，，
所以在单调递减，
所以，符合题意；
综上，实数a的取值范围为．
（3）①，，故，
构造函数，
，则
函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即．
②，则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，
故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，无正整数解．
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合，难度较大，解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念，再由导数与数列的知识进行解答.