江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌八上数学第3周创优班数学试题【含答案】

这是一份江苏省苏州市吴中区临湖实验中学2024-2025学年‌八上数学第3周创优班数学试题【含答案】，共12页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝ ．
2．已知y＝x﹣1，那么x2﹣2xy+3y2﹣2的值是 ．
3．实数x，y，z满足|2x﹣6|+|y+1|++x2+z2＝2+2xz，则x+y﹣z＝ ．
4．若的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数，这样的正整数n共有 个．
5．已知a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，且a≠b，则+＝ ．
6．设p是奇数，则方程2xy＝p（x+y）满足x＜y的正整数解是 ．
7．如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒，经过 秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．
8．若x＝ab，y＝a2+b2，则+＝ ．
9．从1，4，7……295，298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有 个．
10．有正数解，则m的取值范围 ．
11．已知a是正实数，则a+的最小值等于 ．
12．正数360共有 个正因数．
13．小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 ．
14．计算：＝ ．
15．满足方程：+＝1的正整数有序数对（m，n）个数为 ．
16．平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45°得到正方形A′B′C′D′，那么这两个正方形重叠部分的面积为 ．
17．请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案） ．
18．设A（0，﹣2），B（4，2）是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C（1，5）的距离等于2，则点P的坐标为 ．
19．方程组的解为 ．
二．解答题（共3小题）
20．＝＝时，求的值．
21．锐角△ABC中AD，BE，CF分别为BC，AC，AB边上的高，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，BD＝x，EC＝y，AF＝z
①用a，b，c表示x；
②当a，b，c满足什么关系时，有2（x+y+z）＝a+b+c．
22．证明：不是有理数．
参考答案与试题解析
一．填空题（共19小题）
1．【解答】解：x3﹣6x2+11x﹣6
＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6
＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）
＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）
＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]
＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
2．【解答】解：∵y＝x﹣1，∴x2﹣2xy+3y2﹣2＝（x2﹣6xy+9y2）﹣2＝（x﹣3y）2﹣2＝×9﹣2＝1．
3．【解答】解：∵，
∴，
∵x的取值范围大于等于4，
∴|2x﹣6|⩾2，
又∵|y+1|⩾0，
∴
当x＝4时等号成立，此时y＝﹣1，z＝x＝4，
∴x+y﹣z＝﹣1，
当y＝0时，2x＝5或7，
∴x＝2.5或3.5，此时z＝2.5或3.5，
∴x+y﹣z＝0，
故答案为：﹣1或0．
4．【解答】解：1001﹣3＝998，
998＝2×499，
故n+3＝499或998．
故正整数n共有2个．
故答案为：2．
5．【解答】解：∵a2＝7﹣3a，b2＝7﹣3b，
∴a、b为方程x2+3x﹣7＝0的两个根，
∴a+b＝﹣＝﹣3，ab＝＝﹣7．
＝＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
6．【解答】解：p为奇数，则有p＝2k+1，其中k为正整数，
2xy＝p（x+y），
＝，
则＝﹣，
∵x＜y，
∴当x＝k+1＝时，必然有＝﹣，
y＝（2k+1）（k+1）＝．
故答案为：．
7．【解答】解：设运动时间为t秒，
依题意，得：10t﹣7t＝100×3﹣100，
解得：t＝．
∵×10÷100＝＝6，×7÷100＝＝4，
∴当t＝时，乙点在AD边上，甲点在AB边上．
∵乙的速度10米/秒＞甲的速度7米/秒，
∴当点乙继续运动到点A时，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边AB上，
∴（6+1）×100÷10＝70（秒）．
故答案为：70．
8．【解答】解：+＝|x+y|+|x﹣y|
∵y﹣x＝a2﹣ab+b2
＝（a2﹣ab+b2）+b2
＝（a﹣）2+b2≥0，
∴a2﹣ab+b2≥0
即y﹣x≥0
∵x+y＝a2+ab+b2
＝（a2+ab+b2）+b2
＝（a+）2+b2≥0，
∴a2+ab+b2≥0
即y+x≥0
所以原式＝x+y+y﹣x
＝2y
＝2a2+2b2
故答案为：2a2+2b2
9．【解答】解：1+4＝5，
295+298＝593，
和是隔3的自然数，
n＝（593﹣5）÷3+1＝588÷3+1＝197．
故答案为：197．
10．【解答】解：
当m＝0时，x有任意解．
当m＞0时，
由①得，x＜，
由②得，x＜，
所以得到不等式组
解得0＜m＜3；
当m＜0时，
由①得，x＞，
由②得，x＞，
不等式组 总有正数解；
故答案为0＜m＜3或m≤0．
11．【解答】解：因为a是正实数，
所以a+＝（﹣）2+2，
因为（﹣）2≥0，
所以（﹣）2+2≥2（当且仅当＝时取“＝”）．
所以a+≥2．
所以a+的最小值等于2．
故答案为：2．
12．【解答】解：360＝23×32×51，
因此共有（3+1）×（2+1）×（1+1）＝4×3×2＝24个约数，
分别是：1，2，3，4，5，6，
8，9，10，12，15，18，
20，24，30，36，40，45，
60，72，90，120，180，360，
故答案为：24
13．【解答】解：分别用A，B，C，D表示4个同学的作业本，画树状图得：
∵共有24种等可能的结果，他把每个同学的本子都发错的有9种情况，
∴他把每个同学的本子都发错的概率是：＝．
故答案为：．
14．【解答】解：原式＝
＝
＝﹣．
故答案为﹣．
15．【解答】解：∵不定方程+＝1，
∴4n+2m＝mn，
可知m＞4，n＞2，
当m＝5，n＝10，
当m＝6，n＝6，
当m＝7，n不是整数，
当m＝8，n＝4，
当m＝12，n＝3．
故方程：+＝1的正整数有序数对为：（5，10），（6，6），（8，4），（12，3），共4个．
故答案为：4．
16．【解答】解：如图所示：
设AE＝AF＝x，则EF＝．
根据题意可知：AE+EL+LD＝1，即2x+＝1．
解得：x＝．
∴AE＝．
∴△AEF的面积＝．
∴重合部分的面积＝正方形的面积﹣4×△AEF的面积＝1﹣4×＝2．
故答案为：2．
17．【解答】解：答案如下：
故答案为：6，7，2；1，5，9；8，3，4．
18．【解答】解∵A（0，﹣2），B（4，2），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y＝﹣x+2，
∵点P在直线y＝﹣x+2上，
∴可以假设P（m，﹣m+2），
∵PC＝2，C（1，5），
∴（m﹣1）2+（﹣m﹣3）2＝8，
解得m＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
故答案为（﹣1，3）．
19．【解答】解：，
①+②得：531（x+y）＝4，即x+y＝③，
①﹣③×217得：97y＝2﹣，
解得：y＝，
将y＝代入③得x＝，
则方程组的解为．
故答案为：
二．解答题（共3小题）
20．【解答】解：因为＝＝，
所以
整理，得
①﹣②，得4x﹣2y＝0
即：y＝2x
所以＝＝
21．【解答】解：①∵在锐角△ABC中AD，BE，CF分别为BC，AC，AB边上的高，
∴在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∵BC＝a，AC＝b，AB＝c，BD＝x，
∴c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
解得：x＝，
故用a，b，c表示x为：x＝；
②由①可得x＝，
同理可求y＝，z＝，
若2（x+y+z）＝a+b+c．
∴+＝a+b+c，
∴﹣+b+﹣+a+﹣+c＝a+b+c，
∴a3（c﹣b）+c3（b﹣a）+b3（a﹣c）＝（a﹣b）（c﹣b）（c﹣a）（a+c+b）＝0，
∴当b＝c或b＝a或a＝c时，有2（x+y+z）＝a+b+c．
22．【解答】证明：假设是有理数，
故可以表示为（a，b均为整数且互质），
则a2＝2b2，
因为2b2是偶数，
所以a2是偶数，
所以a是偶数，
设a＝2c，
则4c2＝2b2，b2＝2c2，
所以b也是偶数，这和a，b互质矛盾．
所以是无理数．未经 6
7
2
1
5
9
8
3
4