江苏省无锡市积余中学2024年数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份江苏省无锡市积余中学2024年数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）当分式有意义时，字母x应满足（ ）
A．x≠1B．x＝0C．x≠－1D．x≠3
2、（4分）我市某一周每天的最高气温统计如下（单位：℃）：27，28，1，28，1，30，1．这组数据的众数与中位数分别是（ ）．
A．28，28B．28，1C．1，28D．1，1
3、（4分）菱形对角线不具有的性质是( )
A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等D．对角线互相平分
4、（4分）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．无法确定
5、（4分）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7、（4分）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB+∠BCD＝180°
8、（4分）若代数式有意义，则x的取值是（ ）
A．x＝2B．x≠2C．x＝3D．x≠﹣3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）数据,,,的平均数是4，方差是3,则数据,,,的平均数和方差分别是_____________．
10、（4分）将一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为_____．
11、（4分）苏州市2017年6月份最后六大的最高气温分别为31，34，36，27，25，33（单位：℃）．这组数据的极差是_____．
12、（4分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C，A’B’交AC于点D，若∠A’DC=90°，则∠A= °.
13、（4分）如图,已知：∠MON=30°,点A 、A 、A…在射线ON上,点B、B、B…在射线OM上,△ABA、△ABA、△ABA …均为等边三角形,若OA=1,则△A BA 的边长为____
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？
②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？
15、（8分）将一矩形纸片放在直角坐标系中，为原点，点在轴上，点在轴上，.
（1）如图1，在上取一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，求直线的解析式；
（2）如图2，在边上选取适当的点，将沿折叠，使点落在边上的点处，过作于点，交于点，连接，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）、在（2）的条件下，若点坐标，点在直线上，问坐标轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由.
16、（8分）化简或解方程：
（1）化简：
（2）先化简再求值：，其中.
（3）解分式方程：.
17、（10分）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠. 书包每个定价20元，水性笔每支定价5元. 小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）. 设购买费用为元，购买水性笔支.
（1）分别写出两种优惠方法的购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式；
（2）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.
18、（10分）母亲节前夕，某商店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元．
（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？
（3）根据市场行情，销售一个A钟礼盒可获利12元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____．
20、（4分）如图，已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P(﹣4，﹣2)，则关于x的不等式ax+b≤kx＜1的解集为______.
21、（4分）如图，中，，平分，点为的中点，连接，若的周长为24，则的长为______.
22、（4分）若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为_____．
23、（4分）不等式组的解集是，那么的取值范围是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
25、（10分）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
26、（12分）已知：如图，四边形中，、、、分别为、、和的中点，且.
求证：和互相垂直且平分.

参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
分式有意义，分母不为零．
【详解】
解：当，即时，分式有意义；
故选：A．
本题考查了分式有意义的条件．（1）若分式无意义，则分母为零；（2）若分式有意义，则分母不为零．
2、D
【解析】
根据中位数和众数的定义，先将这组数据按顺序依次排列，取中间的那个数即为中位数，取出现次数最多的那个数即为众数；
【详解】
众数：1；中位数：1；
故选：D.
本题主要考查众数和中位数的定义，熟练掌握相关的定义是求解本题的关键.
3、C
【解析】
菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴， 故选C.
4、B
【解析】
解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，
解得：m=﹣1．
故选B
5、B
【解析】
移项、方程两边同时加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式进行配方即可.
【详解】
移项,得：
配方,
即,
故选B.
考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数形式.
6、C
【解析】
根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【详解】
设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝1．
故选：C．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
7、D
【解析】
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
【详解】
解:
四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
，，
四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点分别作，边上的高为，．则
（两纸条相同，纸条宽度相同）；
平行四边形中，，即，
，即．故正确；
平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
，（菱形的对角相等），故正确；
，（平行四边形的对边相等），故正确；
如果四边形是矩形时，该等式成立．故不一定正确．
故选：．
本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．
8、D
【解析】
试题解析：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠-3，
故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、41，3
【解析】
试题分析：根据题意可知原数组的平均数为，方差为=3，然后由题意可得新数据的平均数为，可求得方程为.
故答案为：41，3.
10、y＝2x
【解析】
根据上加下减，左加右减的法则可得出答案
【详解】
一次函数y＝2x﹣3的图象沿y轴向上平移3个单位长度变为：
y＝2x﹣3＋3＝2x
此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质
11、32
【解析】
根据极差的定义进行求解即可得答案．
【详解】
这组数据的最大值是36，最小值是25，
这组数据的极差是：36﹣25=1（℃），
故答案为1．
本题考查了极差，掌握求极差的方法是解题的关键，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
12、55.
【解析】
试题分析：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A’B’C
∴∠ACA’=35°，∠A =∠A’，.
∵∠A’DC=90°，
∴∠A’ =55°.
∴∠A=55°.
考点：1.旋转的性质；2.直角三角形两锐角的关系.
13、32
【解析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AB∥AB∥AB，以及AB=2BA，得出AB=4BA=4，AB=8BA=8，AB=16BA…进而得出答案．
【详解】
∵△ABA是等边三角形，
∴AB=AB,∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°−120°−30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°−60°−30°=90°,
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA=AB=1，
∴AB=1，
∵△ABA、△BA是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°,∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴AB∥AB∥AB，
∴∠1=∠6=∠7=30°,∠5=∠8=90°，
∴AB=2BA, AB=4BA，
∴AB=4BA=4，
AB=8BA=8，
AB=16BA=16，
以此类推：A B=32 BA=32.
故答案为：32
此题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AB∥AB∥AB
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．理由见解析；②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由见解析.
【解析】
（1）先证△GED≌△GFC，推出DE＝CF和DE∥CF，再根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①作AP⊥BC于P，先证明△ABP≌△CDE，然后求出DE的值即可得出答案；②先证明△CDE是等边三角形，然后求出DE的值即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEF＝∠CFE，∠EDC＝∠FCD，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
∴△GED≌△GFC，
∴DE＝CF，DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．
理由：作AP⊥BC于P，
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴AP=CE，
又∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4cm，
则△ABP≌△CDE（HL），
∴BP=DE，
∵AB＝4cm，∠B＝60°，
∴BP＝AB×cs60°=4×=2（cm），
∴BP=DE=2cm，
又∵BC=AD=6cm，
∴AE=AD-DE=6-2=4（cm）；.
②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．
理由：∵平行四边形CEDF是菱形，
∴DE＝CE，
又∵∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4cm，DE=CD=4cm，
∵BC=AD=6cm，
则AE=AD-DE=6-4=2（cm）.
本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及三角函数应用，注意：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
15、（1）；（2）四边形为菱形，理由详见解析；（3）以为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或或
【解析】
（1）根据题意求得点E的坐标，再代入，把代入得到，即可解答
（2）先由折叠的性质得出，由平行线的性质得出 ，即四边形为菱形.
（3）为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标或或.
【详解】
解：（1）如图1中，
，是由翻折得到，
，
在中，，
，设，
在中，，解得，
，
设直线的解析式为，把代入得到，
直线的解析式为.
（2）如图2中，四边形为菱形，
理由：是由翻折得到，
，.
，
，而
.四边形为菱形.
（3）以为顶点的四边形是平行四边形时，
点坐标或或.
本题考查四边形综合，根据题意做辅助线和判断等量关系列出方程是解题关键.
16、（1）（2）（3）
【解析】
(1)先通分，然后利用同分母分式加减法的法则进行计算即可；
(2)括号内先通分进行分式加减法运算，然后再进行分式乘除法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可；
(3)方程两边同时乘以(x+2)(x-2)，化为整式方程后解整式方程，然后进行检验即可.
【详解】
(1)原式
=
；
(2)原式
=
=，
当，时，原式；
(3)两边同时乘以(x+2)(x-2)，得：
，
解得：，
检验：当时，(x+2)(x-2)≠0，
所以x=10是原分式方程的解．
本题考查了分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握分式混合运算的法则是解(1)(2)的关键，掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解(3)的关键.
17、（1）方法①；方法②；（2）方案①购买更省钱，理由见解析
【解析】
（1）分别表示两种优惠方法的费用与购买水笔的只数之间的关系，
（2）分别求出两种方案下当x=12时y的值，比较并做出判断．
【详解】
解：（1）方法①：，即；
方法②：，即
（2）按方法①购买需要元；
按方法②购买需要元
答：按照方案①购买更省钱
考查一次函数的图象和性质、根据题意写出函数关系式是解题的关键．
18、（1）A种礼盒单价为90元，B种礼盒单价为120元;（2）见解析;（3）1320元．
【解析】
（1）利用A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，得出等式求出即可；
（2）利用两种礼盒恰好用去9900元，结合（1）中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；
（3）首先表示出店主获利，进而利用w，m关系得出符合题意的答案．
【详解】
（1）设A种礼盒单价为3x元，B种礼盒单价为4x元，
则：3x+4x＝210，
解得x＝30，
所以A种礼盒单价为3×30＝90元，
B种礼盒单价为4×30＝120元．
（2）设A种礼盒购进a个，购进B种礼盒b个，
则：90a+120b＝9900，
可列不等式组为：，
解得：30≤a≤36，
因为礼盒个数为整数，所以符合的方案有2种，分别是：
第一种：A种礼盒30个，B种礼盒60个，
第二种：A种礼盒34个，B种礼盒57个．
（3）设该商店获利w元，由（2）可知：w＝12a+（18﹣m）b，a=110-，
则w＝（2﹣m）b+1320，
若使所有方案都获利相同，则令2﹣m＝0，得m＝2，
此时店主获利1320元．
此题主要考查了一元一次方程的应用以及一次函数的应用和一元一次不等式的应用，根据题意结合得出正确等量关系是解题关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
将点A的横坐标代入y＝6﹣x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y＝kx可得k．
【详解】
解：设A（1，m）．
把A （1，m）代入y＝6﹣x得：m＝﹣1+6＝4，
把A （1，4）代入y＝kx得4＝1k，解得k＝1．
故答案是：1．
本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
20、﹣4≤x＜1
【解析】
先利用待定系数法求出y＝kx的表达式，然后求出y＝1时对应的x值，再根据函数图象得出结论即可．
【详解】
解：∵已知一次函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P(﹣4，﹣1)，
∴﹣4k＝﹣1，
解得：k＝，
∴解析式为y＝x，
当y＝1时，x＝1，
∵由函数图象可知，当x≥﹣4时一次函数y＝ax+b在一次函数y＝kx图象的下方，
∴关于x的不等式ax+b≤kx＜1的解集是﹣4≤x＜1．
故答案为：﹣4≤x＜1．
本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键．
21、18
【解析】
利用等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，又因E为AC中点，根据三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质可得CE=AC=7.5，DE=AB=7.5，再由△CDE的周长为24 ，求得CD=9，即可求得BC的长.
【详解】
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∵E为AC中点，
∴CE=AC==7.5，DE=AB==7.5，
∵CD+DE+CE=24，
∴CD=24-7.5-7.5=9，
∴BC=18，
故答案为18 .
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理及直角三角形斜边的性质，求得CE=AC=7.5，DE=AB=7.5是解决问题的关键.
22、1.5
【解析】
试题分析：众数是这组数据出现次数最多的数，由此判断x为1，这组数据的平均数是(1+2+1+4)÷4=2,所以方差为，=1.5.故这组数据的方差为1.5.
考点：方差计算.
23、m≤4
【解析】
试题解析：
由①得：x>4.当x>m时的解集是x>4，根据同大取大，所以
故答案为
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析．
【解析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．
【详解】
∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．
25、；数轴表示见解析.
【解析】
先把两个不等式分别求出来，然后根据不等式的解的口诀得到不等式的解集，然后把解集表示在数轴上即可.
【详解】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是正确解出每一个不等式，然后掌握求解集的口诀.
26、见解析.
【解析】
本题利用三角形的中位线定理得到了EH=EF=FG=GH，继而由“菱形的对角线互相垂直”得到结论.
【详解】
证明：在△ABD中，
∵、分别为AD、BD的中点，
∴， ，
同理：在△ABC中，，
在△BDC中，，
∴，
∴四边形EFGH为平行四边形
∵
∴EF=FG
∴四边形EFGH是菱形
∴EG和FH互相垂直平分
本题考查了三角形中位线定理和菱形的判定，解题的关键是利用三角形中位线定理得到证明菱形的条件.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人