数学必修第二册6.1 正弦、余弦、正切、余切优秀课时训练

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一、单选题
1．（2023上·上海·高一上海市建平中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】结合任意角的概念分析即可.
【详解】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；
因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；
若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；
例如，，但，故④不成立.
故选：B.
2．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可.
【详解】充分性：若，则，故充分性成立；
必要性：若，则，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2023上·上海·高一校考期末）设角满足条件，则所在的象限是（ ）
A．一、二B．二、三C．二、四D．不能确定
【答案】C
【分析】由解得或，然后对、分别进行讨论，即可得出结果.
【详解】因为，，且，
所以，解得或，
若，则，，此时所在象限是第四象限；
若，则，，此时所在象限是第二象限，
所以为第二象限或第四象限角.
故选：C.
二、填空题
4．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 .
【答案】
【分析】根据角的定义即可求解.
【详解】角顺时针旋转后所得角为，
故答案为：
5．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）半径为的圆中，圆心角所对的弧长 ．
【答案】
【分析】根据弧长公式求解即可.
【详解】，故半径为的圆中，圆心角所对的弧长为.
故答案为：
6．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）已知角的终边经过点则 ．
【答案】
【分析】根据正弦函数值的定义求解即可.
【详解】依题意，.
故答案为：
7．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）已知扇形的弧长为4cm，面积为，则该扇形的圆心角的大小为 .
【答案】
【分析】根据弧长和面积求出扇形的半径，进而求出扇形的圆心角的大小.
【详解】设扇形的半径为，圆心角的大小为，其中cm，
则，解得cm，
则.
故答案为：
8．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据扇形的面积公式，可得答案.
【详解】由题意可知，扇形的面积为.
故答案为：.
9．（2024上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）2024°角的终边在第 象限.
【答案】三
【分析】根据终边相同的角判断即可.
【详解】且角是第三象限角，
角的终边在第三象限.
故答案为：三.
10．（2024上·上海虹口·高一统考期末）若扇形的圆心角是，其所在圆的半径是2，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可.
【详解】由题意可得：该扇形的面积为.
故答案为：.
11．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知角是第四象限角，且，则 ．
【答案】/
【分析】根据同角三角函数关系和各象限三角函数值的特征进行求解即可.
【详解】因为角是第四象限角，所以，
因为，所以.
故答案为：
12．（2024上·上海·高一校考期末）函数（且）的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则 ．
【答案】/
【分析】由题意先求出定点，然后结合三角函数定义即可得解.
【详解】因为，所以令，得，且此时，即点，
所以.
故答案为：.
13．（2024上·上海·高一校考期末）已知，则 .
【答案】或
【分析】对角终边的位置进行分类讨论，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.
【详解】因为，则角为第二或第四象限角，
若角为第二象限角，则，解得；
若角为第四象限角，则，解得.
综上所述，.
故答案为：或.
三、解答题
14．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）已知，且为第四象限的角，求的正弦，正切，余切．
【答案】，，
【分析】根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】因为为第四象限的角，
故，，.
综上，，
15．（2024上·上海·高一校考期末）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值.
【答案】答案见解析
【分析】根据三角函数的定义，求得角的正弦、余弦和正切值及余切值.
【详解】根据三角函数的定义可知，，
若时，，，
，，
同理若时，，，，
一、单选题
1．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．的定义域是
B．的解集为
C．同时满足，的角有且只有一个
D．当时，的图像在的上方
【答案】B
【分析】对A，定义域满足；
对B，由结合周期性可得；
对C，由三角函数周期性判断；
对D，由作差法说明的符号即可判断.
【详解】对A，定义域满足，A错；
对B，，B对；
对C，由三角函数周期性可得该角有无数个，C错；
对D，令，∵，则，即，即的图像在的下方，D错.
故选：B.
2．（2023下·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的范围，求出以及的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知，的取值集合为.
所以，，
所以，，
所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A错误；
对于B项，由已知，的取值集合为.
所以，.
当为偶数时，设，则，
此时位于第二象限，；
当为奇数时，设，则，
此时位于第四象限，.
综上所述，恒成立，故B项正确；
对于C项，当位于第二象限时，，故C项错误；
对于D项，当位于第四象限时，，故D项错误.
故选：B.
二、填空题
3．（2022下·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】/
【分析】把给定等式两边平方求出，判断，的符号，再借助同角公式计算作答.
【详解】因，则，即，
而，，于是有，
所以.
故答案为：
4．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知，，则的值为 ；
【答案】/
【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值.
【详解】将平方得，
所以，
因为，所以，所以，
而
所以
所以
故答案为：
5．（2023上·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角.则该扇形的面积为.
故答案为：
6．（2023下·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知为第二象限角，则的符号为 ．
【答案】负号
【分析】根据三角函数定义确定上式正负即可得出答案.
【详解】因为为第二象限角，所以，为第一象限角，，为第四象限角
故，，，符号为负
故答案为：负号
7．（2023下·上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是 .
【答案】①③
【分析】根据题目分析出图像的运动情况，画出简图，可以得到一个周期为6，可以判断①正确：根据运动情况完成一个周期，顶点的轨迹是两段曲线，不是半圆，可以判断②错误；利用弧长公式可以判断③正确；利用面积公式可以判断④错误.
【详解】如下图：
沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：
第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，
得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，
为半径的一段圆弧，
即顶点由原点沿运动至位置；
第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置，
得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，
为半行的一段圆弧，
即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期.
对于①，，
所以一个周期，故①正确：
对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，
不是半圆，故②错误；
对于③，由已知，
的㧓长，
的弧长，
完成一个周期，顶点的轨迹长度为，
故③正确；
如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形
，扇形与的面积和，
，
，
等边边长为，
完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是：
，
故④错误.
故答案为：①③.
三、解答题
8．（2022下·上海长宁·高一华东政法大学附属中学校考期中）若，是关于x的方程，的两根，求：
(1)a的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解；
（2）切化弦后代入（1）中结论可得．
【详解】（1），或．
由题意，
又，
所以，解得或（舍去），
所以．
（2）由（1），
．
9．（2021下·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）（1）是否存在实数，使，使，，且是第二象限角？若存在，请求出实数；若不存在，情说明理由.
（2）若，，求的值.
【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）
【分析】（1）假设存在实数，根据是第二象限角，可得、求出参数的取值范围，再根据平方关系求出参数的值，得出矛盾，即可说明；
（2）首先求出，再通分计算可得.
【详解】解：（1）假设存在实数，使，，
因为是第二象限角，
所以，，解得，
又，即，解得，
与矛盾，故不存在实数满足题意；
（2）因为，所以，
，
．
．
10．（2022下·上海宝山·高一校考期中）若是关于x的方程的两根.
(1)求a；
(2)求的值.
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）由韦达定理和平方关系可求解；
（2）切化弦后代入（1）中结论可得．
【详解】（1），或．
由题意，
又，
所以，解得或（舍去），
所以．
（2）由（1），
．