沪教版（2020）必修第二册9.3 实系数一元二次方程优秀达标测试

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一．选择题（共2小题）
1．（2022春•青浦区校级期末）已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是
A．B．C．D．
【分析】由条件可知方程的根为或，然后根据根于系数的关系可得方程．
【解答】解：由关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，
由实系数多项式虚根成对定理可知方程的根为或，则
，，
这个方程可以是，
故选：．
【点评】本题考查了实系数多项式虚根成对定理，属基础题．
2．（2022春•金山区校级期末）方程有一个根为，求的值为
A．5B．3C．4D．2
【分析】根据已知条件，推得方程的另一个根为，再结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：方程有一个根为，
则方程的另一个根为，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
二．填空题（共5小题）
3．（2023春•长宁区校级期末）在复数范围内，方程的两个根是 ．
【分析】方程的根的判别式：△，再用一元二次方程的求根的公式可以得出原方程的解．
【解答】解：根据题意，：△
所以原方程的根为：是虚数单位）
整理，得，
故答案为：
【点评】本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题．当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根．
4．（2022春•普陀区校级期末）若是关于的方程的一个虚数根，则 25 ．
【分析】由已知可得是关于的方程的另一个虚数根，再由根与系数的关系求解．
【解答】解：是关于的方程的一个虚数根，
是关于的方程的另一个虚数根，
则．
故答案为：25．
【点评】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．
5．（2023春•浦东新区校级期末）若是关于的实系数方程的一个根，则 3 ．
【分析】根据已知条件，结合实系数方程的两根互为共轭复数，以及韦达定理，即可求解．
【解答】解：是关于的实系数方程的一个根，
也是关于的实系数方程的一个根，
，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查实系数方程的两根互为共轭复数，以及韦达定理，属于基础题．
6．（2023春•奉贤区校级月考）在复数集中因式分解 ．
【分析】根据复数概念将写成平方差公式分解即可．
【解答】解：由可得，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
7．（2023春•浦东新区期末）若是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则 ．
【分析】由已知结合实系数一元二次方程的虚根成对原理得到方程的另一根，然后由根与系数关系求得，的值，则答案可求．
【解答】解：是实系数一元二次方程的一个根，
由实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得方程另一根为，
，解得，．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了根与系数的关系，是基础题．
三．解答题（共3小题）
8．（2023春•杨浦区校级期末）设常数，已知关于的方程．
（1）若，求该方程的复数根；
（2）若方程的两个复数根为、，且，求的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解；
（2）根据已知条件，结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：（1）若，
则，即，解得；
（2）方程的两个复数根为、，
则，，
若△，解得或，
，
，解得，
若△，
设，
则，
故，
，
，
则，解得，
故，
故，
综上所述，的值为或．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
9．（2023春•徐汇区校级期末）已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若复数是该方程的一个虚根，且，为虚数单位，求实数的值；
（2）记方程的两根为，，若，求实数的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数模公式，以及共轭复数的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合韦达定理，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程，
复数是该方程的一个虚根，
则，解得，
，
，
，
，解得，
故实数的值为，
（2）若方程的两根为实数根，
则，解得，
若方程的两根为虚数根，
则设，，
则，
由韦达定理可知，，解得，
此时△，满足题意，
综上所述，或．
【点评】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
10．（2023春•普陀区校级期中）设为复数．
（1）若，求的值；
（2）若关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求实数的值．
【分析】（1）把已知等式两边取模求解；
（2）由实系数一元二次方程根与系数的关系列式求解．
【解答】解：（1）由，得，得，
（2）由题意，，，
则，即，
解得或．
方程有两个虚根，，则．
【点评】本题考查复数模的性质，考查实系数一元二次方程根与系数的关系，是基础题．
一．填空题（共6小题）
1．（2023春•闵行区期末）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则 5 ．
【分析】由是关于的实系数一元二次方程的一个根，可得也是关于的实系数一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：是关于的实系数一元二次方程的一个根，
则也是关于的实系数一元二次方程的一个根，
则．
故答案为：5．
【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2023春•浦东新区校级期末）若是关于的方程的一个根，则实数 2 ．
【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可．
【解答】解：是关于的方程的一个根，
所以，也是关于的方程的一个根，
所以．
故答案为：2．
【点评】本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，韦达定理的应用，是基础题．
3．（2022秋•虹口区期末）设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则 2 ．
【分析】根据实系数一元二次方程的有成对的共轭虚根，并且满足韦达定理求解．
【解答】解：因为，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，
故也是该二次方程的根，则，且，
解得，，故．
故答案为：2．
【点评】本题考查实系数一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
4．（2023春•奉贤区校级期末）已知是实系数一元二次方程的一个根，则实数 ．
【分析】根据已知条件，推得也是实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解．
【解答】解：是实系数一元二次方程的一个根，
则也是实系数一元二次方程的一个根，
故，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
5．（2023春•虹口区校级期末）关于的一元二次方程至少有一个实根，则实数的取值是 ．
【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解；
【解答】解：由题意可设，方程的根为和，，，，
由韦达定理可知，，
由①可知，，，
由②可知，，，
故，即，，解得，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
6．（2023春•嘉定区校级期末）已知是方程的一个根，则实数的值为 5 ．
【分析】将方程的根代入方程求解即可．
【解答】解：由题意知，，
整理得：，解得．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查复数的运算，属于基础题．
二．解答题（共7小题）
7．（2023春•杨浦区校级期中）已知关于的实系数一元二次方程．
（1）若复数是该方程的一个虚根，且，求的值；
（2）记方程的两根为和，若，求的值．
【分析】（1）利用，结合韦达定理可求解．
（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解．
【解答】解：（1）因为，所以，因为，所以，
所以，由韦达定理可得，所以；
（2）若方程的两根为实数根，则，解得，
若方程的两根为虚数根，则设，，，，可得，
则，，，所以，所以，
由韦达定理可得，所以，
此时△，满足题意，
综上，或．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
8．（2023春•普陀区校级期末）设、，已知为虚数单位）是方程的一个根．
（1）求、的值；
（2）设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【分析】（1）由条件和复数相等的概念即可求得；
（2）由复数的几何意义转化为向量问题求解即可．
【解答】解：（1）为虚数单位）是方程的一个根，
，
即，
，；
（2）为虚数单位）是方程的一个根，方程的另一根为，
，，，
，，
向量与的夹角为锐角，
且与不同向共线，
，解得：，
当与共线时，，，
当时，与同向共线，（舍去），
，
实数的取值范围为：．
【点评】本题考查复数的概念及其几何意义，向量的夹角等知识，属于中档题．
9．（2022春•徐汇区期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【分析】（1）由△，求解不等式即可得答案；
（2）由关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解．
【解答】（1）解：因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，
所以△，解得，
所以的取值范围为；
（2）解：因为关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，
所以，所以，解得．
【点评】本题考查多项式的根，考查学生的运算能力，属于中档题．
10．（2023春•奉贤区校级月考）已知关于的方程．
（1）在复数域范围内求该方程的解集；
（2）已知该方程虚根分别为、，若满足，求的最小值．
【分析】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零，分别讨论或时，求解在复数域范围内求该方程的解集；
（2）由可得的轨迹为轴，即可求出答案．
【解答】解：（1）设，代入方程得，
则实部虚部对应相等均为零，
时，为实数，
当时，，解得，，舍去；
当时，，解得，，舍去；
时，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，解集为；
（2）因为，即到的距离和到的距离相等，
则的轨迹为轴，那么点到轴的最短距离为．
【点评】本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于中档题．
11．（2023春•徐汇区校级期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为若，求复数；
（2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部．
【分析】（1）根据复数的计算规则进行计算即可；
（2）由于一元二次方程的两虚根是共轭的，所以其实部的2倍等于两根之和．
【解答】解：（1）由题意，；
（2）令
，
则，，是方程的两根，
由于的两根为，所以设的实部为，则，即．
【点评】本题主要考查复数的基本性质，属中档题．
12．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数在复平面内对应的点在直线上，且复数为实数．
（1）求复数；
（2）已知是方程的根，求实数，的值．
【分析】（1）设，由是实数求得，也即求得．
（2）先求得，根据一元二次方程的根列方程组来求得，．
【解答】解：（1）依题意，复数在复平面内对应的点在直线上，
设，
则
，
由于是实数，所以．
所以或．
（2），，
所以，代入得：
，
所以，解得，．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
13．（2023春•杨浦区校级期末）已知关于的一元二次方程．
（1）若复数是该方程的一个虚根，且，为虚数单位，求的值；
（2）记方程的两根为和，若，求的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合韦达定理，以及判别式法，并分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程，
复数是该方程的一个虚根，
则，解得，
，
，
，
，解得；
（2）若方程的两根为虚数根，
则设，，
则，
由韦达定理可知，，解得，
此时△，满足题意，
若方程的两根为实数根，
则，解得，
综上所述，或．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．