高中数学沪教版（2020）必修第二册1复数的三角形式优秀课后作业题

这是一份高中数学沪教版（2020）必修第二册1复数的三角形式优秀课后作业题，文件包含沪教版2020高中数学必修第二册94《复数的三角形式》基础提升分层练习原卷版docx、沪教版2020高中数学必修第二册94《复数的三角形式》基础提升分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
一．选择题（共1小题）
1．（2022春•杨浦区校级期末）若为虚数单位），则的值可能是
A．B．C．D．
【分析】先求出，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可．
【解答】解：，所以．
所以，将答案选项中的数值代入验证知符合．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的运算和复数相等、以及三角函数求值等知识，属基本题．
二．填空题（共7小题）
2．（2023春•杨浦区校级期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 ．
【分析】由复数的辐角主值直接可求．
【解答】解：复数对应复平面内的点为，
设的辐角主值为，
，，
，．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的辐角主值的求法，属于基础题．
3．（2022春•浦东新区校级月考）若复数为虚数单位），则 ．
【分析】化为复数的三角形式即可得出结论．
【解答】解：复数，
则，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为 ．
【分析】结合复数的四则运算，先对化简，再结合辐角的定义，即可求解．
【解答】解：，，
，
故复数的辐角主值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及辐角的定义，属于基础题．
5．（2023春•杨浦区校级期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 4 ．
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：，
是纯虚数，
，
则且，解得，，
故正整数的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查纯虚数定义，属于基础题．
6．（2023春•浦东新区校级期末）的所有的三次方根为 ，， ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：设所求的根为，
则，
故，
，
当时，，
当时，解得，
故，
综上所述，的所有的三次方根为，，．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
7．（2023春•普陀区校级期末）在中，若为虚数单位），则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及三角函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：
，
故，即，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及三角函数的两角和公式，属于基础题．
8．（2022春•浦东新区校级期末）复数为纯虚数，，则 ．
【分析】由复数为纯虚数知，从而求得．
【解答】解：为纯虚数，
，又，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的化简及复数的定义，属于基础题．
一．填空题（共6小题）
1．（2022春•青浦区校级期末）复数的辐角主值是 ．
【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值．
【解答】解：复数的模是，因为对应的点在第一象限且辐角的正切，它的辐角主值为，
三角形式为：，
所以复数的辐角主值是，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题．
2．（2021春•宝山区校级期末）复数的辐角主值是 ．
【分析】化简复数为三角形式，即可求解辐角主值．
【解答】解：复数，
所以复数的辐角主值是：．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的三角形式的应用，辐角主值的求法，是基础题．
3．（2023春•黄浦区校级期中）若复数是纯虚数，则角 ． ．
【分析】由已知可得，然后根据三角函数的性质即可求解．
【解答】解：由已知可得，则，，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查了虚数的定义，涉及到三角函数的性质，属于基础题．
4．（2022春•闵行区校级期末）将复数化为三角形式： ．
【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可．
【解答】解：复数中，，
设为复数的辐角主值，，，
又，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．
5．（2023春•徐汇区校级期末）已知复数，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，存在使得等式成立，则实数的取值范围为 ．
【分析】由题意，根据复数，对应的向量分别为，得，，再利用向量的数量积进行求解即可．
【解答】解：已知复数，
因为复数，对应的向量分别为，
所以，，
若存在使得等式成立，
即，
整理得，
即，
因为，
所以，
即，
因为，
所以，
则，
可得，
其满足，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的运算以及平面向量数量积的运算，考查了逻辑推理和运算能力．
6．（2022春•虹口区校级期末）计算的结果是 ．
【分析】由复数的三角形式化简运算即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的三角形式的应用，属于中档题．
二．选择题（共3小题）
7．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是
A．B．
C．D．
【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查化复数的代数形式为三角形式，考查三角函数值的求法，是基础题．
8．（2021春•浦东新区校级期末）设复数满足条件，，则对应复平面上的点位于第 象限
A．一B．二C．三D．四
【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，判断对应点所在象限即可．
【解答】解：复数满足条件，，
设，
则，
，，
即，，可得，．
则对应复平面上的点位于第四象限．
故选：．
【点评】本题考查复数的三角形式的运算，复数的几何意义，是中档题．
9．（2023春•闵行区期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是
A．B．C．D．
【分析】由复数的几何意义得复平面内点的坐标，运用数形结合分析区域图形，运用割补法求区域图形的面积．
【解答】解：由题意得，．
因为，所以点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
时对应，时对应．
，又，所以，．
则．
又．
向量所扫过的图形区域的面积为．
故选：．
【点评】本题考查复数的几何意义与扇形、三角形面积综合运用，属于中档题
三．解答题（共3小题）
10．（2021春•徐汇区校级期末）已知，且，若．
（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；
（2）求．
【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值；
（2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．
【解答】解：（1），
则；
（2）设，
，，
，，
，则，，
，则，
则．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．
11．（2022春•宝山区校级期末）设复数和，其中是虚数单位，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，且和为某实系数一元二次方程的两根，求实数所有取值的集合．
【分析】（1）由复数的运算性质可得复数，进而求出的模，由三角函数的取值范围，可得模的取值范围；
（2）由题意求出，再由题意可得和都是实数，进而可得和的虚部为0，求出的取值集合．
【解答】解：（1）若，
所以，，
因为，，所以的范围为，；
（2）若，
因为和为某实系数一元二次方程的两根，所以和都是实数，
而，，
所以，可得或或，，
所以实数所有取值的集合或或，．
【点评】本题考查复数的运算性质及模的求法，三角函数的性质的应用，属于基础题．
12．（2021春•浦东新区校级期末）已知复数，，为虚数单位，，，，且．
（1）若且，求的值；
（2）设，已知，求．
【分析】（1），．，利用复数相等可得，，进而得出．
（2）．，利用复数相等可得，，，根据，结合诱导公式、倍角公式即可得出．
【解答】解：（1），．
，
，，
，
，
，
，
，或，
解得，或．
（2）．
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、三角函数求值、诱导公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．