2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学（苏教版2019，选择性必修第一册第1-3章）试题Word版附解析

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第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1）方程可化为，
由解得
所以直线过定点，
因为在第一象限，所以直线经过第一象限．（6分）
（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，
因为，则，所以直线的方程为，
即．（13分）
16．（15分）
【解析】（1）抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.（6分）
（2）直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设，
因为，即，
所以，解得，
此时满足题意
所以所求直线的方程为.（15分）
17．（15分）
【解析】（1）依题可设圆心坐标为，则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，
故圆的标准方程为.（4分）
（2）若 是圆C上任意一点，
则表示圆上任意一点到点距离的平方，
所以的最大值为，
的最小值为，
所以的取值范围为：.（10分）
（3）假设存在定点，设， ，
则，
则，
当，即，（舍去）时，为定值，
且定值为，故存在定点，且的坐标为.（15分）
18．（17分）
【解析】（1）由直线与圆的位置关系可知，，
所以点.（4分）
（2）由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，；（8分）
（3）当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，直线，
此时直线过点，
当直线的斜率存在时，设直线，，，
直线，当时，，
，
联立，得，
，，，（12分）
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，
综上可知，直线经过定点，定点坐标为.（17分）
19．（17分）
【解析】（1）因为是上的一点，所以，化简可得，
又因为长轴长，所以，，
所以的方程为；（4分）
（2）由题意可知，直线的方程为，设
则，，得，
所以，
所以，
又到的距离，
所以的面积为，
当且仅当时，的面积取最大值，最大值为；（9分）
（3）因为直线的斜率为，在轴上的截距为，所以直线的方程为，
则向量为直线的一个法向量，
取，因为是上一点，故设，，
设椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，
则,，,，
由已知，，
所以，
提出如下命题：椭圆 的左、右焦点分别为，，
直线的方程为，若，则直线与椭圆相切，证明如下：
联立方程，化简可得，（12分）
所以．
方程的判别式，
因为，，
所以，所以，
所以，所以方程组只有一组解，
所以直线与椭圆只有一个交点，所以直线与椭圆相切．（17分）1
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A
B
B
D
D
C
C
D
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BC
AD
BCD