2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学（湘教版2019选择性必修第一册第1章-第3章，数列直线与圆圆锥曲线）试题Word版附解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）边过两点
由两点式，得，即，分
故边的方程是．分
（2）设的中点为，
则，，所以，分
又边的中线过点，
所以，即，
所以边上的中线所在直线的方程为．分
16．（15分）
【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由得
即即，解得或．分
当时，，不满足单调递增，
当时，，满足单调递增，
故，所以．分
又，所以，
所以，
即数列与数列的通项公式为，分
（2）利用等比数列前项和公式可得，
数列的前项和为，分
数列的前项和为，分
所以数列的前项和，
即分
17．（15分）
【解析】（1）设圆C的标准方程为，
∵圆心C在直线上，，①分
∵圆C与y轴相切，，②分
又∵圆C被x轴截得的弦长为，，③分
联立①②③解得，，，，
圆C的方程为．分
（2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，
圆心C到直线l的距离．分
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，
圆心C到直线l的距离为1，符合题意；分
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即，
圆心C到直线l的距离，解得，
直线l的方程为．
综上，所求直线l的方程为或．分
18．（17分）
【解析】（1）设，由题有，化简得到，
所以曲线的轨迹方程为分
（2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在，
设，，，
由，消得到，
则，
，分
，
化简整理得到，得到或，
当时，，直线过定点与重合，不合题意，
当，，直线过定点，所以直线过定点. 分
（3）由（2）知，，
所以的中点坐标为，分
又易知直线是双曲线的渐近线，设，
由，得的坐标为，
由，得的坐标为，
得到的中点坐标为，分
所以的中点与的中点重合，设中点为，
则，从而有分
19．（17分）
【解析】（1）设成公比为的等比数列，显然，
则有，得，解得，
由，得，解得，
所以数列或为所求6阶“归化数列”； 分
（2）设等差数列的公差为，由，
所以，所以，即，分
当时，与归化数列的条件相矛盾，分
当时，则，
所以，即，
所以，分
当时，由，
所以，即，
所以，
故或；分
（3）不能，理由如下：
记中所有非负项之和为，负项之和为，
因为数列为“阶可控摇摆数列”，则，得，
故，所以，分
若存在，使得，即，
则，且，
假设数列也为“阶可控摇摆数列”，记数列的前项和为，
则，
因为，所以，
所以；
又，则，
所以；
即与不能同时成立.
故数列不为“阶可控摇摆数列”. 分
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
A
B
C
B
D
9
10
11
AB
ACD
BC