2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学02（人教A版2019选择性必修第一册第1-3章：空间向量与立体几何直线与圆圆锥曲线）试题附解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．
13．
14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）直线与直线平行，故设直线为，（1分）
联立方程组，解得．（3分）
直线和的交点．
又直线过点，则，解得，（4分）
即直线的方程为．（5分）
（2）设所求圆的标准方程为，（6分）
的斜率为，故直线的斜率为1，（7分）
由题意可得解得（10分）
故所求圆的方程为．（11分）
化为一般式：．（13分）
16．（15分）
【解析】（1）

如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，（1分，建系正确即可）
正四棱柱,为中点,
（2分）
则点到直线的距离为：.（8分）
（2）由（1）可得，
则，（9分）
由可得，（11分）
又由可得，（13分）
又，（14分）
故面.（15分）
17．（15分）
【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，（1分）
解得，（2分）
由椭圆过点，得，（3分）
联立解得，（4分）
所以椭圆的方程为.（5分）
（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，（6分）
，则，
由消去得，显然，（7分）
则，（8分）
的面积（10分）
，（13分）
解得，（14分）
所以直线的斜率.（15分）

18．（17分）
【解析】（1）如图，取中点，连接，，（1分，辅助线表述正确即可）
因为是中点，所以，，（2分）
又，，
，，
所以四边形是平行四边形，（3分）
，（4分）
又平面，平面，
平面.（5分）

（2），，又，，
，则，（6分）
又平面平面，平面平面，
平面，（7分）
，又，
所以，，两两互相垂直，
如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，（8分）
（i）设平面的一个法向量为，则
，即，令，可得，，
，（10分）
又平面的一个法向量为，（11分）
，
所以二面角的余弦值为.（12分）
（ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为，
设，，，
，（13分）
由（i）知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为，（15分）
则，解得或，（16分）
又，所以，
即存在点到平面的距离为，且.（17分）
19．（17分）
【解析】（1）由题意可知，因为，所以.（1分）
设，则，所以，（2分）
又，（3分）
所以.（4分）
所以双曲线C的方程为.（5分）
（2）（i）由题意知直线l的方程为.（6分）
联立，化简得，（7分）
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，（10分）
所以或；（11分）
（ii），（12分）
直线AD的方程为
直线BE的方程为.（13分）
联立直线AD与BE的方程，得，（14分）
所以，
所以，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.（17分）1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
A
A
A
C
D
9
10
11
BC
CD
AC