数学人教A版 (2019)4.2 等差数列优秀当堂检测题

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第1课时 等差数列的概念及通项公式
学习目标
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差数列的判断与证明方法．
知识点一 等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
思考 你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？
答案 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
知识点二 等差中项的概念
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b.
思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)eq \f(a＋b,2).
知识点三 等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
答案 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
知识点四 从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
1．数列4,4,4，…是等差数列．( √ )
2．数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,n＋1，n≥2，))则{an}是等差数列．( × )
3．若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
4．若三个数a，b，c满足a＋c＝2b，则a，b，c一定是等差数列．( √ )
一、等差数列的通项公式及其应用
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
反思感悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
跟踪训练1 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－eq \f(1,3)，a7＝8，则a1＝ .
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝ .
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝ .
二、等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).
(1)数列{eq \f(1,an)}是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
延伸探究
将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
反思感悟 判断等差数列的方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.
(2)等差中项法
2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法
数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．
跟踪训练2 已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq \f(1,an－1).
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
三、等差中项及应用
例3 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
(2)已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列．求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也成等差数列．
反思感悟 若a，A，b成等差数列，则A＝eq \f(a＋b,2)；反之，由A＝eq \f(a＋b,2)也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项⇔A＝eq \f(a＋b,2).
跟踪训练3 (1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
(2)已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)也成等差数列．
等差数列的实际应用
典例 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[素养提升]
(1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
(2)能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现．
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N*)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
2．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为( )
A．21 B．22 C．23 D．24
4．已知eq \r(3)＋1与eq \r(3)－1的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝a2n＋1(n∈N*)，公差为d，则a＋d＝ .
5．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为 升．
1．知识清单：
(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列的判定与证明．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
1．设数列{an}是等差数列，若a2＝4，a4＝6，则an等于( )
A．n B．2n C．2n－1 D．n＋2
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7等于( )
A．10 B．18 C．20 D．28
3．(多选)已知在等差数列{an}中，a1＝2，且a4＋a8＝aeq \\al(2,3)，则公差d等于( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．2
4．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
5．在数列{an}中，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，a1＝2，则a20为( )
A.eq \f(115,2) B.eq \f(8,115) C.eq \f(16,115) D.eq \f(2,115)
6．在等差数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则该数列的公差为 ．
7．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是 ．
8．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费 元．
9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
10．已知数列{an}满足an＋1＝eq \f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)．
(1)证明：数列{eq \f(1,an－2)}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
11．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
12．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，3))
13．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5 B．a3a6C．a3＋a6>a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点（eq \f(an,n)，eq \f(an＋1,n＋1)）在直线x－y＋1＝0上，则an＝ .
15．已知数列{an}满足aeq \\al(2,n＋1)＝aeq \\al(2,n)＋4，且a1＝1，an>0，则an＝ .
16．若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．例如cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4n－1，n为奇数，,4n＋9，n为偶数，))则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
第2课时 等差数列的性质
学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质简化计算．
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝eq \f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差．
知识点二 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
4．等差数列{an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；
d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
思考 若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
答案 不一定．如常数列{an},1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A．5 B．8 C．10 D．14
2．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于( )
A．2 B．20 C．100 D．不确定
3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.
4．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
一、an＝am＋(n－m)d的应用
例1 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
跟踪训练1 已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
二、等差数列性质的应用
例2 (1)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A．0 B．37 C．100 D．－37
反思感悟 等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟踪训练2 (1)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则lg6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－eq \f(1,2) C．2 D.eq \f(1,2)
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.
三、等差数列中对称设项法的应用
例3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
反思感悟 等差数列的设项方法和技巧
(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式．
(2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7项、…时，可同理设出．
(3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出．
跟踪训练3 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为eq \f(85,9)，求这5个数．
数列问题如何选择运算方法
典例 在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
[素养提升]
(1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．
(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于( )
A．3 B．－6 C．4 D．－3
2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于( )
A．3 B．－3 C.eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
3．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )
A．20 B．30 C．40 D．50
4．由公差d≠0的等差数列a1，a2，…，an组成一个新的数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…，下列说法正确的是( )
A．新数列不是等差数列
B．新数列是公差为d的等差数列
C．新数列是公差为2d的等差数列
D．新数列是公差为3d的等差数列
5．在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________.
1．知识清单：
(1)等差数列通项公式的变形运用．
(2)等差数列的性质．
(3)等差数列中项的设法.
2．方法归纳：解方程组法．
3．常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错．
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．
1．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为( )
A．12 B．8 C．6 D．4
2．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为( )
A．7 B．5
C．3 D．1
3．若等差数列{an}的首项a1＝5，am＝3，则am＋2等于( )
A．13 B．3－eq \f(4,m－1)
C．3－eq \f(2,m－1) D．5－eq \f(2,m－1)
4．(多选)若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( )
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
5．已知等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根 B．有两个相等的实根
C．有两个不等的实根 D．不能确定有无实根
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，则a15 ＝________，若ak＝15，则k＝________.
7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
8．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
9．在等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．
11．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则( )
A．d>0 B．d<0
C．a1d>0 D．a1d<0
12．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq \f(1,3)a11的值为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
13．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的eq \f(1,7)等于较小的两份之和，则最小的一份为( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(10,3) C.eq \f(5,6) D.eq \f(11,6)
15．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为eq \f(1,4)的等差数列，则数列的公差d＝________，m＋n的值为________．
16．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bk}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)