数学选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀课后测评

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第1课时 等比数列的概念及通项公式
学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
知识点一 等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*)).
思考 为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?
答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
知识点二 等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
思考 当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
答案 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．
知识点三 等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)．
知识点四 等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝eq \f(a1,q)·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝eq \f(a1,q)·qx为指数型函数．
1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )
2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )
3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )
4．常数列一定为等比数列．( × )
一、等比数列中的基本运算
例1 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练1 在等比数列{an}中：
(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；
(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
二、等比中项的应用
例2 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝__________，ac＝___________.
反思感悟
(1)由等比中项的定义可知eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)⇒G2＝ab⇒G＝±eq \r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．
跟踪训练2 在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( )
A．－4 B．±4 C．－2 D．±2
三、等比数列通项公式的推广及应用
例3 在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)若{an}为递增数列，且aeq \\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.
反思感悟
(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.
(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.
跟踪训练3 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于( )
A．21 B．42 C．63 D．84
四、灵活设元求解等比数列问题
例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
反思感悟 几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )
A．－4或eq \f(35,2) B．4或eq \f(35,2) C．4 D.eq \f(35,2)
1．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为( )
A．±eq \f(1,2) B．±2 C.eq \f(1,2) D．－2
2．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6 C．－12 D．12
3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8 C．6 D．32
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于( )
A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)
C．(－2)n D．－(－2)n
5．在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝______________.
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)等比数列的通项公式．
(3)等比中项的概念．
(4)等比数列的通项公式推广．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．
3．常见误区：
(1)x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列．
(2)四个数成等比数列时设成eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．
1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108 B．54 C．36 D．18
2．(多选)在等比数列{an}中，a1＝eq \f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．－4 B．4 C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
3．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
4．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A.eq \r(2) B．4 C．2 D.eq \f(1,2)
5．若正项数列{an}满足a1＝2，aeq \\al(2,n＋1)－3an＋1an－4aeq \\al(2,n)＝0，则数列{an}的通项公式an等于( )
A．22n－1 B．2n C．22n＋1 D．22n－3
6．若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.
7．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，且a1＝________，d＝________.
8．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝eq \f(1,2)，求n.
10．在等比数列{an}中：
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
11．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
12．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,8)
13．(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于( )
A．－2 B．2 C．－8 D. 8
14．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．
15．已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．
16．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
第2课时 等比数列的应用及性质
学习目标
1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.
2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
3.理解等比数列的常用性质.
4.掌握等比数列的判断及证明方法．
知识点一 实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知识点二 等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}都是等比数列，且公比分别是q，eq \f(1,q)，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也都是等比数列，公比分别为pq和eq \f(p,q).
1．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成( )
A．64 B．128 C．256 D．255
2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
3．某储蓄所计划从2018年底起，力争做到每年的吸蓄量比前一年增加8%，则到2021年底该储蓄所的吸蓄量比2018年的吸蓄量增加( )
A．24% B．32%
C．1.083－1 D．1.084－1
4．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( )
A.eq \f(3,2) B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
一、数列的实际应用
例1 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．
(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值；
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？
反思感悟 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．
跟踪训练1 有纯酒精a(a>1)升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共取出纯酒精________升．
二、等比数列的性质及其应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝eq \f(1,2)，求a1aeq \\al(2,3)a5；
(2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
(3)若an>0，a5a6＝9，求lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a10的值．
反思感悟 利用等比数列的性质解题
(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
跟踪训练2 (1)公比为eq \r(3,2)的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则lg2a16等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4.
(1)求a1的值；
(2)若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若aeq \\al(2,n＋1)＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
(4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
跟踪训练3 (1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．
(2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
1．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)或－eq \f(2,3)
2．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则eq \f(a\\al(2,9),a12)的值为( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为( )
A．100 B．－100
C．10 000 D．－10 000
4．(多选)在等比数列{an}中，3a1，eq \f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq \f(a2 020－a2 021,a2 018－a2 019)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．9
5．某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为_____________万元．
1．知识清单：
(1)等比数列的实际应用．
(2)等比数列的常用性质．
(3)等比数列的判定和证明．
2．方法归纳：方程和函数思想．
3．常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错．
1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝eq \f(1,9)，则a5等于( )
A．±eq \f(1,81) B．－eq \f(1,81) C.eq \f(1,81) D．±eq \f(1,2)
2．在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于( )
A．2 B．－2 C．±2 D．4
3．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则lg3(a1a2·…·a9)等于( )
A．38 B．39 C．9 D．7
4．已知等比数列{an}的公比q＝－eq \f(1,3)，则eq \f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)等于( )
A．－eq \f(1,3) B．－3 C.eq \f(1,3) D．3
5．(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是( )
A．{aeq \\al(2,n)}是等比数列 B．{anan＋1}是等比数列
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等比数列 D．{lg|an|}是等比数列
6．已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.
7．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________.
8．在数列{an}中，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(7,3)，且bn＝nan＋1，若{bn}是等比数列，则数列{bn}的公比是________，an＝________.
9．已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
10．已知数列{an}为等比数列．
(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；
(2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
11．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于( )
A．2 B．－2
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
12．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15等于( )
A．±2 B．±4 C．2 D．4
13．在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
14．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，eq \f(5,4)，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
15．在等比数列{an}中，若a7a11＝6，a4＋a14＝5，则eq \f(a20,a10)＝________.
16．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(2,3)))是等比数列；
(3)当a1＝eq \f(7,6)时，求数列{an}的通项公式．