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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用优秀测试题
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学习目标
1.了解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
知识点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):
思考 如果在某个区间内恒有f′(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?
答案 f(x)是常数函数.
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求出导数f′(x)的零点;
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
知识点三 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)0.( × )
3.函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( √ )
4.函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞,+∞).( √ )
一、函数图象与导函数图象的关系
例1 (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( )
答案 D
解析 由函数的图象可知:当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D.
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是( )
答案 D
解析 从f′(x)的图象可以看出,在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,\f(a+b,2)))内,导数单调递增;在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2),b))内,导数单调递减.
即函数f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a,\f(a+b,2)))内越来越陡,
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2),b))内越来越平缓,由此可知,只有选项D符合.
反思感悟 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)1,))解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).
反思感悟 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
跟踪训练2 (1)若函数f(x)=ax-ln x在x=eq \f(\r(2),2)处取得极值,则实数a的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2) C.2 D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为f′(x)=a-eq \f(1,x),所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))=0,即a-eq \f(1,\f(\r(2),2))=0,解得a=eq \r(2).
(2)已知函数f(x)=eq \f(1,3)x3-x2+ax-1.
①若函数的极大值点是-1,求a的值;
②若函数f(x)有一正一负两个极值点,求a的取值范围.
解 ①f′(x)=x2-2x+a,由题意得,f′(-1)=1+2+a=0,解得a=-3,则f′(x)=x2-2x-3,
经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值,故a=-3.
②由题意得,方程x2-2x+a=0有一正一负两个根,
设为x1,x2,则x1x2=a0,,g4=-16-m
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