人教A版高中数学（选择性必修第二册）第5章 章末复习课+章节检测（2份，原卷版+教师版）

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第5章 章末复习课 一、导数几何意义的应用1．导数的几何意义，作为数形结合的桥梁，成为最近几年高考的高频考点，主要考查切线方程及切点，与切线平行垂直问题，常结合函数的切线问题转化为点到直线的距离，平行线间的距离问题，进而研究距离最值，难度中低档．2．通过求切线方程的有关问题，培养数学运算，数学抽象等核心素养．例1　设函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．反思感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点(x0，y0)的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，若不是切点可先设切点为Q(x1，y1)，由eq \f(y0－y1,x0－x1)＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1　已知直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.二、函数的单调性、极值、最值问题1．利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决有关的问题. 是最近几年高考的重点内容，难度中高档．2．通过求函数的单调性、极值、最值问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例2　已知函数f(x)＝ln x－eq \f(m,x)(m∈R)．(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．反思感悟　(1)极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另外，函数有极值未必有最值，反之亦然．(2)判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则：①确定函数f(x)的定义域；②解方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．跟踪训练2　设函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－mx.(1)若f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，求m的取值范围；(2)若x＝－1是函数的极值点，求函数f(x)在[0,5]上的最小值．三、导数在实际问题中的应用1．以函数为背景的实际问题给高考数学提供了广阔的空间．导数是研究函数性质以及解决实际问题中的最大、最小值的强有力的工具， 多以选择题和填空题的形式出现，难度中低档．2．通过利用导数解决实际问题，培养数学建模，提升逻辑推理及数学运算等核心素养．例3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．反思感悟(1)应用导数解决实际问题的关键是认真分析题意，建立函数模型．由于是实际问题，要注意根据问题的实际情况，确定函数的定义域．(2)根据所建立的函数模型，用导数求最大、最小值．跟踪训练3　不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援某市．有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至该市，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/小时时，燃料费是6元/小时，而其他与速度无关的费用是96元/小时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？四、函数方程问题1．从近几年高考题看，利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到，一般出现在解答题中．其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．一般出现在高考题解答题中，难度中高档．2．通过解决函数方程问题，培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养．例4　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．反思感悟　讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．跟踪训练4　已知函数f(x)＝ex＋eq \f(1,x－a)，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．1．(2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－12．(2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋13．(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝eq \f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq \f(e,4)，则a＝________.4．(2019·全国Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．5．(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．章末检测试卷二(第五章)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0) 的几何意义是(　　)A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率2．下列导数运算正确的是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq \f(1,x2) B．(2x)′＝x2x－1C．(cos x)′＝sin x D．(xln x)′＝ln x＋13．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)A．2 B．3 C．4 D．54．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq \f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于(　　)A．1 B.eq \f(5,2) C．3 D．07．方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)内根的个数为(　　)A．0 B．1 C．2 D．38．已知函数f(x)＝ax3＋(3－a)x在[－1,1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，12))C．[－3,3] D．[－3,12]二、多项选择题9．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则(　　)A．函数f(x)有极大值f(3) B．函数f(x)有极小值f(－eq \r(3))C．函数f(x)有极大值f(eq \r(3)) D．函数f(x)有极小值f(－3)10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是(　　)A．－eq \r(3) B．－1 C.eq \r(3) D．211．设函数f(x)＝eq \f(1,3)x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)A．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点 B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点C．在区间(1，e)内无零点 D．在区间(1，e)内有零点12．已知函数f(x)＝kx2－ln x，使f(x)>0在定义域内恒成立的充分不必要条件是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，e))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2e))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e)，＋∞))三、填空题13．若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝________.14．若曲线y＝ax2－ln(x＋1)在点(1，b)处的切线平行于x轴，则a＝________，b＝________.15．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：①函数f(x)的极大值点0,4；②函数f(x)在[0,2]上单调递减；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当10)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为eq \f(1,2)，求a的值．19．(12分)已知函数f(x)＝x3－eq \f(9,2)x2＋6x－a.(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．20．(12分)已知函数f(x)＝2x3＋mx2＋m＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若m<0，函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,2)))上最大值与最小值的差为1，求m的值．21．(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为eq \f(k,ex)(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值．22．(12分)已知函数f(x)＝2ax－eq \f(b,x)＋ln x.(1)若f(x)在x＝1，x＝eq \f(1,2)处取得极值．①求a，b的值；②若存在x0∈[]eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))，使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值；(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围．x－1045f(x)1221