沪教版（五四制）（2024）九年级上册24.3 三角形一边的平行线精品第2课时课后测评

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一、三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
要点：
(1)重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.
（2）重心的画法：两条中线的交点.
二、三角形一边的平行线的六种解题技巧：
①中间比代换法证比例式；②等积代换法证比例式；③等比代换法证比例中项；
④平行法证比例式；⑤等比过渡法证线段相等；同分母的中间比代换法。
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一、单选题
1．对于以下判断：①线段的中点是线段的重心；②三角形的重心是它的中线的一个三等分点；③三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；④平行四边形的重心是它的两条对角线的交点．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【分析】根据重心的定义和特殊图形的性质求解．
【解析】解：线段中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，故①正确；
三角形的重心是它的中线的一个三等分点，故②正确；
三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心，故③正确；
平行四边形的重心是它的两条对角线的交点，故④正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了常见图形的重心，正确理解重心的定义及常见图形的性质是解题的关键．
2．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据重心可得，结合可得，即可得到答案；
【解析】解：∵P是重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，三角形重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心到顶点距离与到顶点对边中点的距离比为．
3．如图，点P是的重心，若的面积为12，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式即可求解．
【解析】解：∵点P是的重心，
∴，
∴，，
∴的面积的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的重心的性质，结合重心性质得出三角形的面积公式找到三角形的面积比是解题的关键．
4．如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A．B．1.5C．2D．3
【答案】C
【分析】连接并延长，交于点D，连接，先根据三角形重心是三条中线的交点，可知是的中线，平分三角形的面积可得，由重心的性质可得，
根据平行线分线段成比例定理可得，由同高三角形面积的关系可得，证明四边形是平行四边形，可得结论．
【解析】解：连接并延长，交于点D，连接，
∵为的重心，
∴是的中线，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
5．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，，则下列比例式中错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
【解析】A、∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线判定三角形的相似和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．
6．如图，在菱形中，点O是对角线，的交点，点E是上一点，．若，，，则的长为（ ）

A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据可以求出的长，结合菱形的性质可求出边长，根据平行线分线段成比例，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD为菱形，AC＝6，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，灵活运用所学知识是解题关键．
7．如图，在中，，，已知，则的长是
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】由于D、E、F和G、H、I分别是AB、AC的四等分点，则DG∥EH∥FI，根据平行线分线段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例关系，由此可求出DG+EH+FI的长．
【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，
∴DG∥EH∥FI；
∴，即DG=BC；
同理可得：EH=BC，FI=BC；
∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；
故选B．
【点睛】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理的应用．
8．如图，平行四边形中，连接，在的延长线上取一点，点为的中点，连接，交、分别为点、点，则下列结论错误的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
又∵．
∴，故B正确，不符合题意；
∴，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵与不一定相等，不一定等于， 而，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】考核知识点∶ 相似三角形的判定与性质．理解性质是关键．
9．如图，是的中线，E是上一点，，的延长线交于F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作交于，根据是中点可得,根据平行线分线段成比例可得,有已知条件可得,进而可得．
【解析】解：作交于，
是的中线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，比例的性质，添加辅助线是解题的关键．
10．如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项．
【解析】解：A选项错误，
∵点D、点E是AB的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
B选项错误，无法证明；
C选项正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
则；
D选项错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系．
11．如图，在△ABC中，M是AC的中点，P,Q为BC边上的点，且BP=PQ=CQ，BM与AP,AQ分别交于D,E点，则BD∶DE∶EM等于
A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1
【答案】C
【分析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设BC=3，则BP=PQ=QC=；根据平行线间的线段对应成比例的性质分别求出BD、BE、BM的长度，再来求BD，DE，EM三条线段的长度，即可求得答案．
【解析】过A作AF∥BC交BM延长线于F，设，
则；
∵，∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，即，
∵∥，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质，正确作出辅助线是关键．
12．在中，、是边上的三等分点，是边上的中线，、分为三段的长分别是、、，若这三段有，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF, 作FH//BM交AC于H,根据中点的性质可得EP//MF,根据BE=EF，得到BP=PM，根据平行线分线段成比例定理可得CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,则FH:QM=AH:AM=5:3, 设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,
PQ=0.9t，即可求解.
【解析】设BM分别交AE,AF于P,Q,连接MF,
因为MF//AE,所以EP//MF,又因为BE=EF,所以BP=PM
作FH//BM交AC于H,CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,
FH:QM=AH:AM=5:3,
设FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t
所以BP：PQ：QM=5：3：2
即x：y：z=5：3：2
故选D.
【点睛】考查平行线分线段成比例定理，中位线的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
二、填空题
13．如图：、是的中线，、相交于，若厘米，则________厘米．

【答案】/
【分析】根据三角形重心的性质即可求解．
【解析】解：、是的中线，、相交于，
，
厘米，
厘米，
解得厘米，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，掌握上述内容是解题的关键．
14．如图，、分别为两边、的中点，与交于点，则______．
【答案】
【分析】根据中线的性质转化为面积的数量关系再求解即可．
【解析】解：∵、分别为两边、的中点，
∴，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查中线的性质和三角形的重心，利用中线的性质并转化为面积的数量关系是解决本题的关键．
15．如图，在中，，，与相交于点O，若，则__________．
【答案】1
【分析】根据题意可知：点O是的重心，根据重心的性质，即可求解．
【解析】解：在中，，，
，分别是的中线，
点O是的重心，
∵,
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键．
16．如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则____________．
【答案】12
【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案为12．
【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17．如图，在中，，，，、分别是、的中点，连结、交于点，则______．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，根据重心的性质可知线段的比例关系，进而得出的长度．
【解析】解：∵在中，、分别是、的中点，
∴点是的重心，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重心的性质，熟记重心的性质是解题的关键．
18．如图为的重心，交于，那么=________
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理求解即可
【解析】根据重心性质得出：
∴MN=MC,BC=2MC
∴MN:BC=1:6
所以答案为1:6
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解题关键
19．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么的值是__________.
【答案】
【分析】根据三角形的重心和平行线分线段成比例解答即可．
【解析】∵△ABC的中线AD、CE交于点G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案为：.
【点睛】此题考查三角形重心问题以及平行线分线段成比例，解题关键是根据三角形的重心得出比例关系．
20．如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为______．
【答案】
【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【解析】∵
∴AB==10，
过点E作EG⊥AB，垂足为G，
∵是的角平分线，
∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△CBE≌△GBE，
∴BC=BG=6，EC=EG，
设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得，
即，
解得x=3，
∴CE=3，AE=5，
过点F作FO⊥AC，垂足为O，，
∴FO∥BC，
∴，
∴即FO=2OE，
∵AD是中线，BC=6，
∴CD=3，
∵FO∥DC，
∴，
∴，
解得OE=，
在直角三角形OEF中，，
∴EF==．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键．
三、解答题
21．已知，点G是的重心，，求的长度．
【答案】
【分析】延长交于点H；证明；证明，求出，即可解决问题．
【解析】解：如图，延长交于点H；
∵点G是的重心，
∴；
∵，
∴，
∴；
由勾股定理得：
，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
22．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，△MON的面积是1，求△ABC的面积．
【答案】12
【分析】由三角形的重心定理得出AO=2ON，CO=2MO，BN=CN，得出△CON的面积=2△MON的面积=2，得出△AOC的面积=2△CON的面积=4，求出△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6，即可得出答案．
【解析】解：∵O是△ABC的重心，
∴AO=2ON，CO=2MO，BN=CN
∵△MON的面积是1，
∴△CON的面积=2△MON的面积=2
∴△AOC的面积=2△CON的面积=4.
∴△ACN的面积=△OCN的面积+△AOC的面积=2+4=6，
∴△ABC的面积=2△ACN的面积=2×6=12．
【点睛】本题考查了三角形的重心定理以及三角形面积，熟练掌握三角形的重心定理是解题的关键．
23．已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=8，
求：① GC的长；
②过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长．
【答案】①GC的长为；见详解；②，见详解．
【分析】①延长CG交AB于点H，由题目的已知条件可得CH=AB=4，，所以可得CG的长度；
②由（1）及根据直角三角形的中线定理可得MN的长．
【解析】①延长CG，交AB于点H
∵G是三角形的重心
∴，AH=BH=AB
∵AB=8，∠C=90°
∴CH=4，∴CG=CH=；
②由（1）可知：
∵CG=，G为MN中点
∴MN=．
【点睛】本题主要考查三角形的重心及直角三角形斜边中线定理，关键是根据三角形的重心得到MN的长，进而求出GC的长．
24．如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求的值．
【答案】的值为．
【分析】作DH∥AC交BE于H，如图，根据平行线分线段成比例，由DH∥CE得到，则CE=2DH，由DH∥AE得到，则AE=DH，然后计算AE：EC的值．
【解析】解：作DH∥AC交BE于H，如图，
∵DH∥CE，
∴，
∴CE=2DH，
∵DH∥AE，
∴，
∴AE=DH，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
25．如图，在中，，，点为边上的中点，连接，过点作于点，延长交于点，求的值．
【答案】2
【分析】过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．先证明，得到，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．
【解析】解：如解图，过点作的平行线，过点作的平行线相交于点，延长交于点．
∵，，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．
26．已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD于点G和点H，BD=12，EF=8．
求：（1）的值；
（2）线段GH的长.
【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6.
【解析】试题分析：（1）根据EF∥BD，则CF:CD=EF:BD，再利用平行四边形的性质即可得出DF:AB的值；
（2）利用DF∥AB，则FH:AH=DF:AB=1:3，进而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可．
试题解析：（1）∵EF∥BD，
∴CF:CD=EF:BD，
∵BD=12，EF=8，
∴CF:CD=2:3，
∴DF:CD=1:3，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，
∴DF:AB=1:3；
（2）∵DF∥AB，
∴FH:AH=DF:AB=1:3，
∴AH:AF=3:4，
∵EF∥BD，
∴GH:EF=AH:AF=3:4，
∴GH:8=3:4，
∴GH=6．
考点：1.平行线分线段成比例；2.平行四边形的性质．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点．点为射线上的一个动点，过点作轴交于点，过点作交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)当点在线段上时，且，求四边形的面积；
(3)若四边形的面积为9，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)点的坐标
(2)
(3)或或．
【分析】（1）将一次函数联立组成二元一次方程组，解方程，求出交点坐标即可；
（2）根据相似比分别表示出平行四边形的底和高，再求解即可；
（3）根据坐标的特点，可设，则，表示出四边形的面积，再让面积等于9，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：由题意得：
解得：
故点的坐标为；
（2）解：过点A作于点L，过点C作于点K，
∵直线与轴交于点
∴点B坐标
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵， ，
∴
∵
∴
∴
故四边形的面积；
（3）解：∵，则可设，则
∴
∴
当时，
∴
则
∴或
∴或
当时，；
当时，．
当时，
∴
则或
∵，点为射线上的一个动点
∴，（舍去）
∴当时，；
综上所述，或或 ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是能根据坐标的特征求出线段的长度．
28．在四边形中，，点E在上，连接，与交于点F，，；
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，若，猜想和之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，W为中点，K为中点，E为的中点，连接，，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)．
【分析】（1）由平行线的性质结合等边对等角得到，再推出，得到，即可证明四边形是平行四边形；
（2）先证明是等腰直角三角形，由勾股定理得到，即可求解；
（3）证明、都是等腰直角三角形，设，得到，作于M，于N，推出是等腰直角三角形，是的中位线，在中，利用勾股定理得到，据此即可求解．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵E为的中点，∴，
∵，，
∴，
∴、都是等腰直角三角形，
设，则，
∴，
作于M，于N，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵K为中点，，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵W为中点，
∴，
∴，
在中，，
∵，即
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．