沪教版（五四制）（2024）九年级上册第二十四章 相似三角形第三节 相似三角形24.5 相似三角形的性质优秀复习练习题

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一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
过关检测
一、题型专训
一、单选题
1．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为 ．
【答案】4:3
【分析】根据相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比解答即可．
【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3．
故答案为：4:3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于基础题型，熟知相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
2．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是 ，面积比是 ．
【答案】 5:2 25:4
【分析】根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．
【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．
两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．
故答案为5：2；25：4．
【点睛】本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键．
3．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【解析】解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
4．与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）．
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16
【答案】C
【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题．
【解析】∵与的相似比为1：4，
∴与的周长比为1：4，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
5．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为 ．
【答案】8
【分析】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【解析】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则
，
∴；
∴三角形的最短边为8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．
6．如图，点分别在Δ边上，，且，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据与，即可得到ΔΔ，即可得到，结合即可得到的值；
【解析】解：∵，，
∴ΔΔ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，解题的关键是根据分式的性质得到与的关系．
7．如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得到，进而证明，，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴，
∴，即，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
8．如图，已知，且经过的重心，若，那么等于 ．

【答案】4
【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，进而求出答案．
【解析】解：连接并延长到上一点，如下图，

∵的重心，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得，
∴．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．
9．如图，点G是的重心，四边形与面积的比值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到，，可得，再由，即可．
【解析】解：如图，连接，
∵点G是的重心，
∴点D，E分别为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即四边形与面积的比值是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
10．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【解析】解：如图，
∵，，
∴，
∵小明与大树都与地面垂直，
∴，
∴，
即，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
11．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，先证明，再根据“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”求出的长即可．
【解析】解：如图，由题意得，，
，
光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，
点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”是解答此题的关键．
12．中国教育家孔子周游列国年，其中年居卫卫国即现在的濮阳，龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度顶端到水平地面的距离，在雕像旁边的水平地面上处放了一面镜子平面镜的厚度忽略不计，组长小丽沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端，此时测得米，米，小丽的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度 米．
【答案】
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】解：由题意，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型．
13．在中，，已知是的平分线，那么的长是 ．
【答案】
【分析】过作交的延长线于根据角平分线的定义得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理得到，进而利用相似三角形的判定与性质得到即可解答．
【解析】解：过作交的延长线于，
∵，是的平分线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．如图，点在边上，，点是的角平分线与的交点，且，则下列选项中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出，利用判断选项A、C，证明得出判断选项B，分别用表示出和，判断选项D，即可得出结论．
【解析】，，
，
，
且，
，
，
，故选项A、C正确；
，，
，
，
，
，故选项D错误；
平分，
，
，
，
，故选项B正确；
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15．如图，已知E、F分别是△ABC中AB、AC边上的点，，且AE：AB＝3：5，那么为（ ）
A．3：5B．3：25C．9：25D．9：16
【答案】D
【分析】根据，可得△AEF∽△ABC，再相似三角形的性质，即可求解．
【解析】解：∵，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝
∴＝9：16．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（ ）
A．5：2B．1：4C．2：1D．3：2
【答案】C
【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可．
【解析】解：∵，
∴
∴＝，
∵AF：BF＝2：5，
∴＝，
即AG＝BD，
∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，
∴CD＝BD，
∴＝＝，
∵，
，
∴＝＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】先判断为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，，于是可对①进行判断；证明，利用相似比得到，，则可对②进行判断；加上，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到，，则可对④进行判断．
【解析】解：、为的中线，
为的中位线，
，，所以①正确；
，
，
，，所以②错误；
，
，所以③正确；
，
，
，
，
，所以④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质．
18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解析】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积．证明是解题的关键．
19．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于 ．
【答案】12
【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于16，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．
20．的边上有三点，各点位置如图所示，若，，，，，，则四边形与的面积比为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．
【解析】解：∵，，，
∴,
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
21．如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
【答案】或2或12
【分析】根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【解析】解：若，
∴，
设，
，
，
解得；
若，
∴，
设，
，
，
解得；
综上所述，的长度为或2或12，
故答案为：或2或12．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．
22．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（ ）

A．B．C．17D．18
【答案】B
【分析】过C作，取，连接，根据勾股定理得到，易得，即可得到，根据两点间线段最短得到当、、三点共线时最短即可得到答案；
【解析】解：如图过C作，取，
过点E作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵， ，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴当、、三点共线时最短，
∴，
∴，
故选B；

【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题．
23．如图，为等边三角形，在边上分别任取一点，使得，连接相交于点，现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是（ ）

A．①对，②对B．①对，②错C．①错，②对D．①错，②错
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到①正确；根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到②正确．
【解析】解：在等边中，，
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
是等边三角形，
，
，
，
，
，
如图，过作交于，
，
，
，
，
，
，故②正确；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
24．如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．
【解析】解：如图1中，

∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由翻折可知：，，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故①②正确，
如图2中，当M与C重合时，设．则，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，可得，
∴，
∴，故③正确，
如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，

如图1中，∵于H，，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴．故⑤正确，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：
(2)若，求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．
【解析】（1）证明：，
，
在和中，，
，
．
（2）证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
26．如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：

(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，再用等角的余角相等判断出，即可得出结论；
（2）先判断出，进而判断出，得出．
【解析】（1）证明：是菱形的对角线，
，
点是菱形的两条对角线的交点，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
∵，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
是菱形的对角线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．
二、跟踪训练
一、单选题
1．两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．
【解析】两个相似三角形的对应角平分线的比为，
两个相似三角形的相似比为，
周长的比为．
故选A．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．
2．如图，已知与相交于点A，，如果，那么等于（ ）
A．B．1.5C．14D．6
【答案】D
【分析】证明 ，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
3．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据重心的性质进行求解即可．
【解析】解：∵点是的重心，是边的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了重心的性质，熟知重心的性质是解题的关键．
4．下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题中利用方格点求出的三边长，可确定为直角三角形，排除B，C选项，再由相似三角形的对应边成比例判断A、D选项即可得．
【解析】解：的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查相似三角形的性质及勾股定理的逆定理，理解题意，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键．
5．如图，在中，中线与中线相交于点G，联结．下列结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由中线与中线得出是的中位线，推出，，由相似三角形的性质即可解决问题．
【解析】∵中线与中线相交于点G，
∴是的中位线，
∴，
∴，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确的是，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．如图，直角梯形中，，，，，．是延长线上一点，使得与相似，这样的点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由于，故要使与相似，分两种情况讨论：①，②，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出的长，即可得到点的个数．
【解析】∵，，
，
．
设的长为，则．
若边上存在点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，
解得：
②若，则，
即，
整理得： ，
，（舍去）
满足条件的点的个数是2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
二、填空题
7．在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD= cm．
【答案】4.5
【分析】由三角形的重心的性质即可得出答案．
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴AD是△ABC的中线，
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
∵AG=9 cm，
∴GD=4.5cm，
故答案为：4.5．
【点睛】本题考查了三角形的重心，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
8．两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比为 ．
【答案】1：2
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解析】两个相似三角形的面积比为，则其相似比为．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，理解掌握性质是解题关键．
9．两个相似三角形对应中线的比为1：3，且小三角形的面积是，那么大三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】相似三角形的面积的比等于相似比的平方，进行计算求解．
【解析】∵ 两个相似三角形对应中线的比为1：3，
∴相似比＝，
∵面积之比为相似比的平方，设小三角形面积为S，大三角形面积为S´，
∴，即：，解得：S´＝，
故填：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，特别注意面积比是相似比的平方．
10．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．
【答案】/
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值．
【解析】解∶∵，，
∴，
∴，
∵的长是，
∴，
∵零件的外径为，
∴零件的厚度为∶，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
11．如图，矩形中，，，若与相似，则 ．
【答案】或或
【分析】设，则，根据三角形相似对应边对应成比例即可求解．
【解析】解：∵矩形，
∴，，设，则，
①，
∴，即，解方程得，，，
②，
∴，即，解方程得，，
∴与相似，则，或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程与相似三角形的综合应用，掌握解一元二次方程的方法，相似三角形对应边成比例是解题的关键．
12．如图，，，则 ．
【答案】
【分析】根据可求出，再根据三角形相似的性质即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．
13．如图，在梯形中，，，，则 ．
【答案】/0.5
【分析】证明，与为对应边，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此只需求出即可．
【解析】解：，，
，
，
．
．
，
，
又，
，与为对应边，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
14．如图，中，，，是边的中点，延长到点，使，那么的长是 ．
【答案】2
【分析】先判断出，再利用相似三角形的性质即可得到．
【解析】：∵，
∴，
∵是边的中点，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
15．如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点、分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 ．
【答案】24
【分析】通过证明，则，即可得到答案．
【解析】，正方形的四个顶点在三角形的边上，
，
，
，
．
故答案为24．
【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．如图，在中，，E为上一点，过点E作，垂足为点D，并交的延长线于点F，联结，如果，，的值为 ．

【答案】
【分析】由，，，根据勾股定理求得，再根据同角的余角相等证明，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，即可得到，即可得到答案；
【解析】解：∵∠ACB＝90°，AE＝6，CE＝2，
∴，，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查勾股定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
17．新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．

【答案】/
【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
【解析】解：延长与交于点，如图所示：

点A关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．
18．在中，，在中，，点D、E分别在、上．
（1）如图1，若，则与的数量关系是 ；
（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是 ．

【答案】
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理计算即可．
（２）过点作交于点，求得，再证明列式计算即可．
【解析】解：（1）
，
，
．
故答案为：．
（2）过点作交于点，
，

，
，
，
由，
得：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
19．如图，点D、E分别在的边和上，，，， ，求的值．

【答案】36
【分析】先证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．
【解析】解：，
，
，
∵，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
20．求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
【答案】见解析
【分析】先根据题意写出已知条件以及所需证明的结论，再根据相似三角形的判定与性质即可作答．
【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、的角平分线．
求证：．
证明：，
，，；
又、分别是、的角平分线，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正确的将命题转化是解答本题的关键．
21．已知，在等腰中，，以的中点D为顶点作，分别交、于点E、F，，，求底边的长．

【答案】
【分析】先证明，，即可证明，得出，根据，即可求出．
【解析】解：，
而，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是证明．
22．如图，在梯形ABCD中，， DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且．
(1)求证：；
(2)点G在底边BC上， ，，连接，如果与的面积相等，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意及平行线的性质可证明，再根据相似三角形的性质及平行线的判定即可得证；
（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质即可得出结论．
【解析】（1）证明：
（2）根据题意得，
和面积相等
解得：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，三角形面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题的关键．
23．如图，在四边形中，对角线与交于点，．
(1)求证：；
(2)过点作交于点，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，再证明，即可求证；
（2）先证明，再证明，即可求证．
【解析】（1）证明：∵，
∴
∴，即，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
即．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
24．如图，在中，，，点是斜边的中点，点是边上的一点，，交射线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据等要直角三角形的性质求出，再根据外角的性质推，根据，得，从而证明；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，根据（1）的结论得出，即可得证．
【解析】（1）证明：，，
，
是的外角，
，
，
，
．
．
（2），，点是斜边的中点，
，
∵，
，
∴，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形，熟练应用等腰直角三角形的性质，外角性质的应用是解题关键．
25．如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)判断与是否相似？并证明．
【答案】(1)见解析
(2)与相似，理由见解析
【分析】（1）根据两个角相等的三角形相似，可以得到，然后即可得到；
（2）根据可以得到，从而可以得到，再根据，即可得到与相似．
【解析】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）与相似，
证明：由（1）知：∽，
，
，
又，
与相似．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，能合理运用已经得到的结论解决后面的问题．
26．[问题背景]（1）如图1，为上一点，，求证：；
[变式迁移]（2）如图2，中，于，以为直角顶点在两侧分别作和，且，连交延长线于，求证：；
[拓展创新]（3）如图3，，，，直接写出的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）利用三角形外角的性质几何已知条件得到，证明与相似，通过相似的性质求证即可；
（2）通过添加辅助线构造（1）中的模型，通过（1）中得到的结论结合已知条件证明，再通过证明全等得到即可；
（3）过作交延长线于、，利用已知条件得到为等边三角形，由（1）得，设利用相似三角形的对应边成比例的性质列方程求解即可．
【解析】（1）证明：，
（2）证明：作于，于，
，
，
，
，
，
（3）过作交延长线于、，
是等边三角形，
，
设，
∴（舍）或，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边对应成比例以及通过辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．