初中数学25.3 解直角三角形优秀同步测试题

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一、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
④，h为斜边上的高.
要点：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
二、解直角三角形的常见类型及解法
要点：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.
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一、单选题
1．在中，，，，则的长为（ ）
A．B．3C．D．12
【答案】A
【分析】根据的正切计算的长．
【解析】解：中，，，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
2．在中，，，，则等于（ ）
A．25B．12C．9D．16
【答案】B
【分析】根据正弦的定义求得，进而勾股定理即可求解．
【解析】解：∵在中，，，，
∴
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．如图，是的高，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，根据求出的长度，再根据，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，则，
∵，，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
4．如图，菱形中，对角线，，．下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义可得出答案．
【解析】解：如图，与交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，掌握菱形的性质是本题的关键．
5．如图，在等腰中，于点，则的值（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由，易得，由可得，进而用勾股定理分别将BD、BC长用AB表示出来，再根据即可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（ ）
A．（acsα，asinα）B．（ccsα，csinα）
C．（asinα，acsα）D．（csinα，ccsα）
【答案】B
【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可．
【解析】
解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，
∴AD=csinα，OD=ccsα，
则A的坐标为（ccsα，csinα），
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
7．如图，在中，于D，如果，E为的中点，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，求出长度，再由勾股定理求出，再由勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即．
【解析】解：在中，，，
∴，
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵E为中点，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题关键是熟练掌握解直角三角形的方法，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半．
8．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cs∠ABE，从而结论可得．
【解析】解：取格点E，连接AE、BE，如图：
设网格中的小正方形的边长为1，
则BE＝，
AE＝，
AB=．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cs∠ABE＝．
∴cs∠APD＝．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；
【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠AOD=60°，
∴∠AOD=∠BOC=60°，
∴DG=DO，
同理可得：BH=BO，
S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH
=×AC××（DO+BO）
=，
故选：C．
【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．
10．如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2．
【解析】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵⊥，∠ACB=45，
∴，
当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
二、填空题
11．在中，，已知和b，那么 ．
【答案】
【分析】根据正弦的定义得到，即可得到用和表示．
【解析】解：，
，
．
故答案为：．

【点睛】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．
12．在中，，、、为、、的对边．
（1）若，，则 ， ；
（2）若，，则 ， ；
（3）若，，则 ， ， ；
（4）若，则 ， ， ．
【答案】
【分析】（1）利用∠A=45°，即可得出∠B的度数，进而利用锐角三角函数关系得出c的值；
（2）利用∠B=30°，即可得出b，c的关系，进而利用a=10cs30°求出即可；
（3）首先利用勾股定理得出b的值，进而利用锐角三角函数关系得出即可；
（4）利用，得出c=2b，进而利用锐角三角函数关系得出即可．
【解析】解：（1）∵∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=45°，
sin45°=，
∴c==5（cm）；
（2）∵c=10 cm，∠B=30°，
∴b=5cm，
a=10cs30°= =5（cm）；
（3）∵a=4cm，c=8cm，
∴b=4cm，
则csA==，
tanA==；
tanB==；
（4）∵，
∴c=2b，
则sinB==，
tanA==，
tanB==．
故答案为：（1）45°，5cm；（2）5cm，5cm；（3），，；（4），，．
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练利用锐角三角函数关系求解是解题的关键．
13．在ABC中，，，，那么的长为 ．
【答案】6
【分析】根据解三角形可直接进行求解．
【解析】解：∵在ABC中，，，，
∴；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
14．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cs∠ADC＝ ．
【答案】
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cs∠ADC．
【解析】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AD＝＝＝10，
∴cs∠ADC＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理的应用，关键是利用三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长．
15．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ．
【答案】13cm
【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可．
【解析】解：过点P作PE⊥OB
∵CO=5cm，OD=8cm ，
∴CD=OD-CO=3
又∵PC=PD，PE⊥OB
∴CE=
∴OE=OC+CE=
∴在Rt△POE中，
故答案为：13cm．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．
16．如图，在中，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解．
【解析】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键．
17．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，csA=，则CD的长等于 ．
【答案】16
【分析】如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．易知四边形BEDF是矩形，理由面积法求出DE，再利用等腰三角形的性质，求出DF即可解决问题．
【解析】连接BD，过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥DC于点N，
∵梯形ABCD是等距四边形，点B是等距点，
∴AB=BD=BC=10，
∵= ，
∴AM=，∴BM==3，
∵BM⊥AD，∴AD=2AM=2，
∵AB//CD，
∴S△ABD=，
∴BN=6，
∵BN⊥DC，∴DN==8，
∴CD=2DN=16，
故答案为16.
18．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ．
【答案】/
【分析】求出，勾股定理求出，根据题意，易得：，，进而求出的长，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出，得到，设，则：，分别用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，进而得解．
【解析】解：在中，，
∴；，
∵将沿翻折，使得点落在点处，当且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，
∵，
∴，
∴四边形，四边形均为矩形，
∴，，
∴，
∴，
设，则：，
∴，，，
连接，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在中，已知，，，解这个直角三角形．
【答案】，，
【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形.
【解析】
解：在中，
∵，，，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
【答案】sinA=，csA=，tanA=．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解析】由勾股定理得，，
则，，．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.
21．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
（1）求BD的长；
（2）求tanC的值．
【答案】（1）12；（2）
【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可；
（2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可．
【解析】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝
∴
即
解得：BD＝12；
（2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC，
∴AD＝5，
∴DC＝8，
∴tan∠C＝
【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且tan∠BCD=
（1）试求的值；
（2）试求△BCD的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）作AH⊥BC，则△ABH中，根据勾股定理即可求得AH的长，即可求得sinB；
（2）作DE⊥BC，则根据勾股定理可以求得BE的长，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面积．
【解析】
（1）作 ，垂足为 ，
∵ ，
∴
在 中，
∴
（2）作,垂足为,
在中， ，令 , ，
则 ，
又在中，，
则 ，
于是 ，即 ，
解得 ，
∴.
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形中三角函数值的计算，本题中正确求三角函数值是解题的关键．
23．如图，已知中，，，．
（1）求边AC的长；
（2）将沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求的值．
【答案】（1）;（2）
【分析】（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，根据角所对的直角边等于斜边的一半得到AH=3，根据，求出CH,根据勾股定理即可求出边AC的长.
（2）由翻折得：，AE=BE，，根据，即可求出, AH=3,根据勾股定理即可求出，即可求出的值．
【解析】（1）过A作AH⊥BC，垂足为H
∵AB=6，，AH⊥BC
∴AH=3
∵
∴CH=2
∴
（2）连接AE,如图所示：
由翻折得：，AE=BE，
∵ ∴ ∴
∴，AH=3
∴
∴
【点睛】考查解三角形，勾股定理等，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
24．如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)连接，求正弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，进而得出，则，根据平行线分线段成比例即可得证；
（2）根据得出，设，则， ，在中，，进而根据正弦的定义即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵、分别为边、的中点，
∴，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，正切的定义，求角的正弦值，熟练掌握是正方形的性质以及三角函数的定义解题的关键．
25．阅读下列材料：
题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示.
解：如图2，作边上的中线，于，
则，，，
在中，
根据以上阅读，请解决下列问题：
(1)如图3，在中，，，，求，的值
(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示.
【答案】(1) ， ；(2).
【分析】(1) 作边上的中线，于，分别在Rt△ACD，Rt△CED中用三角形函数求解；
（2）仿照题中求sin2A的方法求cs2A.
【解析】解：(1)作边上的中线，于，
Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝，
sinA＝.
则，，
×.
在中，
.
(2)则，，，，
所以AD＝ACcsA＝cs2A，DE＝AD－AE＝cs2A－.
中，
.
【点睛】本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理结合三角形函数来解直角三角形.
26．如图1，在中，，，．点D、E分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)当是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或4
【分析】（1）作于，解直角三角形，求得和，进而解直角三角形，求得，从而得出，进一步得出，从而，进一步得出结论；
（2）作于，解直角三角形，求得，，解，得出，进而设，，，从而，进而由得，，进一步得出结果；
（3）有两种情形：当时，可推出，作于，作于，进而证明，从而，，进而求得，根据（1）：，求得，进而求得，进一步得出结果；当时，可推出，作于，可得出，同样根据（1）求得，进一步得出结果．
【解析】（1）解：证明：如图1，
作于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图2，
作于，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
设，，，
，
由得，
，
，
；
（3）如图3，
当时，，
，
，
，
作于，作于，
，
，
，
，，
，
，
由（1）知：，
，
，
；
如图4，
当时，，
，
作于，
，，，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
综上所述：或4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，