沪教版（五四制）（2024）九年级上册25.4 解直角三角形的应用精品课堂检测

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一、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
应用举例： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
要点：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
过关检测
一、单选题
1．如图，小明在点处测得树的顶端仰角为，同时测得，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由锐角三角函数定义得，即可得出答案．
【解析】解：在中，，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
2．如图，拦水坝的横断面是梯形，高米，斜面坡度为，则斜坡的长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【分析】根据坡度求出的长度，再利用勾股定理求出．
【解析】解：∵坡度，米，
∴米，
∴（米），故B正确．
故选：B．
【点睛】此题考查已知正切值求边长，勾股定理求直角三角形边长，熟记坡度定义求出是解题的关键．
3．如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可．
【解析】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是，
故选：A．
【点睛】本题考查仰角的定义，理解仰角的定义是解答的关键．
4．如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合图形利用正切函数求解即可．
【解析】解：根据题意可得：
，
∴，
故选C．
【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．
5．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，，厘米，则内槽宽的长为（ ）

A．厘米B．厘米C．厘米D．厘米
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到（厘米），，过点作于，解直角三角形即可得到结论．
【解析】解：厘米，点是两根钢条的中点，
（厘米），
，
，
过点作于，
，，
，
内槽宽的长为厘米，
故选：A．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．如图，佳佳在A点测得点B在北偏东方向上，在C点测得点B在北偏东方向上，若，则点B到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点B作于点M，根据题意得出，再由正弦函数的定义求解即可．
【解析】如图，过点B作于点M，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

故选：B
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，理解题意是解题关键．
7．如图，长的楼梯的倾斜角为，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯底部增加的部分的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先在中利用正弦、余弦的定义计算出、，然后在中利用正切的定义计算，相减即可．
【解析】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴部增加的部分的长为，
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（ ）
A．3.5sin29°B．3.5cs29°C．3.5tan29°D．
【答案】A
【分析】解直角三角形求出AB即可．
【解析】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°.
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，已知直角三角形的锐角及斜边，用正弦即可求得这个角的对边.
9．如图所示，号称“长春眼”的摩天轮在摩天活力城的楼顶，其直径约为70米，摩天活力城楼高约30米，摩天轮旋转一周大约需要10分钟，乘坐摩天轮升到最高处，可俯瞰整座城市．小红乘坐摩天轮游玩，4分钟后她乘坐的轿厢升至点A处距地面的高度约为（ ）

A．米B．米
C．米D．米
【答案】D
【分析】过点作水平面垂足为点，作垂足为点，过点作于点，依题意，，，，进而即可求解．
【解析】解：如图所示，

过点作水平面垂足为点，作垂足为点，过点作于点，
依题意，，，
∴
∴4分钟后她乘坐的轿厢升至点A处距地面的高度约为米，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求得是解题的关键．
10．图1是重庆欢乐谷的一个大型娱乐设施——“重庆之眼”摩天轮，它是全球第六、西南最高的观光摩天轮．如图2，小嘉从摩天轮最低处出发先沿水平方向向左行走37米到达点，再经过一段坡度为，坡长为26米的斜坡到达点，然后再沿水平方向向左行走50米到达点．在处小嘉操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得点处的俯角为，摩天轮最高处的仰角为．所在的直线垂直于地面，垂足为，点、、、、、、在同一平面内，则的高度约为（ ）米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，）
A．117B．120C．122D．130
【答案】B
【分析】作CN⊥OD于N，FM⊥AB于M，分别解△EFD和△AFM，即可求出的高度．
【解析】解：作CN⊥OD于N，FM⊥AB于M，
∵坡度为，坡长为26米，
∴，米，米，
∴米，米，
∵∠MFD=∠FDE=58°，
，
，米，米，
，
，米，
米，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是熟练作辅助线，构建直角三角形，利用坡比和三角函数求值．
二、填空题
11．已知一斜坡的坡度为，则该斜坡坡角 度．
【答案】
【分析】根据坡度可以求得该坡角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度．
【解析】解：如图，坡度为，
∴，
∵为锐角，
∴．
故答案为：45．
【点睛】本题考查了坡度的定义，考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数值在直角三角形中的应用．
12．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为 ．（sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37° ≈0.75）
【答案】10米/10m
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．
【解析】解：根据题意得：∠BAC=37°，∠ACB=90°，
∵，
∴，
解得：AB≈10米，
即自动扶梯AB的长约为10米．
故答案为：10米
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
13．如图，为了绿化荒山，在坡角的山坡上修建扬水站（），扬水站中出水口的高度为现在打算从山脚下的机井房沿山坡铺设水管，则铺设水管的长度为 用含的三角函数表示）
【答案】
【分析】在中，根据，再根据，然后进行计算即可．
【解析】解：∵在中，，，
∴，
∴（m），
则铺设水管的长度为m；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
14．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为 米．
【答案】120
【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．
【解析】解：由题意可得：tan30°＝==，
解得：BD＝(米)，
tan60°＝==，
解得：DC＝(米)，
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝(米)
故答案为．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
15．如下图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得，在E处测得，米，仪器高度米，这棵树AB的高度为 米（结果用含根号表示）．

【答案】/
【分析】首先根据题意可得米，米，然后设米，米，则在与，利用正切函数，即可求得与的关系，解方程组即可求得答案．
【解析】解：根据题意得，四边形是矩形，
米，米，
设米，米，
在中，，
在中，，
米，
，
（米），
这棵树的高度为米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
16．如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东方向上，一艘轮船从小岛A出发，由西向东航行24海里到达B处，这时测得灯塔P在北偏东方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是 海里．

【答案】
【分析】过点P作⊥射线于C，由等腰三角形的判定和性质可得，再由正弦三角函数解即可.
【解析】解：如图，过点P作⊥射线于C，则即为所求距离，

由图可得：，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴海里，
在中：海里，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握正弦的概念是解题关键．
17．如图．某同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处9米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上），然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行．他在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，则宣传牌的高度约为 米（结果精确到0.1米，）．

【答案】5.5
【分析】过点F作于G，可得四边形是矩形，则；在中可求得的长，在中可求得的长，从而可得的长，也即的长；分别在中求出的长，由即可求得结果．
【解析】解：如图，过点F作于G，

∵，
∴四边形是矩形，
∴；
在中，，则（米），
∴米；
在中，，则米，
∴米；
在中，，
则（米），
在中，，
∴米
∴（米）
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握题中的坡度、仰角的含义，并能熟练地解直角三角形是解题的关键．
18．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是 ．
【答案】
【分析】把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，根据折叠的性质得到，，证明，同理可得，于是可得的长，然后根据勾股定理计算的长，由正切的定义可得和的长，计算的长，再计算当与重合时的长，从而得结论．
【解析】解：把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，如图1，
，，
，，
，
而，
，
，
同理可得，
，
，
在中，，，，
，
，
在中，，即，
，
在中，，即，
，
；
如图2，当与重合时，，即，
，
，
折痕的长度范围是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数．
三、解答题
19．如图，为了测量某建筑物的高，在距离点米的处安置测角仪，测得点的仰角为，已知仪器的高米，求建筑物的高.
【答案】建筑物的高为.
【分析】利用锐角三角函数关系得出AE的长，即可得出AB的长．
【解析】如图所示：过点作于点，
由题意可得：，
则，
解得：，
故（）.
答：建筑物的高为.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，得出AE的长是解题关键．
20．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】广告牌的高度为米
【分析】利用CD及正切函数的定义求得BC，AC长，把这两条线段相减即为AB长．
【解析】解：根据题意，可知
，，米，．
在中，，得
米．
在中，，得
米．
∴．
答：广告牌的高度为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
21．海中有一小岛S，该岛周围内有暗礁．今有快艇以的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东方向．

(1)A到B的距离是______；
(2)求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：，，）
【答案】(1)20
(2)该快艇继续向北航行不会有触礁危险，见解析
【分析】（1）根据速度、时间、路程之间的关系即可求解；
（2）过点作于，由题意得，，设，在中求出即可解答．
【解析】（1）解：（1）由速度、时间、路程之间的关系可得，，
故答案为：20；
（2）解：该快艇继续向北航行不会有触礁危险，理由如下：
过作，
，
设，在直角三角形中，
∴
∴，
∴
该快艇继续向北航行不会有触礁危险．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，掌握锐角三角形函数的定义并灵活运用是解题的关键．
22．如图，，斜坡的长为米，坡度，在点处测得旗杆顶端的仰角为，点到旗杆底部的距离为米．

(1)求斜坡的坡角的度数；
(2)求旗杆顶端离地面的高度的长．（结果精确到0.1米）
【答案】(1)
(2)16.0米
【分析】（1）过点作于点，由，可得；
（2）由、知米，再由可得答案．
【解析】（1）∵
∴
（2）作垂足为

在中，

在矩形中
在Rt△BCE中
∴
∴（米）
答：的长是米
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念和坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．近年来，我校秉承“教学生三年，为学生想三十年，为民族想三百年”的办学理念，如图，是我校的办学理念石，某班学生测量其高（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为，再由点C向办学理念石走到E处，测得顶端A的仰角为，已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度，求办学理念石的高．（参考数据：，，）

【答案】办学理念石的高约为米．
【分析】如图，延长交于M，由题意可得：，所以四边形，四边形，四边形都为矩形；设，再表示，再利用锐角的正切建立方程，解方程即可．
【解析】解：如图，延长交于M，由题意可得：，
所以四边形，四边形，四边形都为矩形；
，

设，而，
∴，
由，
∴，
解得：经检验符合题意，
所以
答：办学理念石的高约为米．
【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
24．为为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
(1)求限速道路AB的长（精确到1米）；
(2)如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【答案】(1)1507米
(2)超速，见解析
【分析】（1）由三角函数定义求出AE、AB，即可得出答案；
（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．
【解析】（1）根据题意，得∠CAB=37°，CD=220米，∠DAB=30°，∠DBA=45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF，CD=EF，
∵∠DBA=45°，
∴DF=BF，
设DF=BF=CE=x米，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，DF=x米，
∴AF=DF÷tan30°=DF=x（米），
∴AE=AF-EF=（x-220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE=37°，
∵CE=AE•tan37°，
∴x=（x-220）×0.75，
解得x=60（3+4）=（180+240）米，
∴AE=x-220=（320+240）米，
FB=x=（180+240）（米），
∴AB=AE+EF+FB
=320+240+220+180+240
=780+420
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒=小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
25．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
【答案】(1)75；60
(2)米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
【解析】（1）过点A作于点E，
由题意得：
∴
（2）由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
（3）作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
26．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
27．遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为△ABC）用立柱OP固定在地面上的点O处，此时OP垂直于地面OQ，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱OP上的滑动调节点B，打开支架PD，伞面撑开如图②，其中，AB'= AC =2m，∠C =30°，D为AB'中点，PD =1m，根据生活经验，当太阳光线与伞口BC垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）
(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为60°，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点B，此时立柱PO与支梁PD夹角是多少度？
(2)在（1）的情况下，若遮阳伞落在地面上的阴影近似为以MN为直径的圆形，如图④所示，你能求出这个阴影的面积有多大吗？（提示：过B'作MN的平行线）
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为80°，滑动调节点B到B1，使遮阳效果最佳，此对调节点B滑动的距离约为多少？
(sin50≈0.756，cs50≈0.643，tan50°≈1.192，结果精结果精确到0.01m）
【答案】(1)30；
(2)4π；
(3)0.71.
【分析】（1）过作CM，交OM于点N，由遮阳效果最佳，得B'N⊥B'C，求出 ，再求出，由DP=DA==1，可得答案；
（2）过A作AG⊥B'C于点G，过B'作B'F //OQ交CM于点F，先求出，再求出B'F=4，最后求出NM= 4，即可得答案；
（3）过点D作DE⊥PO于点E，先求出∠PB1D=50°，再求出∠P=50°，由DP=DB1=1，求出PE= B1E= PD×cs50°= cs50°，即可得答案．
【解析】（1）解：如下图，过作CM，交OM于点N，
∵遮阳效果最佳，
∴B'N⊥B'C，
∵∠B'NO= 60°
∴∠OB'N= 30°，
∴∠CB'P=60°，
∴∠AB'C=∠ACB' = 30°，
∴∠PB'D= 30°，
∵DP= DA==1，
∴∠P=∠= 30°；
（2）如下图，过A作AG⊥B'C于点G，过B'作B'F //OQ交CM于点F，
∵A B'=AC=2PD=2，∠ACB'=30°，.
∴CG= B'G= ，
∴ ，
∵B'F //OQ，
∴∠=90°，∠ =60°，
∴B'F= ，
∵B'N//CM，B'F //NM，
∴四边形B'NMF为平行四边形，
∴NM= 4，
阴影的面积 ；
（3）如下图，过点D作DE⊥PO于点E，
∵遮阳效果最佳
∴CH⊥B1C，
∵∠CHO= 80°，
∴∠CB1O= 100°，
∵∠AB1C= 30°，
∴∠PB1D=50°，
∵DP=DB1=1，
∴∠P=50°，
∴PE= B1E= PD×cs50°= cs50°，
∵PB1=2PE，
∴BB1= PB-PB1=2- 2cs50°≈0. 71(m)．
【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是作辅助线．