沪教版（五四制）数学九上第25章《 锐角的三角比》 单元综合检测（重点）（原卷+解析卷）

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第25章 锐角的三角比 单元综合检测（重点）一、单选题1．若，则锐角A的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为，A为锐角，由特殊角的三角函数值即可解答．【解析】解：，A为锐角，由特殊角的三角函数值知：，故选：A．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答关键．2．如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，分别写出、 、中，关于的比值．【解析】，在中，，在中，，， ，，在中，．故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的比值是解题的关键．3．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车上升的高度为（    ）A．25米 B．米 C．米 D．50米【答案】A【分析】利用坡度为可求出，即可得到米，得到答案．【解析】解：如图，，米，∵，∴，∴（米），即此时该小车上升的高度为25米．故选：A【点睛】此题考查了坡度坡比问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．4．如图，在中，，，则有（    ）  A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可．【解析】解：∵，∴，设，则，∴，∴，，，；∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键．5．下列不等式，成立的是(    )A． B．C． D．【答案】D【分析】根据特殊角三角函数值比较即可．【解析】解：特殊角的三角函数值如下表所示：由表格可知：选项A错误，正确应为：；选项B错误，正确应为：；选项C错误，正确应为：；选项D正确，故选D．【点睛】本题考查特殊角三角函数值和比较它们的大小，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．也可以利用结论来判断，判断依据：一个锐角的正弦值和正切值随着角度的增大而增大，一个锐角的余弦值和余切值随着角度的增大而减小．6．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（   ）  A．1 B． C． D．【答案】B【分析】在直角中利用正切函数的定义即可求解．【解析】解：过A作于D，   在直角中，，， 则． 故选：B．【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．7．如图，在等腰 中，，，，则的值为（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出，根据等腰三角形三线合一，求出，最后根据正切的定义即可求解．【解析】解：过点A作于点D，∵，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，故选：A．  【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，求角的正切值，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”，正确作出辅助线，构造直角三角形求解．8．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，且经过点，O为坐标原点，则（　　）  A． B． C． D．【答案】C【分析】过点B作轴于点C，根据点，得出，，求出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可．【解析】解：过点B作轴于点C，如图所示：  则，∵点，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，求三角函数值，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．9．如图，在中，，于，平分交于，，．则的值为（    ）  A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】根据正弦的定义得出，设，则，勾股定理求得，，，过点作，交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【解析】于，，设，则，在中，由勾股定理可得：，，在中，，，解得（不合题意，舍去），，，，过点作，交的延长线于点，  平分，∴∵，∴∴∴∵∴∴．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正弦的定义，熟练掌握是解题的关键．10．如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点作于点，过点作于点，先确定出当点，，三点共线时，最小，再根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得，根据线段垂直平分线的性质可得，然后解直角三角形可得，从而可得，利用勾股定理可得，则，最后根据三角形的面积公式可得，由此即可得出答案．【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，则当点，，三点共线时，最小，由旋转的性质得：，，是等边三角形，点是的中点，，，又，点是的中点，，，，，，，，在中，，，，，，即的最小值为，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键．二、填空题11．式子的值是 ．【答案】/【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答．【解析】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键．12．为锐角，且，则 度．【答案】【分析】根据题意，由得到，结合为锐角，根据特殊角的三角函数值可知．【解析】解：，，为锐角，，故答案为：．【点睛】本题考查由三角函数值求角度，熟记常见特殊角的三角函数值是解决问题的关键．13．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是 米（结果保留根号）．【答案】200（+1）【分析】先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠BCD与∠ACD的度数,再由直角三角形的性质求出AD与BD的长,根据AB=AD+BD即可得出结论．【解析】∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,∴∠BCD=90°﹣45°=45°,∠ACD=90°﹣30°=60°,∵CD⊥AB,CD=200米,∴△BCD是等腰直角三角形,∴BD=CD=200米,在Rt△ACD中,∵CD=200米,∠ACD=60°,∴AD=CD•tan60°=200×=200（米）,∴AB=AD+BD=200+200=200（+1）米．故答案为200（+1）【点睛】本题考核知识点：解直角三角形，锐角三角函数的定义，特殊角三角函数值，同角三角函数的关系等考点的理解.14．等腰，底角是，面积是，则的周长是 【答案】【分析】设腰长为，则等腰三角形的高为，底边长为，三角形的面积为，解得的值，进而求出周长的值．【解析】解：设等腰三角形的腰长为，高为，底边长为解得周长为故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数值，等腰三角形．解题的关键在于利用三角函数值将边长表示出来．15．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角，它们重叠部分（图中阴影部分的面积是 ．    【答案】【分析】如图：过C作，，垂足为E，F，则重叠部分为平行四边形，运用三角函数定义先求边长，再根据平行四边形的面积公式求解即可．【解析】解：如图：过C作，，垂足为E，F，由题意可得：，，∵，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为．故答案为．  【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角函数的应用，利用三角函数求出BC的长是解答本题的关键．16．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ．【答案】13cm【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可．【解析】解：过点P作PE⊥OB∵CO=5cm，OD=8cm ，∴CD=OD-CO=3又∵PC=PD，PE⊥OB∴CE=∴OE=OC+CE=∴在Rt△POE中，故答案为：13cm．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．17．如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则＝ ．  【答案】【分析】过点A作于点F，过点A作于点H，先根据等腰三角形的性质和折叠性质得到，，，，，设，则，则，根据正切定义得到，利用勾股定理求得，，，再证明求解即可求解．【解析】解：如图，过点A作于点F，过点A作于点H，  ∵，∴，根据折叠的性质可知，，，，，∴，设，则，∴，在中，， ∴，∴，解得：或（舍去），∴，， 在中，，∴∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠性质，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．18．如图，E是矩形的边延长线上一点，于点F，，交延长线于点G，若，则的值为 ．  【答案】【分析】利用和，可求得，，据此即可求解．【解析】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∵，即，∴，∵，即，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题19．计算：（1）sin260°-tan30°•cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根据特殊的锐角三角函数值以及基本的四则运算法则可直接求解最后结果．【解析】解：（1）原式= = =．（2）原式= = =- =-【点睛】本题考查了锐角三角函数函数值，熟记特殊的锐角三角函数值是解决本题的关键．20．已知，在中，，，．求：(1)的长；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先画图，再利用，求解，再利用勾股定理求解即可；（2）直接利用锐角的正切的定义求解即可．【解析】（1）解：如图，  在中，，，，∴，∴．由勾股定理，得；（2）．【点睛】本题考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段．21．如图，在中，，，垂足为D，，．(1)求的长；(2)求的余切值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式，利用等面积法可得的长，再根据勾股定理求解即可；（2）由（1）得：，从而得到，再由余切值等于邻边与对边的比，即可求解．【解析】（1）解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴，∵是边上的高，∴即，∴，在中，由勾股定理得；（2）解：由（1）得：，∴，∴．【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答的关键．22．如图5，在中，已知，，．  (1)求边的长；(2)已知点D在边上，且，连接，试说明与相等．【答案】(1)(2)理由见解析【分析】（1）作，垂足为点H．先证明，即，由．可得．设，那么，．即可得，即，在中，；（2）作，垂足为点G．先证明，即．由得．即有，即．可得，即是线段的垂直平分线．则有，问题得解．【解析】（1）作，垂足为点H．  在中，．∴，即．在中，．∴．设，那么，．∵，∴，即，∴，．在中，；（2）作，垂足为点G．  ∵，∴．∴，即．由得．∵，∴，即．∴，即是线段的垂直平分线．∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握平行线分线段成比例是解答本题的关键．23．如图，四边形中，．(1)如果，求的值；(2)如果，求四边形的面积．【答案】(1)1(2)【分析】（1）过点A作于点E，可得四边形是矩形，从而得到，继而得到，再由锐角三角函数，即可求解；（2）过点A作于点E，可得四边形是矩形，从而得到，设，则， 在中，利用勾股定理求出x的值，再根据四边形的面积，即可求解．【解析】（1）解：如图，过点A作于点E，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图，过点A作于点E，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，设，则， 在中，，∴，解得：，即，四边形的面积．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．24．如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．【答案】(1)167.79米(2)能，理由见解析【分析】（1）过点M作，交AC的延长线于D，设．解，得，解，得，进而可得，解方程即可；（2）作，交l于点F．解求出DF，进而求出AF，与AB比较大小即可．【解析】（1）解：过点M作，交AC的延长线于D，设．∵在中，，又∵在中，，∴，∵，∴． ∴（米）．即轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．（2）解：作，交l于点F．在中，有：（米），∴．∴该轮船能行至码头靠岸．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．25．如图，已知正方形，、分别为边、的中点，与交于点，，垂足为点．(1)求证：；(2)连接，求正弦值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，进而得出，则，根据平行线分线段成比例即可得证；（2）根据得出，设，则， ，在中，，进而根据正弦的定义即可求解．【解析】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵、分别为边、的中点，∴，∴，∴，∵,∴，∴，即，∵，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵又∵，∴，∵，∴，∴，∴，设，则， 在中，，∴， ∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，正切的定义，求角的正弦值，熟练掌握是正方形的性质以及三角函数的定义解题的关键．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点．(1)求抛物线的表达式及对称轴；(2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标；(3)点在直线上，若，求点的坐标．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进一步即可求出抛物线的对称轴；（2）求出直线的解析式，进而求出C点坐标，设平移后的顶点坐标为，则有平移后的解析式为，把点C坐标代入求出解题即可；（3）分点E在点D的上方时和点E在点D的下方两种情况解题，过E作于点F，利用正切求出与的关系进行解题．【解析】（1）解：把点和点代入得：，解得，∴对称轴为直线，（2）设直线的解析式为,代入得：，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴C点坐标为，设平移后的顶点坐标为，则解析式为，把代入得：或（舍），∴，（3）∵,∴，对于，当时，，∴点D的坐标为，∴，当点E在点D的上方时，过E作于点F，∵∴，∴，∴，∴，当点E在点D的下方时，过E作于点F，∵∴，∴，∴，∴，综上所述，或．【点睛】本题考查三角函数，待定系数法求解析式，平移，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．27．如图，在中，，， ，，平分交边于点D，点E是边上的一个动点（不与B、C重合），F是边上一点，且，与相交于点G．          (1)求证：；(2)设，，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)y=(3)的长为1或【分析】（1）要证，只需证，只需证到，．由，平分∠ABC可证到；由可证到，问题解决．（2）作的垂直平分线交于点M，交于点N，易证，从而可以证到，可得．只需用x、y表示出、，问题就得以解决．（3）当是以为腰的等腰三角形时，可分和两种情况讨论．当时，由可得，从而可以得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值；当时，易证，过点F作，垂足为H，则有，结合，就可得到x与y的等量关系，再结合（2）中的y与x的关系就可求出x的值．【解析】（1）证明：∵平分，∴．∵，∴．∵，，，∴．∵，，∴．∴．（2）解：作的垂直平分线交于点M，交于点N，如图2，  则有．在中，，则．∵垂直平分，∴．∴．∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．∵，，，∴．又∵，∴．∴．（3）解：①，如图3，  ∵（已证），∴．∵，∴．∵，，∴．∴．∴．整理得：．则有．解得：（舍），．②，过点F作，垂足为H，如图4，  ∵，∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．在中，．∴．∴．∴．∴．整理得：．则有．∴，．∵，∴．综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的长为1或．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、用因式分解法解一元二次方程、锐角三角函数的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质、垂直平分线的性质等知识，综合性非常强．而作的垂直平分线交于点M，进而证到是解决第二小题和第三小题的关键．角度三角函数名