沪教版（五四制）数学九上第25章 《锐角的三角比》单元综合检测（难点）（原卷+解析卷）

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第25章 锐角的三角比 单元综合检测（难点）一、单选题1．如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解．【解析】解：∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴；故答案为．【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．如图，在矩形中，连接，点E是上一点，连接，若，，，则的值为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形的性质得，再由，求得，即可求得的长为8，根据勾股定理求得的长为10，即可求得．【解析】解：四边形是矩形，，，，，，，，， 故选：C．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是根据面积等式求出的长进而求出的长．3．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体．如图，小南在与塔底同一高度的地面处测得塔顶的仰角为．接下来，他沿一条坡比为1:2.4的斜坡行进了156米后，在处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内，则小南测得的双子塔的高度约为（    ）米．（参考数据：，，）A．193 B．196 C．201 D．206【答案】B【分析】过点D作于E，于 F，连接AC，则，得到四边形 DEBF是矩形，求出DF，进而求出BC的高度．【解析】分别过点D作于E，于 F，连接AC，如图所示：则，∴四边形DEBF是矩形，∴，∵斜坡AD的坡比为1:2.4，∴，设，在中，，即 ，解得，(舍去)，∴(米)，(米)，∴(米)，(米)，∵，∴，∴，∴(米)，在，，∴，解得，(米)，∴(米)，∴(米)，故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是能根据题意，结合图形利用三角函数解直角三角形．4．如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则(     )  A． B． C． D．【答案】D【分析】利用证明，从而得到，设，利用证明，从而得到，继而求出，再根据找到与的关系式，从而得解．【解析】解：∵，∴，在正方形中，， ∴，∴，∵，，∴∴设在正方形中，，∴，∴，即解得：又∵，即，∴，∴，令，则∴，即，∴．故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义等知识，利用相似三角形的性质求是解题的关键．5．如图在平面直角坐标系中，点A、D在第一象限内且点，点，点，，点B到射线的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线交轴于点，过点作，过点作于，交于点，过点作于点，设交轴于点，根据已知条件求得直线解析式，构造等腰直角三角形,，设，则，，根据三角函数求得的长，根据垂线段最短，求得的长即可求解【解析】如图，设直线交轴于点，过点作，过点作于，交于点，过点作于点，设交轴于点，点在上，即直线解析式为，时，则，点，设，则，， 是等腰直角三角形，故选D【点睛】本题考查了解直角三角形，一次函数与坐标轴交点，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，添加辅助线利用好45°构造等腰直角三角形是解题的关键．6．如图，四边形为正方形，将绕点C逆时针旋转至，点D，B，H在同一直线上，与交于点G，延长与的延长线交于点F，，；以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　）  A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证明，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明即可求出可知③正确；过点E作交于点M，求出，再证明，即可知④正确．【解析】解：∵旋转得到，∴，∵为正方形，D，B，H在同一直线上，∴，∴，故①正确；∵旋转得到，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；设正方形边长为a，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴，故③正确；过点E作交于点M，  由③得，∴，∴，由③得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故④正确综上所述：正确结论有4个，故选：D．【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．二、填空题7．已知，，则 ．【答案】/【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案．【解析】解：根据题意可得，，，，，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键．8．在中，，是边上的高，且，则 ．【答案】或【分析】分当点H在线段上时，，当点H在线段的延长线上时，两种情况先解直角三角形和利用三角形内角和定理求出，，再根据已知条件得到，进而解直角三角形得到，由此即可得到答案．【解析】解：如图所示，当点H在线段上时，∵在中，，是边上的高，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；如图所示，当点H在线段的延长线上时，同理可得，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．如图，点是矩形纸片边上一点，如果沿着折叠矩形纸片，恰好使点落在边上的点处，已知，那么折痕的长是 ．【答案】【分析】由折叠的性质可知，由矩形的性质得到，，先解求出，进而得到，则，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，则．【解析】解：由折叠的性质可知，∵四边形是矩形，∴，，∵在中，，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出的长是解题的关键．10．如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么 ．【答案】【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．【解析】解：如图，延长交于F，∵点D是的重心，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵和都是等边三角形， ∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．11．如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于 ．【答案】或【分析】分两种情况讨论，当时，利用，列式计算即可求解；当时，即是的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解．【解析】解：当时，，即，是“倍角互余三角形”，则∴∴∴；当时，，即，是“倍角互余三角形”，此时是的角平分线，作于E，则，∵，∴，∴，∵，，，，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得．综上，的长等于或．故答案为：或．【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．12．在矩形中，，，若点在边上，连接、，是以为腰的等腰三角形，则的值为 ．【答案】或【分析】根据题意可知需要分类讨论：和两种情况，可求出的长，进而可求出的值．【解析】解：在矩形中，，．如图1，当时，点是的中垂线与的交点，则．在中，，如图2，当时，也是以为腰的等腰三角形，，综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．解题时，要分类讨论，以防漏解是解题的关键．13．如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为 ．【答案】【分析】过点E作交于点G，证明，根据正方形的面积求出，然后求出结果即可．【解析】解：过点E作交于点G，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵正方形的面积为12，∴，∵，∴．答案：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求出．14．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为 ．【答案】6【分析】根据，，结合勾股定理求出和的长度，过点C作于点M，交于点N，根据相似三角形高的比等于相似比即可进行解答．【解析】解：∵，，∴，设，则，∵，∴根据勾股定理可得：，即，解得：，（舍），∴，，过点C作于点M，交于点N，∵，∴，即，解得：，∵四边形为正方形，∴，即，∴，∴，设正方形边长为y，∵，，，∴，，∴，即，，解得：，∴正方形的边长为6．故答案为：6．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理和解直角三角形等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．如图，在中，，点在边上，点在射线上，将沿翻折，使得点落在点处，当且时，的长为 ．【答案】/【分析】求出，勾股定理求出，根据题意，易得：，，进而求出的长，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，易得四边形，四边形均为矩形，分别求出，得到，设，则：，分别用含的式子，表示出，利用勾股定理求出的值，进而得解．【解析】解：在中，，∴；，∵将沿翻折，使得点落在点处，当且，∴，， ∴，∴，∴，∴，∴，过作，过点作，过点作，交于点，延长交于点，∵，∴，∴四边形，四边形均为矩形，∴，，∴，∴，设，则：，∴，，，连接，则：，在中，，即：，解得：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形．本题难度大，综合性强，根据题意，准确的作图，构造特殊图形，是解题的关键．16．如图，在等边中，点D是边AB上一点，且，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果的面积是的面积的3倍，那么的值为 ．【答案】【分析】过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H；根据和的面积关系可得点F为CD中点，从而求出FH的长度，在根据勾股定理求出GH的长度，即可进行求解．【解析】解：过点F作，垂足为点G，联结点F和中点H；令等边的边长为x，∵，，∴的高为：，∴，∵，∴，则，∴，∵的面积是的面积的3倍，∴，∴，∴，∴，则点F为CD中点，∴，∵，∴，∴，解得：，在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各个知识点，根据题意构建直角三角形进行求解是解题的关键．17．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是 ．【答案】【分析】把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，根据折叠的性质得到，，证明，同理可得，于是可得的长，然后根据勾股定理计算的长，由正切的定义可得和的长，计算的长，再计算当与重合时的长，从而得结论．【解析】解：把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，如图1，，，，，，而，，，同理可得，，，在中，，，，，，在中，，即，，在中，，即，，；如图2，当与重合时，，即，，，折痕的长度范围是：．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数．18．如图在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E为对角线AC上的动点，EF⊥DE交BC边于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG．（1）当AE＝2时，求 ；（2）点H在AD上且HD＝3，连接HG，则HG的取值范围是 ．【答案】 【分析】（1）过点E作EM⊥AD于点M，交BC于点N，先根据勾股定理及根据三角形的性质分别求出DE、EF的长，再求出DE与EF的比值即可；（2）连接并延长CG交AD的延长线于点L，连接EG，设FG交AC于点K，先证明，则△EFG∽△ABC，得∠EGK=∠FCK，因为∠EKG=∠FKC，所以△EKG∽△FKC，得，转化为，可证明△EKF∽△GKC，得∠ACL=∠EFK=90°，则∠LCD=90°-∠ACD=∠ACB，即可求得LD的长，进而求出HL的长；当HG⊥CL时，HG的值最小，可求得此时HG=6；连接HC，由勾股定理求出HC的长，可证明当点E与点C重合时，HG的值最大，此时HG=HL=，因此HG的取值范围是6≤HG≤．【解析】解：（1）如图，过点E作EM⊥AD于点M，交BC于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠NMA=∠MAB=∠B=90°，∠NMD=∠MDC=∠DCN=90°，∴四边形ABNM和四边形CDMN都是矩形，∴MN=AB=CD=6，DM=CN，∵AD=BC=8， ∴AC=，∴EM=AE•sin∠DAC=，AM=AE•cos∠DAC=，∴DM=，EN=，∴DE=，∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF=90°，DE=FG，∵∠ENF=∠DME=90°，∴∠NEF=90°-∠DEM=∠MDE，∴△NEF∽△MDE，∴，∴，∴，∴，故答案为：．（2）如图，连接并延长CG交AD的延长线于点L，连接EG，设FG交AC于点K，由（1）得△NEF∽△MDE，DM=CN，∴，∵，ED=FG，∴，∴，∵∠EFG=∠ABC=90°，∴△EFG∽△ABC，∴∠EGK=∠FCK，∵∠EKG=∠FKC，∴△EKG∽△FKC，∴，∴，∵∠EKF=∠GKC，∴△EKF∽△GKC，∴∠ACL=∠EFK=90°，∴∠LCD=90°-∠ACD=∠ACB，∴，∴，∵HD=3，∴HL=HD+LD=，当HG⊥CL时，HG的值最小，∵∠HGL=∠ACL=90°，∴，∴∠LHG=∠DAC，∴HG=HL•cos∠LHG=HL•cos∠DAC=，∴HG的最小值为6；如图，连接CH，当点E与点A重合时，则点G与点C重合，∴HG=CH=；当点E与点C重合时，则点G与点L重合，∴HG=HL=，∵，∴HG的最小值为6、最大值为，∴HG的取值范围是6≤HG≤，故答案为：6≤HG≤．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题19．计算：(1)；(2) ．【答案】(1)(2)【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法；（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．【解析】（1）解：原式 ；（2）原式 ．【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．20．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，．      (1)请问身高米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头部？请说明理由．(2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度．（参考数据：，，）【答案】(1)不会，理由见解析(2)7米【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；（2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案．【解析】（1）解：过点作，交于点，      ，，，不会碰到头部；（2），，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，段和段的坡度，，，，（米）．    【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．21．如图，在中，，，，点E、F、G分别在边上，且，，连接DE．  (1)求证：；(2)设．（i）求的长（用含的代数式表示）；（ii）当时，求的值．【答案】(1)见解析；(2)（i）；（ii）无解．【分析】（1）过点作，则，由可得为的中点，从而得到点为的中点，即可求解；（2）（i）由可得，则，由（1）可得，则，，根据勾股定理求得的长度，即可求解；（ii）利用相似三角形的性质可得，即可求解．【解析】（1）证明：过点作，如下图：  ∵∴为的中点，∵，∴∴，即点为的中点，在平行四边形中，∴∴∴，（2）解：（i）在中，，∴，又（1）可得，即为的中点∴∴∵为的中位线，∴由勾股定理可得：∴；（ii）在中，，∵∴，即化简可得：判别式所以无解【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．22．如图，在平行四边形中，点E在边上，对角线于点F，．(1)求证：；(2)如果．①求的长；②如果，求值．【答案】(1)证明见详解(2)，【分析】（1）根据平行四边形可得，即可得到，，结合可得，，即可得到答案；（2）①根据可得，从而得到与的关系，结合即可得到答案；②过D作交延长线与点G，设，根据①中三角形相似得到，在与中根据勾股定理列方程求出m，即可得到答案【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：①∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，设，则，，∴，解得：，（舍去），∴；②∵，，∴，，∵，∴，过D作交延长线与点G，设，与中由勾股定理可得，，解得：，∵，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形性质，相似三角形性质与判定，三角函数，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．23．如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，；(1)求的长；(2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)若是等腰三角形，求的值；【答案】(1)5(2)(3)或或8【分析】（1）过点D作于点E，证明四边形为矩形，则，，再根据勾股定理定理即可求出；（2）连接，先用等面积法求出，再证明，从而得出，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据可得为等腰三角形，根据题意进行分类讨论，当点E在线段上时，当点E在延长线上时．【解析】（1）解：过点D作于点P，∵，，∴，∵，∴，∴四边形为矩形，∴，，∵，∴，在中，根据勾股定理得：．（2）解：连接，∵，，∴，即，解得：，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，，整理得：．（3）①当点E在线段上时，由（2）可得，∵为等腰三角形，∴为等腰三角形，当时，；当时，过点M作于点Q，由（1）可得：，∴，∵，∴，∵，，∴，不符合题意，舍去；=当时，过点E作于点H，∵，，∴，∵，∴，∴，②当点E在延长线上时，∵，，∴，∴当点E在延长线上时，只能为等腰三角形的顶角，∴，∴．综上：或或8．【点睛】本题主要考查了四边形和三角形的综合应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握各个相关知识点并灵活运用，根据题意正确作出辅助线，构造直角三角形那个和全等三角形求解．24．如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点．(1)求m、n的值；(2)设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标．(3)设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入直线解析式中，可求得m、n的值；（2）过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，可证明，由相似三角形的性质即可求得点P的坐标；（3）设点，证明，由相似三角形的性质可得关于q的方程，解方程即可．【解析】（1）解：把点A、B的坐标分别代入中，得：，解得：，即，；（2）解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由A、B的坐标知，，，，∴，即，∴，当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为；当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为；综上，点P的坐标为或；（3）解：由（1）知，直线解析式为：，上式中，令，得，则，；因点Q在直线上，故设点，∵，，∴，∴，即，∵，，∴，，，∴，解得：或（舍去），∴点Q的坐标为．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理及三角函数等知识，（2）问中有两种情况，不要漏掉其中一种情况，（3）问中利用相似三角形的性质建立方程是难点．25．已知在正方形中，对角线，点E、F分别在边上，．(1)如图，如果，求线段的长(2)过点E作，垂足为点G，与交于点H．①求证：；②设的中点为点O，如果，求的值．【答案】(1)；(2)①见解析，②或．【分析】（1）如图，连接交于点M．易证，得垂直平分，可得，由可得，由勾股定理求出，依据，求解即可；（2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，易证，可得，易证得到，由，可证，，即，，代入即可；②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，易证，得到，由（1）可知垂直平分，得，如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，可得，设，由，解得，在中，，解得，从而可求得；如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，，设，由，解得，在中，，解得，代入可得．【解析】（1）解：如图，连接交于点M．由题意可知，∴在和中，，∴，∴，，，∴垂直平分，∴，∴，∵，，，，，∴，解得：，；（2）①如图1，过点H作交于点N，延长交于点M，在正方形中，，，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴；②过F作交于P，过E作交于I、交于Q，连接，，，，，，在正方形中，易证是正方形，，，，，由（1）可知垂直平分，，如图，当H在上时，，由①可知，，设,则，，，，，，，在与中，，设，，∴，解得，在中，，∴，解得或（不合题意，舍去），∴；如图，当H在上时，，，由①可知，，设,则，，在与中，，设，，，，∴，解得，在中，，∴，∴，∴，解得或（不合题意，舍去），∴，综上所述：或．【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质的应用，相似三角形的判定和性质的应用、勾股定理和三角函数解直角三角形；解题的关键是构建相似三角形，运用相似的性质建立等量关系．