沪教版（五四制）数学九上第26章 《二次函数 》单元综合检测（重点）（原卷+解析卷）

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第26章 二次函数 单元综合检测（重点）一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【解析】解：A．是一次函数，故不符合题意；B．当时是一次函数，故不符合题意；C．是二次函数，故符合题意；D．是一次函数，故不符合题意故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，为常数，的函数叫做二次函数．2．关于抛物线，下列说法正确的是（    ）A．开口向上 B．与轴的交点是C．顶点是 D．对称轴是直线【答案】D【分析】根据二次函数解析式中系数与图形的关系即可求解．【解析】解：选项，抛物线中，，图像开口向下，故选项错误，不符合题意；选项，令，函数值，则抛物线与轴的交点是，故选项错误，不符合题意；选项，根据顶点式得，抛物线的顶点为，故选项错误，不符合题意；选项，抛物线的对称轴是直线，故选项正确，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（　　）．A． B．C． D． 【答案】C【分析】依据题意，根据抛物线的顶点式平移规律“左加右减，上加下减”，从而判断得解．【解析】解：由题意，根据二次函数图象的几何变换规律，∵抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，∴所得抛物线为，故选：．【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并理解图象的平移变换规律是解题的关键．4．关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）．A．对称轴为直线 B．顶点坐标为C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降【答案】D【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．【解析】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意；B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意；C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意；D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意． 故答案为：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．5．已知二次函数的图象开口向上，若点，，都在该函数图象上，则，，三者之间的大小关系是（        ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出，，的值，然后比较它们的大小．【解析】解：当时， ；当时， ；当时， ；∵二次函数的图象开口向上，∴，∴∴．故选：C．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把坐标代入解析式．6．已知抛物线的顶点是此抛物线的最低点，那么的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线有最低点可知抛物线开口向上，据此求解即可．【解析】解：∵抛物线的顶点是此抛物线的最低点，∴抛物线的开口向上，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．7．已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据抛物线的解析式求得抛物线开口向下，对称轴为直线根据二次函数的性质可得，即，即可选出最后答案．【解析】解：函数中，抛物线开口方向向下，对称轴直线为，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，当时，，取到最大值，，即，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，找到对称轴确定二次函数的最值是解答本题的关键．8．已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（    ）  A．   B．     C．   D．  【答案】B【分析】先根据的函数图象可知，，进一步推出二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，由此即可得到答案．【解析】解：由二次函数的图象可知，，∴二次函数的开口向下，与轴交于正半轴，∵二次函数的图象与x轴交于，∴方程的两个根为，∴二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，综上所述，只有B选项中的函数图象符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键．9．如果二次函数的图像如图所示，那么（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】根据开口方向可得，根据与y轴的交点可知，根据对称轴在y轴右侧可知，由此即可得到答案．【解析】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，∴，∵二次函数对称轴在y轴右侧，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，看开口方向可确定a的符号；看对称轴在y轴的左边还是右边可确定b的符号；看抛物线与y轴交点的位置可确定c的符号；注意数形结合是本题的最大特点．．10．如图，抛物线与直线交于A、B两点，与直线交于点P，将抛物线沿着射线平移个单位，在整个平移过程中，点P经过的路程为（    ）  A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，则平移后的解析式为，再根据点P在直线，直接把代入得到点P的纵坐标与a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可.【解析】解：由题意得，当抛物线沿着射线平移个单位时，相当于将点A先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，∵原抛物线解析式为，∴平移后的解析式为令时，则，∴当时，，∵，∴当时，，当时，，∴当时，在平移过程中点P的运动路程为，当时，在平移过程中点P的运动路程为，∴整个平移过程中，点P的运动路程为，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的特征等知识，解题的关键是灵活运用平移的性质解决问题，学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．二、填空题11．二次函数的图像的顶点坐标是 ．【答案】【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．【解析】解：，二次函数的图像的顶点坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式后，顶点坐标是，熟练掌握此知识点是解题的关键．12．若函数是关于的二次函数，则 ．【答案】【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．【解析】解：∵函数是关于的二次函数，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（且a、b、c是常数）的函数叫做二次函数．13．抛物线的对称轴是直线，那么b的值为 ．【答案】【分析】根据对称轴公式列得，直接求值．【解析】解：∵抛物线的对称轴是直线，∴，得，故答案为：．【点睛】此题考查了抛物线的对称轴公式，熟练掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．14．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ．【答案】8【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可．【解析】解：把原点代入解析式，得，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的点的坐标满足解析式．15．抛物线在轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．【答案】下降【分析】根据抛物线的性质判定即可．【解析】∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴抛物线在轴的右侧y随x的增大而减小，故答案为：下降．【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．16．一个矩形的周长为16，设其一边的长为，面积为，则关于的函数解析式是 ．【答案】【分析】首先求得矩形的另一边长，则面积两边长的乘积，得出函数解析式．【解析】解：矩形的周长为16，其一边的长为，另一边长为，．故答案为：【点睛】此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．17．如果二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是 ．【答案】/【分析】根据二次函数图象开口方向即可判断；【解析】解：∵二次函数的图象开口向下，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．18．抛物线与轴的交点坐标是 .【答案】【分析】根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．【解析】解：令，得，故与轴的交点坐标是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题较容易．19．抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是 ．【答案】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【解析】抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．20．抛物线 的最高点为 ，则 ， ．【答案】 2【分析】利用二次函数的对称轴和最值公式求解即可．【解析】解：∵二次函数的二次项系数，∴该函数的图象的开口方向向下，∴二次函数的图象的最高点坐标就是该函数的顶点坐标，∴，即①，，②，由①②解得，，；故答案为：，．【点睛】本题考查了二次函数的最值．解答此题时，弄清楚“二次函数的图象的最高点坐标就是该函数的顶点坐标”是解题的关键．21．二次函数中与自变量之间的部分对应值如下表：则的值是 ．【答案】【分析】先根据待定系数法求出二次函数的解析式，再将代入计算即可求解．【解析】根据题意可知：时，；时，；即有：，解得：，即二次函数解析式为：，当时，，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求出二次函数解析式，是解答本题的关键．本题还可以根据二次函数的对称性作答．22．二次函数，若函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，且，则与所满足的关系式为 ．【答案】【分析】先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案．【解析】解：根据题意可得：二次函数的顶点坐标为：，二次函数的顶点坐标为：，函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，，，整理得：，，，，得：，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键．三、解答题23．已知抛物线与x轴交于点，其顶点记作点P．(1)求此抛物线的顶点P的坐标．(2)将抛物线向左平移m（）个单位，使其顶点落在直线上，求平移后新抛物线的表达式．【答案】(1)此抛物线的顶点P的坐标为；(2)平移后新抛物线的表达式为．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的表达式，再配成顶点式，即可求解；（2）利用二次函数图象平移的性质即可求解．【解析】（1）解：将点代入得，解得，∴抛物线的表达式为，∴此抛物线的顶点P的坐标为；（2）解：由题意得平移后的抛物线的表达式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，∵顶点落在直线上，∴，解得，∴平移后新抛物线的表达式为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，二次函数图象平移的性质，掌握相关性质是解题的关键．24．已知二次函数（其中a、b、c为常数，且）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示：(1)该二次函数图像的对称轴是直线__________．(2)如果，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可；（2）先用待定系数法求出函数解析式，再求与y轴的交点坐标．【解析】（1）∵和时，，∴二次函数图像的对称轴是直线．故答案为：；（2）设二次函数解析式为，把，代入，得，∴，∴，当时，，∴与y轴的交点坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．25．已知二次函数图像经过，、三点．  (1)求该二次函数解析式；(2)将该二次函数图像平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式；(3)在（2）的条件下，若平移后的二次函数图像与x轴的另一个交点为E，求的正切值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据对称轴为直线，可得抛物线向右平移3个单位，设抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线为，将点代入，求得的值，进而即可求解；（3）过点作轴于点，得出是直角三角形，，过点作，勾股定理求得，进而得出，根据正切的定义，即可求解．【解析】（1）解：∵二次函数图像经过，、三点∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：∵，对称轴为直线∵平移使其经过点，且对称轴为直线，∴抛物线向右平移3个单位，设抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线为，∵经过点，∴，解得：，∴平移后的解析式为，即，（3）解：如图所示，过点作轴于点，  当时，，即，解得：，∴，∵，，∴，，，∴是直角三角形， 过点作，∵，∴，∴，在中，．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求正确，熟练掌握以上知识是解题的关键．26．如图，二次函数为常数，且的图像与轴交于点两点，与轴交于点，已知点在轴的左侧，且，，点的坐标为．    (1)求点的坐标；(2)求这个二次函数的解析式．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求得，再在与中，利用直角三角形的性质与勾股定理求出，，然后根据点A、B在x轴负半轴上，写出两点坐标即可；（2）用待定系数法求出二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：∵∴在中，∵，∴，由勾股定理，得，∵图像与轴交于点两点，且点在轴的左侧，∴；在中，∵，∴∴由勾股定理，得∴解得：，∵点在轴的左侧，∴．（2）解：把，，分别代入，得，解得：，∴【点睛】本题考查直角三角形的性质与勾股定理， 坐标轴上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质和用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交点和点，与轴相交于点，抛物线的顶点为点，连接、、、．  (1)求这条抛物线的表达式及顶点的坐标；(2)求的值；(3)如果点在轴上，，求点的坐标．【答案】(1)，顶点的坐标是(2)3(3)点的坐标是或【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理得出，则，进而根据正切的定义，即可求解；（3）当点在点右侧时，过点作，垂足为点，根据，设，，则，根据等腰直角三角形的性质可得，进而列出方程，解方程，即可求解．当点在点左侧时，根据，即可求解．【解析】（1）由抛物线经过点和点，可得：，解得：．    所以这条抛物线的表达式是．    由可得顶点的坐标是（2）由可得点的坐标是， 点，，，．，．    ；（3）当点在点右侧时，过点作，垂足为点，  在中，，．，在中，．    设，，则，，．．．即，解得，．在中，，．    ，即点的坐标是．    当点在点左侧时，，；设直线的解析式为则解得：∴直线的解析式为∵∴直线的解析式为当，，解得：，即  【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、锐角三角函数，勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质的综合应用，作辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．，28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点在线段上，且，连接，将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点．  (1)求这条抛物线的解析式；(2)连接，求的值；(3)点在直线上，且，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）过点作于点，证明，根据全等三角形的性质得，，可得，求出，则，，根据等腰直角三角形的性质可得，则，在中，根据余弦的定义即可求解；（3）分两种情形①当点在点的上方时；②当点在点的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【解析】（1）解：点，在抛物线上，将点，，，解得：，这条抛物线的解析式为；（2）如图，过点作于点，  ，，，，，，，，，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点，的横坐标为，代入解析式，，，，，，，，，，，在中，；（3）①当点在点的上方时，  ，是公共角，，，，设，则，又，，，解得：，点的坐标为；②当点在点的下方时，  ，是公共角，，，，设，则，，，，解得：，点的坐标为；综上所述，当时，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，三角形相似的判定及性质是解答本题的关键．29．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在边上，将沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．  (1)如图，当时，抛物线过点、、，求抛物线解析式；(2)如图，随着的变化，点正好落在轴上，求的余切值；(3)若点横坐标坐标为，抛物线且为常数的顶点落在的内部，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）当时，可得四边形是正方形，点在轴上，则，利用待定系数法即可求解；（2）由折叠得，根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质可得，则，即可得的余切值；（3）过点作轴于，延长交延长线于，则，根据勾股定理可得，证明，根据相似三角形的性质得，则，可得，，，，利用待定系数法求出直线的解析式为，由抛物线，得顶点为，根据抛物线且为常数）的顶点落在的内部，可得，即可求的取值范围．【解析】（1）解：如图，  当时，点的坐标为，，点，点的坐标为，四边形是矩形，，，，将沿折叠压平，点的对应点在轴上，，，，设过点、、的抛物线解析式为，，解得，抛物线解析式为；（2）当点正好落在轴上，如图：  由折叠得，，，，，，，，，，，，；（3）如图，过点作轴于，延长交延长线于，则，    点横坐标坐标为1，，，，由折叠得，，，，，，，在中，，，，，，，，，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，抛物线，顶点为，当时，，抛物线且为常数）的顶点落在的内部，，．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查折叠的性质，二次函数、矩形、相似形等知识，解题的关键是利用方程思想和数形结合的思想．x01234y7227x…013…y0mn0…