专题13 函数的奇偶性（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练3
\l "_Tc170135646" 题型一、由奇偶性求参数3
\l "_Tc170135647" 题型二、由奇偶性求函数解析式7
\l "_Tc170135648" 题型三、根据奇偶性解不等式8
\l "_Tc170135648" 题型四、奇偶性与对称性综合应用11
\l "_Tc170135648" 题型五、奇偶性与单调性综合应用13
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（21题）17
一、函数的奇偶性
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称．
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称．偶函数的性质：，可避免讨论．
3、奇函数、偶函数图象对称性的推广
二、判断奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
注：判断与的关系时，也可以使用如下结论：
（1）如果或，则函数为偶函数；
（2）如果或，则函数为奇函数．
2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．
3、性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论：
三、函数奇偶性的应用
函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．
1、由函数的奇偶性求参数
若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．
2、由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．
3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；
（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；
（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．
四、函数奇偶性与单调性的综合应用
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
2、区间和关于原点对称
（1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值；
（2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值．
3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较．
注：由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响．
【题型一 由奇偶性求参数】
一、单选题
1．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数是定义在区间上的奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据奇函数得到，，解得答案，再验证即可.
【详解】函数是定义在区间上的奇函数，
则，解得，定义域为，，则，
，定义域为，，函数为奇函数，满足，
故.
故选：C
2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据此想法，我们可以求函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，化简后，利用奇函数的定义求得的值，即得答案.
【详解】令
由为奇函数，得，则，解得，
所以函数图象的对称中心为.
故选：A
3．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．B．3C．D．51
【答案】B
【分析】根据定义域关于原点对称求得，根据偶函数定义求得，可得的解析式，进而得.
【详解】由题意，定义域关于原点对称，则，解得，
则，又是偶函数，
则，即，解得，
则，，
则.
故选：B.
4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围.
【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数，
在(或其子集)上为偶函数，
恒成立，
恒成立，

故选: A .
5．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可.
【详解】依题意，当时，，则，
而当时，，因此，则，，
当时，，则，
又，于是，，
所以，所以.
故选：C
二、填空题
6．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】由f-x=fx进行求解．
【详解】因为函数为偶函数，所以f-x=fx，
即，
即，
两边平方，化简可得．
要使上式恒成立，则，即．
故答案为：
7．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数的表达式为，且在上为奇函数，则的值为 .
【答案】/0.5
【分析】根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数求出a，b的值，可得函数解析式，计算可得答案.
【详解】根据题意，函数在上为奇函数，
所以有，
即在上为奇函数，
所以，即，
故，
则，
所以，
所以，则.
故答案为：
8．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数是奇函数，不等式组的解集为，且，满足，，则 ， .
【答案】 0 /
【分析】根据奇函数定义求出；根据的解集为，且且，满足，求出即可.
【详解】的定义域为，又函数是奇函数，所以定义域关于对称，
从而，即.当时，，.故；
，不等式组等价于，
因为其解集为，是开区间，所以函数在不单调，所以；
又，所以，因此，是的两个正根，即，
所以，解得，
又因为，所以，
即，解得或（舍）.
故答案为：0；.
【点睛】关键点睛：本题主要考察型函数的图象问题，根据的解集为开区间确定函数在不单调，从而确定“，是的两个正根”是解题的关键.
【题型二 由奇偶性求函数解析式】
一、填空题
1．（23-24高一上·北京昌平·期中）设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ．
【答案】 2
【分析】根据函数的奇偶性求出以及当时的解析式即可．
【详解】是定义在上的奇函数，则，
则，
令，则，
故，
故当时，，又，故时也成立，
所以当时，.
故答案为：2；．
2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，求函数解析式．
【详解】函数对一切实数都满足，
所以，
设，则， ，
又因为，即，
所以
所以.
故答案为：．
3．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 .
【答案】
【分析】按题意求函数表达式即可
【详解】
和已知条件相加得
故
故
故答案为：
【题型三 根据奇偶性解不等式】
一、单选题
1．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用偶函数的性质和函数的单调性即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，
又因为是在区间单调递减，
所以，即，于是有，解得或，
故不等式的解集为.
故选：A.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数是定义在上的偶函数，在区间上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是减函数，则在上是增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
3．（23-24高一上·北京·期中）定义在上的奇函数满足，当0