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专题14 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）
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这是一份专题14 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册），文件包含专题14抽象函数的定义域求值解析式单调性奇偶性的应用5大压轴考法原卷版docx、专题14抽象函数的定义域求值解析式单调性奇偶性的应用5大压轴考法解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练4
\l "_Tc170135645" 题型一、抽象函数定义域4
\l "_Tc170135646" 题型二、抽象函数求值4
\l "_Tc170135647" 题型三、抽象函数解析式5
\l "_Tc170135648" 题型四、抽象函数的单调性6
\l "_Tc170135648" 题型五、抽象函数的奇偶性6
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（12题）8
一、抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
二、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
三、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】（供提前了解）
模型：若，则
模型3：若，则
【题型一 抽象函数定义域】
一、单选题
1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
5．（24-25高一上·全国·课堂例题）若f2x+1的定义域是，则的定义域为 ．
6．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【题型二 抽象函数求值】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25B．125C．625D．15625
二、多选题
4．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； .
6．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数y=fx满足：(为实数），且，那么代数式 ．
【题型三 抽象函数解析式】
一、填空题
1．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 .（写出满足条件的一个解析式即可）
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ．
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题
4．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式
5．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
【题型四 抽象函数的单调性】
一、解答题
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知fx是定义在R上的函数，且对任意实数， .
(1)若，求，的值.
(2)若x>0时恒有，试判断函数fx单调性，并说明理由.
2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；
(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)试判断的单调性，并证明；
(3)若，求的取值范围．
【题型五 抽象函数的奇偶性】
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．函数是奇函数
C．若，则D．函数在0,+∞单调递减
2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
二、多选题
4．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
5．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在区间上有最大值
6．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
三、解答题
7．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
8．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并说明理由．
一、单选题
1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数定义域为，则定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（ ）
A．0B．1C．5D．
4．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
二、多选题
6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
7．（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若对任意，，总有，则是奇函数
B．若对任意，，总有，则是偶函数
C．若对任意，；总有，则
D．若对任意，，总有，则
8．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．
三、填空题
9．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
10．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 .
11．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ．
四、解答题
12．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明.
13．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且.
(1)求证：；
(2)求的值.
14．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
15．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有
(1)求证：是奇函数；
(2)设，且当时，，求不等式的解集．
16．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练4
\l "_Tc170135645" 题型一、抽象函数定义域4
\l "_Tc170135646" 题型二、抽象函数求值4
\l "_Tc170135647" 题型三、抽象函数解析式5
\l "_Tc170135648" 题型四、抽象函数的单调性6
\l "_Tc170135648" 题型五、抽象函数的奇偶性6
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（12题）8
一、抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
二、抽象函数的性质
1.周期性：；；
；（为常数）；
2.对称性：
对称轴：或者 关于对称；
对称中心：或者 关于对称；
3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期
4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；
③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有
；
关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有
；
④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；
三、抽象函数的模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【余弦函数模型】（供提前了解）
模型1：若，则
模型2：若，则
【正切函数模型】（供提前了解）
模型：若，则
模型3：若，则
【题型一 抽象函数定义域】
一、单选题
1．（23-24高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
5．（24-25高一上·全国·课堂例题）若f2x+1的定义域是，则的定义域为 ．
6．（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【题型二 抽象函数求值】
一、单选题
1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数满足，若，则（ ）
A．25B．125C．625D．15625
二、多选题
4．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数对任意，恒有，且，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数的定义域为R，若对任意实数x，y都成立，则 ； .
6．（24-25高一上·湖南·开学考试）如果函数y=fx满足：(为实数），且，那么代数式 ．
【题型三 抽象函数解析式】
一、填空题
1．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 .（写出满足条件的一个解析式即可）
2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，，不等式的解集为 ．
二、多选题
3．（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题
4．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式
5．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
【题型四 抽象函数的单调性】
一、解答题
1．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知fx是定义在R上的函数，且对任意实数， .
(1)若，求，的值.
(2)若x>0时恒有，试判断函数fx单调性，并说明理由.
2．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；
(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)试判断的单调性，并证明；
(3)若，求的取值范围．
【题型五 抽象函数的奇偶性】
一、单选题
1．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．函数是奇函数
C．若，则D．函数在0,+∞单调递减
2．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
3．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
二、多选题
4．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
5．（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在上的函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在区间上有最大值
6．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A．B．
C．D．为奇函数
三、解答题
7．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
8．（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并说明理由．
一、单选题
1．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数定义域为，则定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知定义在上的函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数满足，且，则（ ）
A．0B．1C．5D．
4．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
5．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
二、多选题
6．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
7．（23-24高一上·重庆·期末）已知是定义在R上的不恒为零的函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若对任意，，总有，则是奇函数
B．若对任意，，总有，则是偶函数
C．若对任意，；总有，则
D．若对任意，，总有，则
8．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．
三、填空题
9．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
10．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 .
11．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数，满足，若，则 ．
四、解答题
12．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.
(1)求的值；
(2)判断的奇偶性，并证明.
13．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数对，都有且.
(1)求证：；
(2)求的值.
14．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
15．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有
(1)求证：是奇函数；
(2)设，且当时，，求不等式的解集．
16．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
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