专题05 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明（3大压轴考法）-2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、基本不等式证明2
\l "_Tc170135646" 题型二、柯西不等式证明8
\l "_Tc170135647" 题型三、权方和不等式12
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（9题）13
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.
【题型一 基本不等式证明】
一、解答题
1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数.
(1)证明：；
(2)若，证明：.
(3)已知是正数，且，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用基本不等式证明不等式；
（2）应用“1”的代换，结合基本不等式证明不等式；
（3）由，应用基本不等式有，即可证结论.
【详解】（1）由，
当且仅当时等号成立，即，得证.
（2）由
，
当且仅当时等号成立，则，得证.
（3）由，
当且仅当时等号成立，不等式得证.
2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数.
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可；
（2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）方法一:，且，，都是正数，
，当且仅当时取等号，
故.
方法二：，且，，都是正数，
所以
，当且仅当时取等号，
故.
（2）方法一:、都是正数，
当且仅当时取等号，
又，，所以，当且仅当时取等号，
，
，即，
，.
令，其中，
因为在上单调递减，
所以，所以的最小值为.
方法二:因为
都是正数，
，当且仅当，即时取等号，
又，
，当且仅当时取等号，
令，下面即要讨论函数，的最小值；
首先，讨论函数在上的单调性，
对，
有.
函数在上单调递减.
当，即时，取得最小值.
，当且仅当时取等号.
3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：；
（2）已知，，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论；
（2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论.
【详解】证明：（1）∵、都是正数，
∴，，，
∴，
当且仅当时，等号成立．
（2）∵，，，
∴，，，
∴，
故，当且仅当，
即时等号成立．
4．（2023·全国·模拟预测）已知，且．
(1)求证：；
(2)求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过，，，三式相加，可得：
.
再根据，，∴，，且，可得结果.
（2）先用公式和把原式转化为：
，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
以上三式相加得，
所以，当且仅当时取等号．
因为，且，所以，，所以，
所以．
故.
（2），
，
当且仅当，时取等号，
的最大值为．
【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加．
5．（22-23高一上·天津·期中）已知，.
(1)求证：；
(2)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据综合法结合基本不等式即可证明；
（2）把化为，利用（1）的结论即可求得最值.
【详解】（1）因为，，所以，，
所以，
所以，且当且仅当时等号成立，得证.
（2），
因为，，所以，
所以由（1）知
，
当且仅当且时等号成立，即时等号成立.
所以的最大值为.
【点睛】易错点点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立.
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等.
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号.
【题型二 柯西不等式证明】
一、解答题
1．（22-23高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且.
(1)求证：；
(2)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】利用基本不等式或权方和不等式或柯西不等式证明即可.
【详解】（1）方法一：∵，，∴，
∴，即，
同理可的，，
将以上各式相加得：，即.
当且仅当时，取等号.
方法二：，，，
由权方和不等式可得：，
当且仅当，即时，取等号.
方法三：，，，
由柯西不等式可得：
，
∴ ，
当且仅当时，取等号.
（2）方法一：∵，，，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当时，取等号.
方法二：∵，，，
由权方和不等式可得：，
∴
当且仅当时，取等号.
方法三：∵，，，
由柯西不等式可得：
，整理得，
当且仅当时，取等号.
2．（2023·广西南宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，证明：
(1)若，则；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由基本不等式证明；
（2）用柯西不等式证明．
【详解】（1），，，
，
当且仅当，时取等号，
，即；
（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，
，
，
，当且仅当时取等号．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)27
【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明；
（2）首先由柯西不等式证明，再构造柯西不等式，求的最小值．
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当时等号成立，所以，故．
（2）由柯西不等式得，
当且仅当时上式等号成立，所以．
再由柯西不等式得，
所以，
当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27．
4．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值.
（2）已知且，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解；
（2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解.
【详解】
解：（1）由题意，令，解得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
（2）由题意，令，可得，
因为，可得，即，
又由柯西不等式，可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，所以实数的最大值为.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证；
（2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为，所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因为，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，当且仅当时等号成立．
解法二：因为，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
当且仅当时等号成立．
【题型三 权方和不等式】
一、填空题
1．（2023高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】利用权方和不等式求解最值即可.
【详解】令，
则，
当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．
故答案为：8
3．（2023高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
==，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
一、填空题
1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
【答案】
【详解】解法一：设，
可解得，
从而
，
当且仅当时取等号.
故答案为：．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，
，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当时取等号
故答案为：60
二、解答题
3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：．
【答案】证明见解析
【分析】先由题意可得，化简后利用基本不等式可证得，然后再利用基本不等式可证得结论.
【详解】证明：因为、为正实数，且满足，
所以，
当且仅当时取等号，
所以
，
当且仅当时取等号，
所以原不等式成立．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明：
(1)；
(2)若，则．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式推理即得.
（2）利用（1）的结论，再作差比较推理即得.
【详解】（1）由均为正实数，得，又，
则
，当且仅当时取等号，
所以.
（2）当时，由（1）得：，
因此，当且仅当时取等号，
则，由，即得取等号，
所以.
5．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；
（2）由分析法转化为求证，换元后由函数单调性得证.
【详解】（1）由柯西不等式得：，
即，故，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为.
（2）要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
由a，b均为正实数，且满足可得，
当且仅当时等号成立，即，
设，则设，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
即.
6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得.
（2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得.
【详解】（1），
因为，，，则，当且仅当时等号成立，
所以；
（2）
，
由（1）有，有，，有，，
有，当且仅当时等号成立，
所以．
7．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值；
（2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）因为，，且，则，
所以，
当且仅当，即，即，时等号成立，
故的最小值为．
（2）因为，，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为18．
8．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知正实数a，b，c满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值.
(2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证.
【详解】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式，
，当且仅当时等号成立.
的最小值为3.
（2），由柯西不等式，
∴
要证
只需证
即证
由，，
令，
∴，得证.
∴，当且仅当时等号成立.,
9．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知，，均为正数
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分别对两个因式使用均值定理即可.
（2）先对原式进行变形简化，然后通过换元，最后使用柯西不等式即可.
【详解】（1）∵，，均为正数，
∴，，均为正数，
∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立．
又∵，，均为正数，
∴由三个正数的均值定理，
有，当且仅当时等号成立．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴.
（2）,同理可得,
∴,
设有
则原式=
由可得，
∴
，当且仅当时等号成立，
∴.