专题06 一元二次不等式中的含参问题-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc170135643" 解题知识必备 PAGEREF _Tc170135643 \h 1
压轴 \l "_Tc170135644" 题型讲练2
\l "_Tc170135645" 题型一、按二次项系数的符号分类2
\l "_Tc170135646" 题型二、按判别式的符号分类5
\l "_Tc170135647" 题型三、按方程的根、的大小分类9
\l "_Tc170135648" 题型四、分类综合问题11
压轴 \l "_Tc170135649" 能力测评（9题）16
一、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论
常用的分类方法有以下三种：
（1）按二次项系数的符号分类，即；
（2）按判别式的符号分类，即；
（3）按方程的根、的大小分类，即．
二、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【题型一 按二次项系数的符号分类】
一、单选题
1．（23-24高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由一元二次不等式的解法求解．
【详解】原不等式可化为，而，故，
图象开口向下，
故原不等式的解集为
故选：C
二、填空题
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则a的取值范围为 ，此时关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】第一空根据开口向上，与轴有两个交点即可取不等式的解集，第二空，根据第一空的范围，对不等式进行整理，比较大小得，再根据开口向上，利用法则取不等式的解集．
【详解】当，则，
不等式
可化简为，
因为，所以，
则，
故答案为：0,1，．
三、解答题
3．（2022高一·全国·专题练习）解下列不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）、（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1）依题意，
，
解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，
，
解得，
所以不等式的解集为.
4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为区间，求实数a的值；
(2)当时，求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式的解集求参数；
（2）解含参数的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由可得，，
因为该不等式解集为，
所以，解得.
（2）不等式可化为，
即，也即，
对应方程的两个根分别为，且，
所以不等式的解集为.
5．（23-24高一上·山东临沂·期中）求关于x的不等式的解集.
【答案】答案见解析
【分析】分、、三种情况求解即可.
【详解】当时，原不等式为，该不等式的解集为.
当时，，原不等式可化为.
①若，则，原不等式的解集为或；
②若，则，原不等式的解集为或.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为或.
6．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知.
(1)若，求关于的不等式的解集；
(2)若，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)-∞,1∪2,+∞
(2)答案见解析
【分析】（1）时，解一元二次不等式；
（2）不等式，即，分类讨论解一元二次不等式.
【详解】（1）若，不等式，解得或，
即不等式的解集为-∞,1∪2,+∞.
（2）若，不等式，即，可化为，
当，即时，解得或；
当，即时，不等式等价于，所以；
当，即时，解得或，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【题型二 按判别式的符号分类】
一、解答题
1．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围；
（2）已知，解不等式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）若关于的二次方程无实数解，则函数的图象与轴无交点，，解得实数的取值范围；
（2）令，解出方程的根且判断大小，根据开口向上即可取不等式的解集．
【详解】（1）关于的二次方程无实数解，
函数的图象与轴无交点，
，
解得：，
实数的取值范围为；
（2）令，
当时，，
解得：，
所以不等式的解集是．
2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知函数．
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据二次不等式的解法即得；
（2）根据判别式，即可结合分类讨论求解.
【详解】（1）当时，得，
由于，
故的解集为；
（2）由可得，
当时，解得，
此时不等式的解集为，
当时，解得或，
的两个实数根为，
此时不等式的解集为，
综上：或，不等式的解集为，，此时不等式的解集为，
3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数.
(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；
（2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可.
【详解】（1）由题意，可得，
；
（2）①当时，即时，
原不等式的解集为；
②当时，即或时，
当时，，
原不等式的解集为，
当时，，
原不等式的解集为；
③时，即或时，，
解得或，
原不等式的解集为.
4．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式.
【详解】当时，，解得；
当时，则，
①时，则，解得；
②时，则有：
若，即时，则x∈R；
若，即时，则x∈R且；
若，即时，解得或；
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为R；
当时，解集为；
当时，解得.
5．（23-24高一上·重庆·期末）若函数，
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，求的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果；
（2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果.
【详解】（1）因为的解集为，
所以且，解得.
（2），，所以，即，
又，
当，即时，的解集为；
当，即时，若，解集为，若，解集为；
当，即或时，的两根为，，且有，
此时，的解集为或，
综上所述，当时，的解集为；
当，解集为，当，解集为；
当或时，的解集为或.
【题型三 按方程的根、的大小分类】
一、解答题
1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知关于的不等式.
(1)若，求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）将代入解不等式即可；
（2）因为对应方程的两个根为，分、、a