专题09 一元二次函数、方程和不等式（8大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略练习（人教A版2019必修第一册）

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一、单选题
1．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可
【详解】由，，
得，即，
，
所以，即，
故选：D
2．（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可.
【详解】，
由不等式的性质，，所以
所以，所以，
当且仅当时，且已知，解得，
即的最大值为.
故选：A.
3．（23-24高一上·上海·期末）是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必奖条件
【答案】B
【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得.
【详解】当时，可取、符合题意，但此时不能得到；
当时，有，，即成立；
故是的必要非充分条件.
故选：B.
4．（23-24高一上·福建龙岩·期中）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依题意利用不等式性质可解得，，即可得AB错误，将不等式同时乘以，即可得，即C错误；结合的取值范围可得，，利用不等式同向可加性可得D正确.
【详解】由，可得，解得，可得A错误；
也可得，解得，即B错误；
由可得，即，可得C错误；
由A可知，由B可得，即，
所以可得，即可得，即D正确.
故选：D
5．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（ ）
A．1080B．900C．810D．540
【答案】C
【分析】每人最多带36天的水和食物，按乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙先后不同时把水和食物交给甲两种情况分别计算甲行驶的总天数即可判断.
【详解】甲、乙、丙三人一起出发，设天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲天的水和食物，
于是，解得，甲全程共有水和食物的天数，
因此从出发点甲最多往前走天，最远能深入沙漠公里；
甲、乙、丙三人一起出发，设天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除天的水和食物后，
把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由，得，
从出发甲乙带的水和食物的天数都为，当且仅当时取等号，
要使前行天数最多，则取，甲乙均有36天的水和食物，甲乙继续前行，再行天后，乙独自返回，
乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则由，解得，
此时甲全程共有水和食物的天数是，
因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠公里，显然，
所以甲最远能深入沙漠公里数为810.
故选：C
【点睛】方法点睛：分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
6．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．取值范围为
【答案】B
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】因为，，
所以，，，
所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误；
因为，，
所以，，，
所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确.
故选：B
题型2
不等式的证明
一、解答题
1．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小：
(1)已知，试比较与的大小；
(2)已知，比较与的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得.
【详解】（1）依题意，，由，得，
则，且，即，
所以．
（2）依题意，
，
由，得，而，因此，
所以．
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）求函数的最大值；
（2）求函数的最小值．
【答案】（1）；（2）最小值为9．
【分析】（1）（2）根据给定条件，配凑并利用基本不等式求出最值即得.
【详解】（1）由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以原函数的最大值为.
（2）由，得，
因此
，
当且仅当，即时取等号，
所以原函数的最小值为9.
3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据已知条件结合基本不等式及不等式的性质证明即可.
【详解】因为，所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
综上，.
4．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析，当且仅当
(2)证明见解析，当且仅当
【分析】（1）利用作差法证明；
（2）利用基本不等式证明；
【详解】（1）因为，
，
，
所以成立；
当且仅当时，等号成立；
（2），
．
所以．
当且仅当时，等号成立．
5．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用作差法化简证明即可；
（2）利用基本不等式结合配方法证明即可.
【详解】（1）因为
，
当且仅当时，等号成立，
所以，
所以；
（2）因为，当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
因为，
综上．
题型3
基本不等式求最值
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．12D．13
【答案】D
【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D.
2．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【详解】，因为，故，
则，当且仅当，也即取得等号，
故的最小值为.
故选：D.
3．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】先得出，再利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
4．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值D．有最大值
【答案】A
【分析】由均值不等式得，从而得到，由得到，从而选出正确选项.
【详解】因为，，所以，所以由得，
解得，，当且仅当时等号成立，
所以有最小值，排除CD；
因为，，所以，所以，解得，
当且仅当时等号成立，所以有最小值，故A正确，B错误；
故选：A.
5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】B
【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可.
【详解】因为,且,
所以,
当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6．
故选：B.
6．（23-24高二下·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．3D．2
【答案】D
【分析】设，根据定义，得到，两次运用基本不等式，再运用不等式性质，得到,开方即可.
【详解】设，则.显然．
，当且仅当取得等号.
，当且仅当取得等号.
两式相乘，即，则.
此时，前面都要成立，则，，则.
的最小值为2,当且仅当取得最小值.
故选：D.
题型4
基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可.
【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）；
所以
又由恒成立，故，则k的最大值为8.
故选：D．
二、多选题
2．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
由任意，恒成立， 所以，
符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；
故选：ACD
三、填空题
3．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为不等式恒成立，则,
因为,所以，当且仅当x=0取等号，
所以.
故答案为：.
4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解．
【详解】，
当且仅当，且，
即，时等号成立，
所以，
故答案为：．
5．（23-24高二下·浙江·期中）若不等式对任意满足的正实数x，y，z均成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】先分离常数转化成求的最小值问题，根据，把放缩成，再变形，就可以用基本不等式求最小值，即为的最大值.
【详解】因为x，y，z为正实数，所以，因为，
所以，即，又，
所以.
当且仅当时上式最右侧等号成立.
故答案为：
题型5
基本不等式有解问题
一、单选题
1．（25-26高一上·上海·课后作业）若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案.
【详解】由，，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
二、填空题
2．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】参变分离，得到在上有解，由基本不等式求出，从而得到实数的取值范围.
【详解】变形为，
故在上有解，
因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故答案为：
3．（22-23高二下·山东德州·阶段练习）已知正实数，满足，且有解，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据已知表示出，若有解，则，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【详解】由题知，因为，
所以，，
若有解，则即可，
因为，都是正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故答案为：
4．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程有解，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】分离参数后平方，转化为求的取值范围，利用均值不等式求解即可.
【详解】由有解可化为有解，
而，当且仅当时，等号成立，
又，
所以，又，
可得，
故答案为：.
三、解答题
5．（23-24高一上·辽宁丹东·阶段练习）关于的不符式；
(1)若，求不等式的解集．
(2)若时，不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法直接求解即可，
（2）将问题转化为当时，有解，然后利用基本不等式求出的最小值即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，即，
，解得，
所以不等式的解集为；
（2）由，得，
，
因为时，不等式有解，
所以当时，有解，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以a≥7，即实数的取值范围为.
题型6
一元二次不等式的恒成立问题
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可.
【详解】由不等式恒成立，
所以,
故选：A.
2．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解.
【详解】，使得成立是真命题，
所以,恒成立.
所以在上恒成立，
所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以，所以，即实数的最大值为.
故选：B.
3．（25-26高三上·全国·单元测试）若对满足的任意实数恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由参变分离，并引入参数，得，只需，结合题意得出的范围，结合基本不等式即可求解.
【详解】分离参变量得恒成立，则，
故不等式右边取最大值时必须同号（且都不为零），
此时，因为若，则与其同号，则，矛盾．
由，设，
则，
若要求取最大值，则需，即，
此时，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：B．
二、多选题
4．（23-24高二下·江西南昌·期末）“ ” 成立的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】先把已知化简为，再结合充分条件的定义得出条件即可.
【详解】因为所以恒成立，
因为，当取等号，所以，
因为，所以是的充分条件.
因为，所以是的充分条件，
又都不能推出，所以CD错误，
故选：AB.
三、填空题
5．（23-24高一上·江苏·阶段练习）不等式的解集为，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】分，讨论，当时，根据二次函数性质可解.
【详解】当时，恒成立，满足题意；
当时，由题知，解得.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是
【答案】
【分析】根据给定条件，分类讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答．
【详解】当时，恒成立，则；
当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方，
于是，解得.
综上，
故答案为：.
四、解答题
7．（2024高三·全国·专题练习）若对任意，恒成立，求实数的取值范围
【答案】
【分析】法一:利用分离变量法求解参数的范围，、
法二：对二次函数的二次项系数和对称轴进行分类讨论，求带有参数的二次函数的最值，求解变量的范围.
【详解】法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质
当时，，成立；
当时，由题可得对任意恒成立，
令，则有，，
，
令，，根据对勾函数的性质可得，
所以，
所以当时，，
故实数的取值范围为；
法二：分类讨论
令，
①当时，，
对任意，恒成立；
②当时，函数图象开口向上，
若对任意，恒成立，只需，
解得，
故当时，对任意，恒成立；
③当时，对任意，，，
恒成立；
综上可知，实数的取值范围为．
8．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】将问题转化为，时的最大值小于或等于．
【详解】设，，则的最大值小于等于0．
而，∴对称轴，
而当时，；当时，，
∴的最大值为，即，故实数的取值范围是．
9．（23-24高一·上海·课堂例题）若函数的图像都在x轴上方（不含x轴），求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】函数的图像都在轴上方等价或，解不等式，从而可求实数a的取值范围.
【详解】因为函数的图像都在轴上方，
所以① 或②，
由①解得：，
由②解得：，也即，
综上可知：实数的取值范围为，
题型7
一元二次不等式的有解问题
一、单选题
1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由存在性问题得即可得解.
【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以，
当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.
故选：C.
2．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.
【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件.
故选:D.
二、填空题
3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】
根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可.
【详解】，
设，
，该二次函数的对称轴为，开口向下，
当时，，
要想关于的不等式在区间内有解，
只需，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
三、解答题
4．（23-24高一上·四川广元·阶段练习）已知命题：存在实数，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)命题：对于，使有解，如果是假命题，是真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用一元二次不等式能成立问题求解即可；
（2）利用对勾函数的单调性求得为真的条件，进而得到关于的不等式组，从而得解.
【详解】（1）因为命题：存在实数，使成立，
所以Δ=a2-4≥0，解得或，
故实数的取值范围为；
（2）因为命题：对于，使有解，
即在上能成立，令，则，
则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
如果是假命题，则；如果是真命题，则；
所以，即实数的取值范围.
5．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数．
(1)若，解关于的不等式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可.
（2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可.
【详解】（1）易得
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为；
当时，，所以解集为．
（2）若在上有解，
则在上有解，
故，即在上有解，
由，得，
进而知，令，则，
设，
当且仅当时取等号，所以．
6．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数．已知关于的不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在区间内有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由题意可得的解集为，则－4和1是方程的两个根，然后利用根与系数的关系列方程可求出，从而可求出函数的解析式；
（2）问题转化为在区间内有解，则，然后利用基本不等式可求得答案.
【详解】（1）不等式的解集为，
即的解集为，
所以－4和1是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，解得，
所以．
（2）因为关于的方程在区间内有解，
所以在区间内有解，
所以（），
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
题型8
一元二次方程根的分布问题
一、填空题
1．（22-23高一上·北京海淀·期中）已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的特点及判别式，结合韦达定理即可求解.
【详解】因为一元二次方程有一正根和一负根，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
2．（22-23高一上·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】令，
根据题意得，
由①得：，由②得：，由③得：，
求交集得：
故的取值范围为.
故答案为：
二、解答题
3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知一元二次方程有两个同号实根，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】依题意，方程的判别式大于等于0，且两根之积大于0，由此列出不等式求解即可.
【详解】依题意,
即,
解得
所以实数的范围为.
4．（23-24高一上·山东·期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)当时，方程有一个根大于1，一个根小于1，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，-2和1是方程的两个实数根，结合韦达定理可求a,b的值；
（2）由于二次函数的图象开口向上，所以可将“一根大于1，一根小于1”转化为，即a的范围可求.
【详解】（1）由题意可知，-2和1是方程的两个实数根，
所以，
解得.
（2）当时，，因为函数的图象开口向上，且的根一根大于1，一根小于1，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围是.
5．（2024高一上·全国·专题练习）求实数的范围，使关于的方程
(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；
(2)有两个实根，且满足；
(3)至少有一个正根.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】设，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.
【详解】（1）设．
依题意有，即，得．
（2）设．
依题意有，解得．
（3）设．
方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得，即
②有一个正根，一个负根，此时可得，得．
③有一个正根，另一根为，此时可得
综上所述，得．