重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共12页。试卷主要包含了作答时，务必将答案写在答题卡上，考试结束后，将答题卡交回，已知；则下列不等式一定成立的有，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
c. D.
2.命题.“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
5.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.或
C. D.或
6.函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（ ）
A.的最大值为
B.的最小值为
C.的最大值为
D.的最小值为
8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ）
A.2048 B.2024 C.1024 D.512
二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知；则下列不等式一定成立的有（ ）
A.若且，则
B.若，则
C.若，则
D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件
B.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
C.若不等式的解集为，则不等式的解集为
D.“”为假命题的充要条件为
11.已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.当时，反比例函数与在上的图象有且仅有6个交点
C.当时，在区间上单调递减
D.当时，在上的值域为
三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，则集合有__________个子集.
13.已知集合，若且，则实数的取值范围是__________.
14.若正实数满足，则的最小值为__________.
四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分，第（1）小问6分，第（2）小问7分）
已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分，第（1）小问8分，第（2）小问7分）
已知函数的定义域为，集合.
（1）求；
（2）集合，若⫋，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分，第（1）小问3分，第（2）小问6分，第（3）小问6分）
已知二次函数的图像过原点，且对任意，恒有.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分，第（1）小问5分，第（2）小问5分，第（3）小问7分）
教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题：
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值；
（3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明.
19.（本小题满分17分，第（1）小问3分，第（2）小问6分，第（3）小问8分）
已知定义在上的函数同时满足下列四个条件：
①；
②对任意，恒有；
③对任意，恒有；
④对任意，恒有.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义法证明；
（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.
重庆一中高2027届高一上期月考数学
参考答案
一､单项选择题：
1-4ABDC 5-8CDBA
7.B 【详解】
选项A：时取等，得的最大值为；A对；
选项B：B错；故选B
选项C：时取等，C对；
选项D：换元，令，则，
于是，式子，取等条件为
8.A 【详解】将集合的子集两两配对且，则集合与集合的交替和之和为4，所以交替和的总和为.故选：A
二､多项选择题：
9.BD 10.ACD 11.ABD
11.ABD 【详解】
选项A：，，所以选项A正确；
选项B：由知，时，
由于，
但，结合的图像可知
上有个交点，在上无交点.补充说明：时，令，可得，因此选项B正确；
选项C：时，，故在上单增，C错；
选项D：因为，所以时，值域为时，值域为时，值域为时，值域为时，值域为，故D正确.综上，正确答案为ABD.
三､填空题：
13. 14. 15.
13. 【详解】因为，所以，因为，且：
当时，，符合题意；当时，，综上，.
14. 【详解】由题可知，
由于在上单增，所以上式，因此，当且仅当，时等号成立.
四､解答题：
15.解：（1）由可得：舍去）
（2）由可得：
；
综上，取并，得；
16.解：（1）或.
由或或或
所以或
（2）因为或，所以
当时，，此时，所以满足题意
当时，由题有.
综上，取并，得实数的取值范围是.
17.解：（1）在不等式，令
（2）因为为二次函数且图像过原点，所以可设，
由，于是，
由题：恒成立，
检验知此时满足，故；
（3）函数，开口向上，对称轴，所以在区间上单调递增，因此，时，，即，
而在上单调递减，所以时，
因为对任意，均存在，使得，
等价于
18.解：
（1）因为，所以由三阶基本不等式可得：
因此的最小值为6，
当且仅当即即时取等；
（2）当时，由四阶基本不等式可得：
，
因此的最大值为，
当且仅当即时取等；
（3）大小关系为，
证明如下：由条件可知：时
当时，左边，右边，左边右边，不等式成立；
当时，由阶基本不等式，可知：
不等式左边
而，因此上式的不等号取不到等，于是，
综上，原不等式得证.
19.解：
（1）在中令；
（或令
而
（2）在上单调递减
下证明：
由④知：对任意，恒有.
证一：任取，
于是
因为，所以
，
而对任意时恒有，故，
即，所以在上单调递减，证毕；
证二：任取，设
，
因为，所以，即，
也即在单调递减；证毕；
（3）在中：
令，
而，于是
令，
由（2）知在上单调递减，
又，可得在上也单调递减，如图，
可知不等式等价于：
对任意，不等式
……①
或者恒成立，……②
法一：令立，因为开口向下，由图像可知：
不等式①
对于②，当时，由，即一定不存在满足②.
综上取并，得
法二：
令开口向下，对称轴为，
且，
当即时，问题等价于或解得；
当即时，等价于或
当即时，问题等价于或，解得；
当即时，问题等价于或，解得；
综上，.