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安徽省黄山市屯溪第一中学2024-2025学年高一上学期10月数学试卷
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这是一份安徽省黄山市屯溪第一中学2024-2025学年高一上学期10月数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：潘毓琪；审题人：吴雪萦
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。）
1．已知命题p：∃x∈R，x2+8x+a=0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．016
C．a<0D．a≥4
2．已知m∈R，n∈R，则“m2+n2>8”是“mn>4”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数fx+1的定义域为[1,7]，则函数hx=f(2x)+9-x2的定义域为（ ）
A．[4,16]B．(-∞,1]∪[3,+∞)C．[1,3]D．[3,4]
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=2x1-xB．fx=2xx2+1
C．fx=2xx2-1D．fx=x2+1x2-1
5．关于x的方程x2+m-2x+2m-1=0恰有一根在区间0,1内，则实数m的取值范围是（ ）
A．12,32B．12,23C．12,2D．12,23∪6-27
6．已知函数f(x)=-2x2+2x,x≤11x-1, x>1，若对任意x∈R，f(x)-|x-2k|-|x-1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．-∞,14∪12,+∞B．-∞,12∪[1,+∞)
C．-∞,18∪14,+∞D．(-∞,1]∪[2,+∞)
7．若函数y=fx在区间I上是增函数，且函数y=fxx在区间I上是减函数，则称函数fx是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数fx=-x+2x是0,1上的“H函数”； ②函数gx=2x1-x2是0,1上的“H函数”．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为假命题, ②为真命题D．①为真命题, ②为假命题
8．设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M-m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且XA1+XA2+XA3+⋅⋅⋅+XAn=60，则n的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知集合xx2+ax+b=0,a>0有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．a2-b2≤4
B．a2+1b≥4
C．若不等式x2+ax-b<0的解集为x1,x2，则x1x2>0
D．若不等式x2+ax+b10．已知实数x,y，满足x2+2y2+xy=7，则下列说法正确的是（ ）
A．x+y≤22B．xy≤22-1
C．x2+y2≤6-22D．x2+2y2≥8-22
11．已知定义在R的函数fx满足以下条件：
（1）对任意实数x,y恒有fx+y=fxfy+fx+fy；
（2）当x>0时，fx的值域是0,+∞
（3）f1=1
则下列说法正确的是（ ）
A．fx值域为-1,+∞
B．fx单调递增
C．f8=255
D．ffx≥3-fx1+fx的解集为1,+∞
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知113．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=12f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=-x(x-1).若对任意x∈[m,+∞)，都有f(x)≤89，则m的取值范围是 .
14．已知对任意x∈R，均有不等式ax2+bx+c≥0成立，其中b<0.若存在t∈R使得1-ta+1+2tb+3c=0成立，则t的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围.
(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.
16．（本小题满分15分）
已知函数y=m+1x2-m-1x+m-1．
(1)若不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式m+1x2-2mx+m-1≥0.
17．（本小题满分15分）
某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其整体报价为12000+500a+1152x+a元(a>0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
18．（本小题满分17分）
函数fx满足对一切x,y∈R有fx+fy=fx+y+1，且f2=0；当x>2时，有fx<0.
(1)求f-1的值;
(2)判断并证明fx在R上的单调性；
(3)解不等式 2fx2+2x2-fx2+2x+2-2<0.
19．（本小题满分17分）
设n为正整数，集合An=α|α=a1a2⋯anai∈01i=12⋯n.对于α=a1a2⋯an∈An，设集合Pa=t∈N0≤t≤n-1,ai+t=ai,i=1,2,…,n-t.
(1)若α=010010,β=01001010010，写出集合P(α),P(β)；
(2)若α=a1a2⋯an∈An，且s,t∈Pα满足s(3)若α=a1a2⋯an∈An，且 Pα=s1s2⋯sm（s1参考答案：
1．B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题p为假命题，则其否定∀x∈R，x2+8x+a≠0为真命题，
∴Δ=64-4a<0，解得：a>16.
故选：B.
2．B（试卷修改了选项顺序，应为A）
【分析】根据不等式的性质可得必要性，举反例可说明不充分性，即可求解.
【详解】当mn>4时，m2+n2≥2mn>8，故m2+n2>8，
故“m2+n2>8”是“mn>4”的必要条件，
当m2+n2>8时，比如m=1,n=-4，但是mn=-4<0，故“m2+n2>8”是“mn>4”的不充分条件，
故“m2+n2>8”是“mn>4”的必要不充分条件，
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【详解】函数fx+1的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8，
函数hx=f(2x)+9-x2有意义，必有2≤2x≤89-x2≥0，解得1≤x≤3，
所以函数h(x)的定义域为[1,3].
故选：C
4．C
【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据x>1时函数值为正排除A；即可得出结果.
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当x>1时，y<0，不满足图象；对于C，当x>1时，y>0，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C
5．D
【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：fx=x2+(m-2)x+2m-1
因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：
①f0⋅f1<0，2m-13m-2<0，解得：12②函数fx刚好经过点0,0或者1,0，另一个零点属于(0,1)，
把点0,0代入fx=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，
此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32∉0,1，不合题意，舍去
把点1,0代入fx=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，
此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13∈0,1，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，Δ=m-22-8m+4=0，解得m=6±27，
经检验，当m=6-27时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为12,23∪6-27
故选：D
6．B（试卷修改了选项顺序，应为A）
【分析】分x>1和x≤1两种情况讨论：当x>1时，等价于x-2k≥1x-x恒成立，可得k∈R；当x≤1时，去绝对值后分离变量可得2k≥-2x2+4x-1或2k≤2x2-2x+1恒成立，可得k≤14或k≥12. 综合两种情况可得k的取值范围.
【详解】分x>1和x≤1两种情况讨论：
（1）当x>1时，f(x)-|x-2k|-|x-1|≤0等价于x-2k≥1x-x恒成立，
因为x>1时，1x-x<0恒成立，所以k∈R；
（2）当x≤1时，f(x)-|x-2k|-|x-1|≤0等价于x-2k≥-2x2+3x-1恒成立，
即x-2k≤2x2-3x+1或x-2k≥-2x2+3x-1 恒成立.
也就是2k≥-2x2+4x-1或2k≤2x2-2x+1恒成立
而当x≤1时，-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1≤1，2x2-2x+1=2x-122+12≥12，
所以2k≥1或2k≤12，即k≤14或k≥12.
综合（1）（2）可知，k的取值范围是-∞,14∪12,+∞.
故选：B.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
（2）a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
7．D
【详解】对于命题①：令t=x,函数f(x)=-x+2x可换元为y=-t2+2t
∵t=x在(0,1)上是增函数，函数y=-t2+2t在(0,1)上是增函数，∴在(0,1)上f(x)是增函数；G(x)=2x-1在(0,1)上是减函数，∴函数f(x)=-x+2x
是(0,1)上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数g(x)=2x1-x2=21x-x是（0，1）上的增函数，H(x)=g(x)x=11-x2
是(0,1)上的增函数，故命题②是假命题；故选D．
8．B
【分析】根据题设描述只需保证各集合中XAn=M-m（n∈N*）尽量小，结合已知及集合的性质有n最大时XA1+XA2+XA3+...+XAn=n(n-1)2，进而分析n的取值.
【详解】由题设A1，A2，A3，…，An中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使n最大，则各集合中XAn=M-m（n∈N*）尽量小，
所以集合A1，A2，A3，…，An的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设XA1=0,XA2=1,XA3=2,...,XAn=n-1，有XA1+XA2+XA3+...+XAn=n(n-1)2，
当n=11时，XA1+XA2+XA3+...+XAn=55<60，
当n=12时，XA1+XA2+XA3+...+XAn=66>60，
只需在n=11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n的最大值为11.
故选：B
【点睛】关键点点睛：注意n最大则各集合中XAn=M-m（n∈N*）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值.
9．ABD
【分析】根据集合xx2+ax+b=0,a>0子集的个数列方程，求得a,b的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合xx2+ax+b=0,a>0有且仅有两个子集，所以Δ=a2-4b=0,a2=4b，
由于a>0，所以b>0.
A，a2-b2=4b-b2=-b-22+4≤4，当b=2,a=22时等号成立，故A正确.
B，a2+1b=4b+1b≥24b⋅1b=4，当且仅当4b=1b,b=12,a=2时等号成立，故B正确.
C，不等式x2+ax-b<0的解集为x1,x2，x1x2=-b<0，故C错误.
D，不等式x2+ax+b则x1-x22=x1+x22-4x1x2=a2-4b-c=4c=16，∴c=4，故D正确，
故选：ABD
10．ABD
【分析】先设x+y=t，然后代入x2+2y2+xy=7，最后根据判别式即可判断A，对x2+2y2直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值x=7，y=0即可判断C，通过对变形，即xy=22×x×2y，然后使用基本不等式即可判断D.
【详解】设x+y=t，代入x2+2y2+xy=7得(t-y)2+2y2+(t-y)y=7，
化简得2y2-ty+t2-7=0，所以Δ=t2-8t2-7≥0，解得-22≤t≤22，
∴x+y≤22，选项A正确；
当x>0,y>0时，由x2+2y2+xy=7，得2x2×2y2≤x2+2y2=7-xy，
∴22xy≤7-xy, 解得xy≤ 22-1，当且仅当x2=4-2,y2=4-22时成立，选项B正确；
由x2+2y2+xy=7，得x=7时，y=0，
∴x2+y2=7，解得x2+y2=7＞6-22，选项C错误；
由x2+2y2+xy=7，得xy=7-x2-2y2，
∴7-x2-2y2=xy=22×x×2y≤22×x2+2y22,
解得:x2+2y2≥8-22，当且仅当x2=4-2,y2=4-22时取等号， 选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立.
11．BCD
【分析】计算f0=0得到fx=-1+1f-x+1>-1，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算f2=3，f4=15，f8=255得到C正确，题目转化为fx+fx≥f2得到x+fx≥2，根据函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：令x=1,y=0可得f1=f1f0+f0+f1，故f0=0，
令y=-x可得f0=f-xfx+fx+f-x，f-x≠-1，
fx=-f-xf-x+1=-1+1f-x+1，当x<0时，f-x>0，则fx=-1+1f-x+1>-1，
综上所述：fx∈-1,+∞，错误；
对选项B：任取x1,x2∈R且x1>x2，fx1-x2>0，fx2>-1，
则fx1-fx2=fx1-x2+x2-fx2=fx1-x2fx2+fx1-x2 =fx1-x2fx2+1>0，所以函数y=fx在R上单调递增，正确；
对选项C：取x=y=1得到f2=f1f1+f1+f1=3；
取x=y=2得到f4=f2f2+f2+f2=15；
取x=y=4得到f8=f4f4+f4+f4=255，正确；
对选项D：ffx≥3-fx1+fx，ffx1+fx≥3-fx，
即ffxfx+fx+ffx=fx+fx≥f2，
即x+fx≥2，
函数gx=x+fx单调递增，且g1=1+1=2，故x≥1，正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到fx+fx≥f2，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.
12．2
【分析】变形条件等式得a4-a+1a-1=1344-a+1a-14-a+a-1-1，然后展开，利用基本不等式求最小值.
【详解】∵1∴4-a>0,a-1>0，
∴a4-a+1a-1=44-a+1a-1-1=1344-a+1a-14-a+a-1-1
=135+4a-14-a+4-aa-1-1≥135+24a-14-a⋅4-aa-1-1=2，
当且仅当4a-14-a=4-aa-1，即a=2时等号成立，
∴a4-a+1a-1的最小值是2.
故答案为：2.
13．m≥-43
【分析】求得fx在区间-1,0,-2,-1上的解析式，画出fx的图象，结合图象列不等式，由此求得m的取值范围.
【详解】x∈-1,0时，x+1∈0,1，而x∈0,1时，fx=-xx-1,
所以fx+1=-x+1x+1-1=-xx+1，
又2fx+1=fx，
所以当x∈-1,0时，fx=2fx+1=-2xx+1，
当x∈-2,-1时，fx=2fx+1=-2×2x+1x+1+1=-4x+1x+2，
作出示意图如下图所示：
要使fx≤89，则需x≥x1，结合上图，
由-4x+1x+2=89，解得x1=-43，所以m≥-43.
【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的f(x+1)=12f(x)，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.
14．14/0.25
【分析】由一元二次不等式恒成立得c≥b24a>0、a>0，将问题化为求t=a+b+3ca-2b的最小值，令m=ba<0则t≥1+38⋅4m+m212-m，应用基本不等式求最值，注意取值条件.
【详解】由题设a>0Δ=b2-4ac≤0，有b2≤4ac，又b<0，则c≥b24a>0，
又1-ta+1+2tb+3c=a+b+3c+(2b-a)t，则2b-a<0，
故存在t∈R使a+b+3c+(2b-a)t=0成立，则t=a+b+3ca-2b，
所以t=1+3(b+c)a-2b≥1+3⋅ba(1+b4a)1-2ba，令m=ba<0，故t≥1+38⋅4m+m212-m，
所以t≥1+38⋅(12-m)2+5(m-12)+9412-m=1+38⋅[(12-m)+94(12-m)-5]，且12-m>0，
而38⋅[(12-m)+94(12-m)-5]≥38⋅[2(12-m)⋅94(12-m)-5]=-34，仅当12-m=32，即m=-1等号成立，
所以t≥14，仅当a=-b且c=b24a=a4时等号成立，故t的最小值为14.
故答案为：14
【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求t=a+b+3ca-2b的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.
15．【答案】(1)m≤3
(2)2≤m≤4
【分析】（1）分类讨论B是否为空集，当B≠∅时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；
（2）先求A∩B=∅时，实数m的取值范围，再求其补集即可得解.
【详解】（1）①当B=∅时，B⊆A，
此时m+1>2m-1,解得m<2，
②当B≠∅时，为使B⊆A，m需满足m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3，
综上所述：实数m的取值范围为m≤3.
（2）先求A∩B=∅时，实数m的取值范围，再求其补集，
当B=∅时，由（1）知m<2，
当B≠∅时，为使A∩B=∅，m需满足m+1≤2m-1m+1>5或m+1≤2m-12m-1<-2，
解得m>4，
综上知，当m<2或m>4时，A∩B=∅，
所以若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是2≤m≤4.
16．(1)(-∞,1-273)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，分m+1=0和m+1≠0，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为[(m+1)x-(m-1)]⋅(x-1)≥0，分m+1=0、m+1>0和m+1<0，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，
当m+1=0时，即m=-1时，不等式即为2x-2<1，解得x<32，不符合题意，舍去；
当m+1≠0时，即m≠-1时，不等式可化为m+1x2-m-1x+m-2<0，
要使得不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，
则满足m+1<0Δ=m-12-4m+1m-2<0，
即m<-13m2-2m-9>0，解得m<1-273，
综上可得，实数m的取值范围为(-∞,1-273).
（2）解：由不等式m+1x2-2mx+m-1≥0，可得[(m+1)x-(m-1)]⋅(x-1)≥0，
当m+1=0时，即m=-1时，不等式即为x-1≥0，解得x≥1，解集为{x|x≥1}；
当m+1>0时，即m>-1时，不等式可化为(x-m-1m+1)(x-1)≥0，
因为m-1m+1=1-2m+1<1，所以不等式的解集为{x|x≤m-1m+1或x≥1}；
当m+1<0时，即m<-1时，不等式可化为(x-m-1m+1)(x-1)≤0，
因为m-1m+1=1-2m+1>1，所以不等式的解集为{x|1≤x≤m-1m+1}，
综上可得，
当m<-1时，不等式的解集为{x|1≤x≤m-1m+1}；
当m=-1时，不等式的解集为{x|x≥1}；
当m>-1时，不等式的解集为{x|x≤m-1m+1或x≥1}.
17．(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当0【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0恒成立，分离参数可得a<3(x+4)21+x对任意的x>0恒成立，分类常数结合基本不等式求出(x+4)21+x的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240m2，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为240x米(x>0)，
设甲工程队报价为y元，
所以y=240x×5×250×2+150×5x×2+24000=5001200x+3x+24000，
因为y≥1500×2400x⋅x+24000=84000，
当且仅当400x=x，即x=20时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0恒成立，
即3x2+24x+48>a1+x对任意的x>0恒成立，
所以a<3(x+4)21+x对任意的x>0恒成立，
因为a>0，
(x+4)21+x=(x+1)2+6x+1+91+x=x+1+9x+1+6≥2x+1⋅9x+1+6=12，
当且仅当x+1=9x+1，即x=2时等号成立，
所以0故当018．(1)f-1=32
(2)fx在R上的单调递减，证明过程见解析
(3)(-3,-2)∪(0,1).
【分析】（1）赋值法求出f1=12和f0=1，进而赋值求出f-1=32；
（2）先求出00时，fx<1，再利用定义法证明出函数的单调性；
（3）变形得到2fx2+2x2-fx2+2x-1<0，求出-12【详解】（1）fx+fy=fx+y+1中，令x=y=1，
则2f1=f2+1，
因为f2=0，所以f1=12，
令x=y=0得，2f0=f0+1，解得f0=1，
令x=1,y=-1得，f1+f-1=f0+1，即12+f-1=1+1，
解得f-1=32；
（2）设02，
所以fx+2=fx+f2-1=fx-1<0，
所以0又因为x>2时，有fx<0，且f2=0，
所以x>0时，fx<1，
fx在R上的单调递减，证明过程如下：
设∀x1,x2∈R，且x10，
则fx1-fx2=fx1-fx1+t=fx1-fx1-ft+1=1-ft，
因为t>0时，ft<1，
所以fx1-fx2=1-ft>0，故fx1>fx2，
故fx在R上的单调递减；
（3）由题意得fx2+2x+2=fx2+2x+f2-1=fx2+2x-1，
因为2fx2+2x2-fx2+2x+2-2<0，
所以2fx2+2x2-fx2+2x-1<0，
即2fx2+2x+1⋅fx2+2x-1<0，
解得-12fx+fy=fx+y+1中，令x=2,y=1得，f2+f1=f3+1，
故f3=f2+f1-1=-12，
故f3由（2）可知，fx在R上的单调递减，
故0所以原不等式的解集为(-3,-2)∪(0,1).
【点睛】思路点睛：求解抽象函数的函数值或函数奇偶性，单调性，往往利用赋值法，结合题目中的条件进行求解.
19．(1)Pα={0,3,5},Pβ={0,5,8,10}；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题意，即可直接写出P(α),P(β)；
（2）由ai+s=ai可得aj+t=aj+t-s，结合aj+t=aj可得aj+t-s=aj,j=1,2,⋯,n-t，即可证明；
（3）若t∈P(α')且2t【详解】（1）P(α)={0,3,5},P(β)={0,5,8,10}；
（2）因为s∈P(α)，所以ai+s=ai,i=1,2,⋯,n-s，
当1≤j≤n-t时，1所以aj+t-s+s=aj+t-s，即aj+t=aj+t-s，j=1,2,⋯,n-t，
又因为t∈P(α)，所以aj+t=aj,j=1,2,⋯,n-t，
所以aj+t-s=aj,j=1,2,⋯,n-t，
所以t-s∈P(α')；
（3）对任意s∈P(α)，令α'=(a1,a2,⋯,an-s)∈An-s，
若t∈P(α')且2t所以ai+2t=ai,i=1,2,⋯,n-s-2t，
因为s∈P(α)，所以aj+1=aj,j=1,2,⋯,n-s，
所以ai=ai+2t=ai+2t+s,i=1,2,⋯,n-s-2t，所以s+2t∈P(α).
对sk,sk+1∈P(α)(k=1,2,⋯,m-2)，因为sk由（2）可知，令αk=(a1,a2,⋯,an-sk)，则sk+1-sk∈P(αk).
若2(sk+1-sk)所以sk+2(sk+1-sk)∈P(α)，即2sk+1-sk∈P(α)，
又因为2sk+1-sk=sk+1+(sk+1-sk)>sk+1，所以2sk+1-sk≥sk+2.
若2(sk+1-sk)≥n-sk，则sk+2(sk+1-sk)≥n>sm≥sk+2，
所以2sk+1-sk>sk+2.
综上，2sk+1-sk≥sk+2即2sk+1≥sk+sk+2(k=1,2,⋯,m-2).
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
D
B
ABD
ABD
题号
11
答案
BCD
命题人：潘毓琪；审题人：吴雪萦
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。）
1．已知命题p：∃x∈R，x2+8x+a=0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．0
C．a<0D．a≥4
2．已知m∈R，n∈R，则“m2+n2>8”是“mn>4”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数fx+1的定义域为[1,7]，则函数hx=f(2x)+9-x2的定义域为（ ）
A．[4,16]B．(-∞,1]∪[3,+∞)C．[1,3]D．[3,4]
4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=2x1-xB．fx=2xx2+1
C．fx=2xx2-1D．fx=x2+1x2-1
5．关于x的方程x2+m-2x+2m-1=0恰有一根在区间0,1内，则实数m的取值范围是（ ）
A．12,32B．12,23C．12,2D．12,23∪6-27
6．已知函数f(x)=-2x2+2x,x≤11x-1, x>1，若对任意x∈R，f(x)-|x-2k|-|x-1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．-∞,14∪12,+∞B．-∞,12∪[1,+∞)
C．-∞,18∪14,+∞D．(-∞,1]∪[2,+∞)
7．若函数y=fx在区间I上是增函数，且函数y=fxx在区间I上是减函数，则称函数fx是区间I上的“H函数”．对于命题：①函数fx=-x+2x是0,1上的“H函数”； ②函数gx=2x1-x2是0,1上的“H函数”．下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为假命题, ②为真命题D．①为真命题, ②为假命题
8．设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M-m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，…，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集，且XA1+XA2+XA3+⋅⋅⋅+XAn=60，则n的最大值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
9．已知集合xx2+ax+b=0,a>0有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．a2-b2≤4
B．a2+1b≥4
C．若不等式x2+ax-b<0的解集为x1,x2，则x1x2>0
D．若不等式x2+ax+b
A．x+y≤22B．xy≤22-1
C．x2+y2≤6-22D．x2+2y2≥8-22
11．已知定义在R的函数fx满足以下条件：
（1）对任意实数x,y恒有fx+y=fxfy+fx+fy；
（2）当x>0时，fx的值域是0,+∞
（3）f1=1
则下列说法正确的是（ ）
A．fx值域为-1,+∞
B．fx单调递增
C．f8=255
D．ffx≥3-fx1+fx的解集为1,+∞
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知1
14．已知对任意x∈R，均有不等式ax2+bx+c≥0成立，其中b<0.若存在t∈R使得1-ta+1+2tb+3c=0成立，则t的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围.
(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.
16．（本小题满分15分）
已知函数y=m+1x2-m-1x+m-1．
(1)若不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式m+1x2-2mx+m-1≥0.
17．（本小题满分15分）
某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其整体报价为12000+500a+1152x+a元(a>0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
18．（本小题满分17分）
函数fx满足对一切x,y∈R有fx+fy=fx+y+1，且f2=0；当x>2时，有fx<0.
(1)求f-1的值;
(2)判断并证明fx在R上的单调性；
(3)解不等式 2fx2+2x2-fx2+2x+2-2<0.
19．（本小题满分17分）
设n为正整数，集合An=α|α=a1a2⋯anai∈01i=12⋯n.对于α=a1a2⋯an∈An，设集合Pa=t∈N0≤t≤n-1,ai+t=ai,i=1,2,…,n-t.
(1)若α=010010,β=01001010010，写出集合P(α),P(β)；
(2)若α=a1a2⋯an∈An，且s,t∈Pα满足s
1．B
【分析】根据原命题为假可知其否定为真，由一元二次方程无根可构造不等式求得结果.
【详解】若命题p为假命题，则其否定∀x∈R，x2+8x+a≠0为真命题，
∴Δ=64-4a<0，解得：a>16.
故选：B.
2．B（试卷修改了选项顺序，应为A）
【分析】根据不等式的性质可得必要性，举反例可说明不充分性，即可求解.
【详解】当mn>4时，m2+n2≥2mn>8，故m2+n2>8，
故“m2+n2>8”是“mn>4”的必要条件，
当m2+n2>8时，比如m=1,n=-4，但是mn=-4<0，故“m2+n2>8”是“mn>4”的不充分条件，
故“m2+n2>8”是“mn>4”的必要不充分条件，
故选：B
3．C
【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.
【详解】函数fx+1的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8，
函数hx=f(2x)+9-x2有意义，必有2≤2x≤89-x2≥0，解得1≤x≤3，
所以函数h(x)的定义域为[1,3].
故选：C
4．C
【分析】根据图象函数为奇函数，排除D；再根据函数定义域排除B；再根据x>1时函数值为正排除A；即可得出结果.
【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，
而D中的函数为偶函数，故排除D；
由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B；
对于A，当x>1时，y<0，不满足图象；对于C，当x>1时，y>0，满足图象.
故排除A，选C.
故选：C
5．D
【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程x2+(m-2)x+2m-1=0对应的二次函数设为：fx=x2+(m-2)x+2m-1
因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：
①f0⋅f1<0，2m-13m-2<0，解得：12
把点0,0代入fx=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=12，
此时方程为x2-32x=0，两根为0，32，而32∉0,1，不合题意，舍去
把点1,0代入fx=x2+(m-2)x+2m-1，解得：m=23，
此时方程为3x2-4x+1=0，两根为1，13，而13∈0,1，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，Δ=m-22-8m+4=0，解得m=6±27，
经检验，当m=6-27时满足方程恰有一根在区间 (0,1) 内;
综上：实数m的取值范围为12,23∪6-27
故选：D
6．B（试卷修改了选项顺序，应为A）
【分析】分x>1和x≤1两种情况讨论：当x>1时，等价于x-2k≥1x-x恒成立，可得k∈R；当x≤1时，去绝对值后分离变量可得2k≥-2x2+4x-1或2k≤2x2-2x+1恒成立，可得k≤14或k≥12. 综合两种情况可得k的取值范围.
【详解】分x>1和x≤1两种情况讨论：
（1）当x>1时，f(x)-|x-2k|-|x-1|≤0等价于x-2k≥1x-x恒成立，
因为x>1时，1x-x<0恒成立，所以k∈R；
（2）当x≤1时，f(x)-|x-2k|-|x-1|≤0等价于x-2k≥-2x2+3x-1恒成立，
即x-2k≤2x2-3x+1或x-2k≥-2x2+3x-1 恒成立.
也就是2k≥-2x2+4x-1或2k≤2x2-2x+1恒成立
而当x≤1时，-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1≤1，2x2-2x+1=2x-122+12≥12，
所以2k≥1或2k≤12，即k≤14或k≥12.
综合（1）（2）可知，k的取值范围是-∞,14∪12,+∞.
故选：B.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
（2）a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
7．D
【详解】对于命题①：令t=x,函数f(x)=-x+2x可换元为y=-t2+2t
∵t=x在(0,1)上是增函数，函数y=-t2+2t在(0,1)上是增函数，∴在(0,1)上f(x)是增函数；G(x)=2x-1在(0,1)上是减函数，∴函数f(x)=-x+2x
是(0,1)上的“H函数“，故命题①是真命题．对于命题②，函数g(x)=2x1-x2=21x-x是（0，1）上的增函数，H(x)=g(x)x=11-x2
是(0,1)上的增函数，故命题②是假命题；故选D．
8．B
【分析】根据题设描述只需保证各集合中XAn=M-m（n∈N*）尽量小，结合已知及集合的性质有n最大时XA1+XA2+XA3+...+XAn=n(n-1)2，进而分析n的取值.
【详解】由题设A1，A2，A3，…，An中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使n最大，则各集合中XAn=M-m（n∈N*）尽量小，
所以集合A1，A2，A3，…，An的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设XA1=0,XA2=1,XA3=2,...,XAn=n-1，有XA1+XA2+XA3+...+XAn=n(n-1)2，
当n=11时，XA1+XA2+XA3+...+XAn=55<60，
当n=12时，XA1+XA2+XA3+...+XAn=66>60，
只需在n=11时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故n的最大值为11.
故选：B
【点睛】关键点点睛：注意n最大则各集合中XAn=M-m（n∈N*）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值.
9．ABD
【分析】根据集合xx2+ax+b=0,a>0子集的个数列方程，求得a,b的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合xx2+ax+b=0,a>0有且仅有两个子集，所以Δ=a2-4b=0,a2=4b，
由于a>0，所以b>0.
A，a2-b2=4b-b2=-b-22+4≤4，当b=2,a=22时等号成立，故A正确.
B，a2+1b=4b+1b≥24b⋅1b=4，当且仅当4b=1b,b=12,a=2时等号成立，故B正确.
C，不等式x2+ax-b<0的解集为x1,x2，x1x2=-b<0，故C错误.
D，不等式x2+ax+b
故选：ABD
10．ABD
【分析】先设x+y=t，然后代入x2+2y2+xy=7，最后根据判别式即可判断A，对x2+2y2直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值x=7，y=0即可判断C，通过对变形，即xy=22×x×2y，然后使用基本不等式即可判断D.
【详解】设x+y=t，代入x2+2y2+xy=7得(t-y)2+2y2+(t-y)y=7，
化简得2y2-ty+t2-7=0，所以Δ=t2-8t2-7≥0，解得-22≤t≤22，
∴x+y≤22，选项A正确；
当x>0,y>0时，由x2+2y2+xy=7，得2x2×2y2≤x2+2y2=7-xy，
∴22xy≤7-xy, 解得xy≤ 22-1，当且仅当x2=4-2,y2=4-22时成立，选项B正确；
由x2+2y2+xy=7，得x=7时，y=0，
∴x2+y2=7，解得x2+y2=7＞6-22，选项C错误；
由x2+2y2+xy=7，得xy=7-x2-2y2，
∴7-x2-2y2=xy=22×x×2y≤22×x2+2y22,
解得:x2+2y2≥8-22，当且仅当x2=4-2,y2=4-22时取等号， 选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立.
11．BCD
【分析】计算f0=0得到fx=-1+1f-x+1>-1，A错误，根据单调性的定义得到B正确，计算f2=3，f4=15，f8=255得到C正确，题目转化为fx+fx≥f2得到x+fx≥2，根据函数的单调性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：令x=1,y=0可得f1=f1f0+f0+f1，故f0=0，
令y=-x可得f0=f-xfx+fx+f-x，f-x≠-1，
fx=-f-xf-x+1=-1+1f-x+1，当x<0时，f-x>0，则fx=-1+1f-x+1>-1，
综上所述：fx∈-1,+∞，错误；
对选项B：任取x1,x2∈R且x1>x2，fx1-x2>0，fx2>-1，
则fx1-fx2=fx1-x2+x2-fx2=fx1-x2fx2+fx1-x2 =fx1-x2fx2+1>0，所以函数y=fx在R上单调递增，正确；
对选项C：取x=y=1得到f2=f1f1+f1+f1=3；
取x=y=2得到f4=f2f2+f2+f2=15；
取x=y=4得到f8=f4f4+f4+f4=255，正确；
对选项D：ffx≥3-fx1+fx，ffx1+fx≥3-fx，
即ffxfx+fx+ffx=fx+fx≥f2，
即x+fx≥2，
函数gx=x+fx单调递增，且g1=1+1=2，故x≥1，正确；
故选：BCD
【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据题目信息转化得到fx+fx≥f2，再利用函数的单调性解不等式是解题的关键.
12．2
【分析】变形条件等式得a4-a+1a-1=1344-a+1a-14-a+a-1-1，然后展开，利用基本不等式求最小值.
【详解】∵1
∴a4-a+1a-1=44-a+1a-1-1=1344-a+1a-14-a+a-1-1
=135+4a-14-a+4-aa-1-1≥135+24a-14-a⋅4-aa-1-1=2，
当且仅当4a-14-a=4-aa-1，即a=2时等号成立，
∴a4-a+1a-1的最小值是2.
故答案为：2.
13．m≥-43
【分析】求得fx在区间-1,0,-2,-1上的解析式，画出fx的图象，结合图象列不等式，由此求得m的取值范围.
【详解】x∈-1,0时，x+1∈0,1，而x∈0,1时，fx=-xx-1,
所以fx+1=-x+1x+1-1=-xx+1，
又2fx+1=fx，
所以当x∈-1,0时，fx=2fx+1=-2xx+1，
当x∈-2,-1时，fx=2fx+1=-2×2x+1x+1+1=-4x+1x+2，
作出示意图如下图所示：
要使fx≤89，则需x≥x1，结合上图，
由-4x+1x+2=89，解得x1=-43，所以m≥-43.
【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的f(x+1)=12f(x)，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.
14．14/0.25
【分析】由一元二次不等式恒成立得c≥b24a>0、a>0，将问题化为求t=a+b+3ca-2b的最小值，令m=ba<0则t≥1+38⋅4m+m212-m，应用基本不等式求最值，注意取值条件.
【详解】由题设a>0Δ=b2-4ac≤0，有b2≤4ac，又b<0，则c≥b24a>0，
又1-ta+1+2tb+3c=a+b+3c+(2b-a)t，则2b-a<0，
故存在t∈R使a+b+3c+(2b-a)t=0成立，则t=a+b+3ca-2b，
所以t=1+3(b+c)a-2b≥1+3⋅ba(1+b4a)1-2ba，令m=ba<0，故t≥1+38⋅4m+m212-m，
所以t≥1+38⋅(12-m)2+5(m-12)+9412-m=1+38⋅[(12-m)+94(12-m)-5]，且12-m>0，
而38⋅[(12-m)+94(12-m)-5]≥38⋅[2(12-m)⋅94(12-m)-5]=-34，仅当12-m=32，即m=-1等号成立，
所以t≥14，仅当a=-b且c=b24a=a4时等号成立，故t的最小值为14.
故答案为：14
【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求t=a+b+3ca-2b的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.
15．【答案】(1)m≤3
(2)2≤m≤4
【分析】（1）分类讨论B是否为空集，当B≠∅时，根据子集关系列式，解不等式可得结果；
（2）先求A∩B=∅时，实数m的取值范围，再求其补集即可得解.
【详解】（1）①当B=∅时，B⊆A，
此时m+1>2m-1,解得m<2，
②当B≠∅时，为使B⊆A，m需满足m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3，
综上所述：实数m的取值范围为m≤3.
（2）先求A∩B=∅时，实数m的取值范围，再求其补集，
当B=∅时，由（1）知m<2，
当B≠∅时，为使A∩B=∅，m需满足m+1≤2m-1m+1>5或m+1≤2m-12m-1<-2，
解得m>4，
综上知，当m<2或m>4时，A∩B=∅，
所以若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是2≤m≤4.
16．(1)(-∞,1-273)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，分m+1=0和m+1≠0，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，化简不等式为[(m+1)x-(m-1)]⋅(x-1)≥0，分m+1=0、m+1>0和m+1<0，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，
当m+1=0时，即m=-1时，不等式即为2x-2<1，解得x<32，不符合题意，舍去；
当m+1≠0时，即m≠-1时，不等式可化为m+1x2-m-1x+m-2<0，
要使得不等式m+1x2-m-1x+m-1<1的解集为R，
则满足m+1<0Δ=m-12-4m+1m-2<0，
即m<-13m2-2m-9>0，解得m<1-273，
综上可得，实数m的取值范围为(-∞,1-273).
（2）解：由不等式m+1x2-2mx+m-1≥0，可得[(m+1)x-(m-1)]⋅(x-1)≥0，
当m+1=0时，即m=-1时，不等式即为x-1≥0，解得x≥1，解集为{x|x≥1}；
当m+1>0时，即m>-1时，不等式可化为(x-m-1m+1)(x-1)≥0，
因为m-1m+1=1-2m+1<1，所以不等式的解集为{x|x≤m-1m+1或x≥1}；
当m+1<0时，即m<-1时，不等式可化为(x-m-1m+1)(x-1)≤0，
因为m-1m+1=1-2m+1>1，所以不等式的解集为{x|1≤x≤m-1m+1}，
综上可得，
当m<-1时，不等式的解集为{x|1≤x≤m-1m+1}；
当m=-1时，不等式的解集为{x|x≥1}；
当m>-1时，不等式的解集为{x|x≤m-1m+1或x≥1}.
17．(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当0
（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0恒成立，分离参数可得a<3(x+4)21+x对任意的x>0恒成立，分类常数结合基本不等式求出(x+4)21+x的最小值，即可得解.
【详解】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240m2，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为240x米(x>0)，
设甲工程队报价为y元，
所以y=240x×5×250×2+150×5x×2+24000=5001200x+3x+24000，
因为y≥1500×2400x⋅x+24000=84000，
当且仅当400x=x，即x=20时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0恒成立，
即3x2+24x+48>a1+x对任意的x>0恒成立，
所以a<3(x+4)21+x对任意的x>0恒成立，
因为a>0，
(x+4)21+x=(x+1)2+6x+1+91+x=x+1+9x+1+6≥2x+1⋅9x+1+6=12，
当且仅当x+1=9x+1，即x=2时等号成立，
所以0
(2)fx在R上的单调递减，证明过程见解析
(3)(-3,-2)∪(0,1).
【分析】（1）赋值法求出f1=12和f0=1，进而赋值求出f-1=32；
（2）先求出0
（3）变形得到2fx2+2x2-fx2+2x-1<0，求出-12
则2f1=f2+1，
因为f2=0，所以f1=12，
令x=y=0得，2f0=f0+1，解得f0=1，
令x=1,y=-1得，f1+f-1=f0+1，即12+f-1=1+1，
解得f-1=32；
（2）设0
所以fx+2=fx+f2-1=fx-1<0，
所以0
所以x>0时，fx<1，
fx在R上的单调递减，证明过程如下：
设∀x1,x2∈R，且x1
则fx1-fx2=fx1-fx1+t=fx1-fx1-ft+1=1-ft，
因为t>0时，ft<1，
所以fx1-fx2=1-ft>0，故fx1>fx2，
故fx在R上的单调递减；
（3）由题意得fx2+2x+2=fx2+2x+f2-1=fx2+2x-1，
因为2fx2+2x2-fx2+2x+2-2<0，
所以2fx2+2x2-fx2+2x-1<0，
即2fx2+2x+1⋅fx2+2x-1<0，
解得-12
故f3=f2+f1-1=-12，
故f3
故0
【点睛】思路点睛：求解抽象函数的函数值或函数奇偶性，单调性，往往利用赋值法，结合题目中的条件进行求解.
19．(1)Pα={0,3,5},Pβ={0,5,8,10}；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题意，即可直接写出P(α),P(β)；
（2）由ai+s=ai可得aj+t=aj+t-s，结合aj+t=aj可得aj+t-s=aj,j=1,2,⋯,n-t，即可证明；
（3）若t∈P(α')且2t
（2）因为s∈P(α)，所以ai+s=ai,i=1,2,⋯,n-s，
当1≤j≤n-t时，1
又因为t∈P(α)，所以aj+t=aj,j=1,2,⋯,n-t，
所以aj+t-s=aj,j=1,2,⋯,n-t，
所以t-s∈P(α')；
（3）对任意s∈P(α)，令α'=(a1,a2,⋯,an-s)∈An-s，
若t∈P(α')且2t
因为s∈P(α)，所以aj+1=aj,j=1,2,⋯,n-s，
所以ai=ai+2t=ai+2t+s,i=1,2,⋯,n-s-2t，所以s+2t∈P(α).
对sk,sk+1∈P(α)(k=1,2,⋯,m-2)，因为sk
若2(sk+1-sk)
又因为2sk+1-sk=sk+1+(sk+1-sk)>sk+1，所以2sk+1-sk≥sk+2.
若2(sk+1-sk)≥n-sk，则sk+2(sk+1-sk)≥n>sm≥sk+2，
所以2sk+1-sk>sk+2.
综上，2sk+1-sk≥sk+2即2sk+1≥sk+sk+2(k=1,2,⋯,m-2).
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识..
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
D
B
ABD
ABD
题号
11
答案
BCD
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