2023-2024学年江苏省常州市中考数学试卷（附答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市中考数学试卷（附答案解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）的绝对值是
A．B．C．D．2024
2．（2分）若式子有意义，则实数的值可能是
A．B．0C．1D．2
3．（2分）计算的结果是
A．2B．C．D．
4．（2分）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是
A．B．
C．D．
5．（2分）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则
A．与一定相等B．与一定不相等
C．与一定相等D．与一定不相等
6．（2分）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为
A．光年B．光年C．光年D．光年
7．（2分）如图，推动水桶，以点为支点，使其向右倾斜．若在点处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（2分）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是
A．第所用的时间最长
B．第的平均速度最大
C．第和第的平均速度相同
D．前的平均速度大于最后的平均速度
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）16的算术平方根是 ．
10．（2分）分解因式： ．
11．（2分）计算： ．
12．（2分）若等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长的函数表达式为 ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
14．（2分）如图，是的直径，是的弦，连接、、．若，则 ．
15．（2分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则 ．
16．（2分）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则 ．
17．（2分）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：，此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 （填“”、“ ”或“” ．
18．（2分）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数的中位数满足；
③这20个充电宝的完全充放电次数的平均数满足．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
22．（8分）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
23．（8分）如图，、、、是直线上的四点，、相交于点，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与的位置关系是 ．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
25．（8分）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
26．（10分）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，、、是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是 ， （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出△的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
27．（10分）将边长均为的等边三角形纸片、叠放在一起，使点、分别在边、上（端点除外），边、相交于点，边、相交于点．
（1）如图1，当是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
28．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．
（1） ；
（2）如图，已知点的坐标是．
①当，且时，的最大值和最小值分别是、，，求的值；
②连接，是该二次函数的图象上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为，作，射线交轴于点，连接、．若，求点的横坐标．
2024年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2分）的绝对值是
A．B．C．D．2024
【解答】解：的绝对值是2024，
故选：．
2．（2分）若式子有意义，则实数的值可能是
A．B．0C．1D．2
【解答】解：式子有意义，
，
解得：，
则，0，1不符合题意，2符合题意，
故选：．
3．（2分）计算的结果是
A．2B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
4．（2分）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是
A．B．
C．D．
【解答】解：四棱锥的侧面展开图是四个三角形．
故选：．
5．（2分）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则
A．与一定相等B．与一定不相等
C．与一定相等D．与一定不相等
【解答】解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点在的平分线上时，与一定相等，
故选：．
6．（2分）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为
A．光年B．光年C．光年D．光年
【解答】解：50亿光年光年光年，
故选：．
7．（2分）如图，推动水桶，以点为支点，使其向右倾斜．若在点处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解答】解：的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短．
故选：．
8．（2分）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是
A．第所用的时间最长
B．第的平均速度最大
C．第和第的平均速度相同
D．前的平均速度大于最后的平均速度
【解答】解：由图象可知，
第所用的时间最长，约4.5分钟，故选项说法正确，不符合题意；
第所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项说法正确，不符合题意；
第和第的平均速度相同，故选项说法正确，不符合题意；
前的平均速度小于最后的平均速度，故选项说法错误，符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）16的算术平方根是 4 ．
【解答】解：16的算术平方根是4，
故答案为：4．
10．（2分）分解因式： ．
【解答】解：
．
故答案为：．
11．（2分）计算： 1 ．
【解答】解：原式．
故答案为：1．
12．（2分）若等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长的函数表达式为 ．
【解答】解：等腰三角形的周长是10，则底边长与腰长，
，，，，
由，得：，
由，得：，解得：，
由，得：，解得：，
的取值范围是：，
底边长与腰长的函数表达式为：．
故答案为：．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线、相交于原点．若点的坐标是，则点的坐标是 ．
【解答】解：过点，分别作轴的垂线，，如图，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，，
点的坐标是，
，，
点的坐标为：，
故答案为：．
14．（2分）如图，是的直径，是的弦，连接、、．若，则 70 ．
【解答】解：，
．
是的直径，
，
．
故答案为：．
15．（2分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、于点、．若，，则 ．
【解答】解：连接，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（2分）如图，在中，，，，是边的中点，是边上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则 ．
【解答】解：，，，是边的中点，
，
，
将沿翻折，点落在上的点处，
，，，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
，
故答案为：．
17．（2分）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：，此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则 （填“”、“ ”或“” ．
【解答】解：由题意可得，前9次标枪的平均数和10次投掷标枪的平均数相同，均为，
第10次投掷标枪的落点恰好在线上，
，
．
故答案为：．
18．（2分）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时，第二个路口显示红灯倒计时，此时车辆分别距离两个路口和．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是、，第二个路口红、绿灯设定时间分别是、．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速的取值范围是 ．
【解答】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
①②，得：，
，
将代入①得：，
该方程组的解为：；
（1），
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为：．
20．（6分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
；
当时，
原式．
21．（8分）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 ①② （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数的中位数满足；
③这20个充电宝的完全充放电次数的平均数满足．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
【解答】解：（1）因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①由统计表可知这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次，故正确；
②这20个充电宝的完全充放电次数的中位数满足，故正确；
③这20个充电宝的完全充放电次数的平均数为，故不正确；
①②；
故答案为：①②；
（3）（个，
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
22．（8分）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
甲取胜的概率为．
23．（8分）如图，、、、是直线上的四点，、相交于点，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与的位置关系是 ．
【解答】（1）证明：在和中，
，
，
，
即，
，
为等腰三角形；
（2）与的位置关系是：，理由如下：
连接，过作直线于，过作直线于，如图所示：
则，，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接、，求的面积．
【解答】解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，
，
，，
反比例函数解析式为，
一次函数的图象过、，
，解得，
一次函数解析式为．
（2）如图，设直线与轴的交点为点，
在函数中，当时，，
，即，
．
25．（8分）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 、 、 、 ．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
【解答】解：由题意得，，，
，，，
，，
与的比是，
，
，
经检验，是方程的解，
，，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是、、、．
26．（10分）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，、、是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是 ， （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出△的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）由题知，．
，
线段的“平移关联图形”可以是，也可以是，
当线段的“平移关联图形”是时，，
当线段的“平移关联图形”是时，；
故答案为：，1或者，2；（两种情况任填一种即可）．
（2）作图如图所示，
作法提示：①在延长线上截取，
②再分别以和为圆心，长为半径画弧交于点，
③连接和，则△即为所求；
理由：，△是等边三角形，
△为等边三角形，
△△，
平移距离为2，
△是△的一个“平移关联图形”，且满足．
（3）点、、的坐标分别是、、，
，，
，
对上的任意点，连接、、所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
，，
当在圆外时，最小时，最小，此时最大，
最小为3，此时，
，
即；
当在圆外内时，最小时，最小，此时最小，
即，
；
综上，或．
27．（10分）将边长均为的等边三角形纸片、叠放在一起，使点、分别在边、上（端点除外），边、相交于点，边、相交于点．
（1）如图1，当是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 菱形 ；
（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
【解答】解：（1）如图所示，连接，，
，都是等边三角形，
，
、、、四点共圆，
点是的中点，
，
为过、、、的圆的直径，
又，
为过、、、的圆的直径，
点为圆心，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形；
（2），都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
过点作，
设 ，则，，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
（3），理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，连接，
，都是边长为的等边三角形，
，，，
由勾股定理可得，，
，
又，
，
，
，即．
28．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点．
（1） 3 ；
（2）如图，已知点的坐标是．
①当，且时，的最大值和最小值分别是、，，求的值；
②连接，是该二次函数的图象上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为，作，射线交轴于点，连接、．若，求点的横坐标．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，，
即，
故答案为：3；
（2）将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线，顶点为：，点；
①当，且时，抛物线的时，取得最大值，即，
当时，取得最小值为，
则，
解得：（不合题意的值已舍去）；
②设点，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当点在轴上方时，如图，
，
则直线的表达式为：，
则点，
由点、、、的坐标得，，，
，即，
解得：（舍去）或1或1.5；
当点在轴下方时，
同理可得：点，
则，
解得：（舍去）或（舍去）或；
综上，点的横坐标为：1或1.5或．
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充电宝数量个
2
3
10
5
完全充放电次数
充电宝数量个
2
3
10
5
石头
剪子
布
石头
（石头，剪子）
（石头，布）
剪子
（剪子，石头）
（剪子，布）
布
（布，石头）
（布，剪子）