2023-2024学年黑龙江省大庆市中考数学试卷（附答案解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省大庆市中考数学试卷（附答案解析），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是
A．和B．2024和C．和2024D．和
2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．厨余垃圾B．有害垃圾C．其他垃圾D．可回收物
4．（3分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是
A．B．C．D．
5．（3分）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是
A．B．C．D．
6．（3分）下列说法正确的是
A．若，则
B．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
7．（3分）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上．则下列判断正确的是
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为
A．B．
C．D．
9．（3分）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是
A．小庆选出四个数字的方差等于4.25
B．小铁选出四个数字的方差等于2.5
C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D．小萌选出四个数字的极差等于4
10．（3分）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为
A．15B．C．D．18
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．（3分） ．
12．（3分）若，则 ．
13．（3分）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为，图柱形盒子的容积为，则 （球体体积公式：．其中为球体半径）．
14．（3分）写出一个过点且的值随着值增大而减小的函数表达式 ．
15．（3分）不等式组的整数解有 个．
16．（3分）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ．
17．（3分）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ．
18．（3分）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数” ，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是；
④若关于的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，的最小值为，则的值为．
三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19．（4分）求值：．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
21．（5分）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时），用电低谷时段（简称谷时）次日，峰时电价比谷时电价高0.2元度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
22．（6分）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：
23．（7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） ， ， ；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
24．（7分）如图，在平行四边形中，，分别是、的平分线，且点，分别在边，上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的面积．
25．（7分）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价为（元千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元千克，第15天的售价为15元千克，设第天的销售额为（元．
（1） ， ；
（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
26．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值．
27．（9分）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
28．（9分）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标；
（3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是
A．和B．2024和C．和2024D．和
【解答】解：
、，2024 和 符号相反，互为相反数．
、2024 和 互为倒数．
、，两个数相等．
、和的符号相反，但绝对值不相等；
故选：．
2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
3．（3分）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．厨余垃圾B．有害垃圾C．其他垃圾D．可回收物
【解答】解：是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则不符合题意；
既是轴对称图形，也是中心对称图形，则符合题意；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；
故选：．
4．（3分）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是
A．B．C．D．
【解答】解：各个选项中的几何体的主视图，左视图如下：
选项的几何体的主视图、左视图的形状不同，
故选：．
5．（3分）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是
A．B．C．D．
【解答】解：令四个景点：“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”，分别为、、、，
列表得：
由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的有6种结果，
所以这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为，
故选：．
6．（3分）下列说法正确的是
A．若，则
B．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格不变
C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形
【解答】解：．，当时，；当时，，原说法错误，故本选项不符合题意；
．设衣服原价为元，则降价后为元，又提价后为元，所以这件衣服的价格变便宜了，原说法错误，故本选项不符合题意；
．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不符合题意；
．设这个多边形的边数为，则，解得，即这个多边形是六边形，原说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
7．（3分）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上．则下列判断正确的是
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【解答】解：对于纸带①，
，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
与不平行．
对于纸带②中，由翻折的性质得：，，
又，，在同一直线上，点，，也在同一直线上
，，
，，
，
．
综上所述：纸带①边线不平行，纸带②的边线平行．
故选：．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为
A．B．
C．D．
【解答】解：将代入得，
，
所以函数过定点．
故选项不符合题意．
当时，
函数中随的增大而增大．
因为当时，
，
所以此函数的图象都在轴的上方，
所以不符合题意，符合题意．
故选：．
9．（3分）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是
A．小庆选出四个数字的方差等于4.25
B．小铁选出四个数字的方差等于2.5
C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5
D．小萌选出四个数字的极差等于4
【解答】解：、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，
此时，
方差为，
当数据为1，2，5，6时，，
，故该选项符合题意；
、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，
，
，
故该选项不符合题意；
、当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时，
，故该选项不符合题意；
、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，故该选项不符合题意．
故选：．
10．（3分）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为
A．15B．C．D．18
【解答】解：过点作，交、于、，过点作于点，
矩形，
，
，
四边形和都是矩形，
，
由旋转的性质得，，
，
，
，
点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，
最小值为，
，，
，
故选：．
二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
11．（3分） ．
【解答】解：，
的立方根是．
故答案为：．
12．（3分）若，则 3 ．
【解答】解：，
．
故答案为3．
13．（3分）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为，图柱形盒子的容积为，则 （球体体积公式：．其中为球体半径）．
【解答】解：设球的半径为，
则，
一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，
圆柱的高和底面圆的半径也为，
，
，
故答案为：．
14．（3分）写出一个过点且的值随着值增大而减小的函数表达式 （答案不唯一） ．
【解答】解：由题知，
令这个函数的表达式为，
将点代入函数表达式得，
，
所以函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
15．（3分）不等式组的整数解有 4 个．
【解答】解：解不等式得，
，
解不等式得，
，
所以不等式组的解集为：．
所以不等式组的整数解为：，0，1，2，
即不等式组有4个整数解．
故答案为：4．
16．（3分）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是 ．
【解答】解：由题知，
莱洛三角形的周长可转化为半径长为的圆周长的一半．
又因为莱洛三角形的周长为，
所以，
则，
所以等边的边长为3．
过点作的垂线，垂足为，
则．
在中，
．
所以莱洛三角形的面积为：．
故答案为：．
17．（3分）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 48 ．
【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为．
正方形的面积为，正方形的面积为．
由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
正方形的面积为4．
根据勾股定理可得：．
正方形的面积正方形的面积；
图1中所有正方形的面积和．
同理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积．
图2中所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
即一次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积也是4．
次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．
18．（3分）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数” ，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ①③④ ．
①函数是“倍值函数”；
②函数的图象上的“倍值点”是和；
③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是；
④若关于的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，的最小值为，则的值为．
【解答】解：由题意，对于①，，
又令，
，此时方程无解．
不是“倍值函数”，故①错误．
对于②，，
又令，
．
或．
图象上的“倍值点”为，，故②正确．
对于③，
又令，
，即．
函数的图象上有两个“倍值点”，
方程的△，且．
且，故③错误．
对于④，，
又令，
，即．
的图象上存在唯一的“倍值点”，
方程的△．
．
关于的函数的对称轴是直线，此时最小值为．
又存在唯一的“倍值点”，且当时，的最小值为，
①，
；
②，
此时无解；
③，
（舍去）或．
综上，或，故④错误．
故答案为：①③④．
三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。
19．（4分）求值：．
【解答】解：原式
．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
21．（5分）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时），用电低谷时段（简称谷时）次日，峰时电价比谷时电价高0.2元度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【解答】解：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该市谷时电价为0.3元度．
22．（6分）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：
【解答】解：分别过点和点作的垂线，垂足分别为，，
在中，
，
所以，
在中，
，
所以，
则，
所以（米，
所以（米．
在中，
，
所以，
所以米，
则（米，
故大桥的长为548米．
23．（7分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 18 度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） ， ， ；
（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？
【解答】解：（1）①
，
故答案为：18；
②第一小组中，得分为4分的人数为（人，补全条形统计图如下：
（2）第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即，
第二小组20名学生成绩的平均数为（分，即，
将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，所以中位数是3分，即，
故答案为：5，3.5，3；
（3）（名，
答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．
24．（7分）如图，在平行四边形中，，分别是、的平分线，且点，分别在边，上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的面积．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是、的平分线，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的平分线，
，
，
是等边三角形，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
25．（7分）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价为（元千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元千克，第15天的售价为15元千克，设第天的销售额为（元．
（1） ， ；
（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；
（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？
【解答】解：（1）由题意得，，
．
故答案为：；30．
（2）由题意，当时，由（1）得，
．
当时，．
．
（3）由题意，当时，．
，
当时，取最大值为400．
此时销售额不超过500元．
当时，令，
．
共有7天销售额超过500元．
26．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值．
【解答】解：（1）四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；
（2）设点坐标为，
，
，
是平行四边形，
，
点是边的中点，点的纵坐标为3，
点的纵坐标为，
点在反比例函数图象上，
，
由中点坐标公式可得点坐标为
，
解得或（舍去），
．
（3）将直线向上平移6个单位得到直线，
解析式为，
设直线与轴交于点，则，
如图3，作交于点，
，
，
在函数中，当时，，
，
，，
在中，由勾股定理得，
由三角形面积公式可得：，
，
，
列函数联立方程组得，解得，，
，，，，
点为的中点，
，
，
．
27．（9分）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，．求的值．
【解答】（1）证明：将沿直线翻折到，
，
为的直径，是切线，
，
；
（2）证明：是切线，
，
为的直径，
，
，
由折叠可得，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
又，
，
，即；
（3）解：，
设，则，
，
，
由折叠可得，
，
在中，，
，
，，
，
．
28．（9分）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标；
（3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【解答】（1）解：将，代入，
得：，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：对于，令，
，
解得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，，
，
解得：（舍去）或，
；
（3）①证明：点与点重合，则，
点为中点，，，
，
设直线的解析式为，代入，，
，
解得：，
，
联立，
解得：或，
，在直线上，即，，三点共线；
②解：设，，，，
，，三点共线，
设的解析式，
联立，
消去得，，
，，
，，
设直线解析式为，直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
，，
，，
，
而不为定值，
在直线上运动，
到轴的距离为定值8，
直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到，的距离是变化的，
的面积为是定值．
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