南阳市重点中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份南阳市重点中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在三角形中，，平分交于点，且，，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F当点E从点A向点D移动过程中（点E与点A、点D不重合），四边形AFCE的形状变化依次是（ ）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
3、（4分）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（ ）
A．36B．30C．24D．20
4、（4分）使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x≠1
5、（4分）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则所有正方形的面积的和是 ．
A．28B．49C．98D．147
6、（4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做6个，甲做60个所用时间与乙做90个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设甲每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）已知一次函数y＝ax＋b(a、b为常数且a≠0)的图象经过点(1，3)和(0，－2)，则a－b的值为( )
A．－1B．－3C．3D．7
8、（4分）若x-，则x-y的值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是_____
10、（4分）化简﹣的结果是_____．
11、（4分）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
12、（4分）．在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是____________．
13、（4分）若，则关于函数的结论：①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③y恒为正值；④y恒为负值.正确的是________.（直接写出正确结论的序号）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了贯彻落实区中小学“阅读·写字·演讲”三项工程工作，我区各校大力推广阅读活动，某校初二（1）班为了解2月份全班学生课外阅读的情况，调查了全班学生2月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息解决下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有______人，其中2月份读书2册的学生有______人；
（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数．
15、（8分）如图，在正方形网格中，△TAB 的顶点坐标分别为 T(1，1)、A(2，3)、B(4，2)．
(1)以点 T(1，1)为位似中心，在位似中心的 同侧将△TAB 放大为原来的 3 倍，放大 后点 A、B 的对应点分别为 A'、B'，画出△TA'B'：
(2)写出点 A'、B'的坐标：A'( )、B'（ ）；
(3)在(1)中，若 C(a，b)为线段 AB 上任一 点，则变化后点 C 的对应点 C'的坐标为 ( )．
16、（8分）计算：(1) ； (2)
17、（10分）如图，已知等腰三角形的底边长为10，点是上的一点，其中．
（1）求证：；
（2）求的长．
18、（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系式．根据题中所给信息解答以下问题：
（1）甲、乙两地之间的距离为______km；图中点C的实际意义为：______；慢车的速度为______，快车的速度为______；
（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，以及自变量x的取值范围；
（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，请直接写出第二列快车出发多长时间，与慢车相距200km．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果多项式是一个完全平方式，那么k的值为______．
20、（4分）一组数据，，，，，的方差是_________．
21、（4分）因式分解：_________．
22、（4分）如图，四边形ABCD为菱形，点A在y轴正半轴上，AB∥x轴，点B，C在反比例函数上，点D在反比例函数上，那么点D的坐标为________.

23、（4分）一组数据 ，则这组数据的方差是 __________ .
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知四边形ABCD是菱形（四条边都相等的平行四边形）．AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与边BC，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为： ．
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B，C重合），求证：BE＝CF；
（3）求△AEF周长的最小值．
25、（10分）如图，在菱形ABCD中，点P是BC的中点，仅用无刻度的直尺按要求画图. (保
留作图痕迹，不写作法)
(1)在图①中画出AD的中点H;
(2)在图②中的菱形对角线BD上，找两个点E、F，使BE=DF.

26、（12分）如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于O,且AC平分∠DAB
(1)求证:四边形ABCD是菱形
(2)若AC=16,BD=12,试求点O到AB的距离.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=1CD，BC=9cm，则点D到AB的距离.
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD：DC=1：1，BC=6，
∴DC=×6=1，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，
∴DE=DC=1．
故选：C．
本题考查角平分线的性质和点到直线的距离，解题的关键是掌握角平分线的性质.
2、C
【解析】
先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，当∠AFC=80°时，四边形AECF是菱形，当∠AFC=90°时，四边形AECF是矩形，即可求解．
【详解】
解：∵点O是平行四边形ABCD的对角线得交点，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠ACF=∠CAD，∠ADB=∠DBC=20°
∵∠COF=∠AOE，OA=OC，∠DAC=∠ACF
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ADB=∠DBC=20°，∠ACB=50°，
∴∠AFC＞20°
当∠AFC=80°时，∠FAC=180°-80°-50°=50°
∴∠FAC=∠ACB=50°
∴AF=FC
∴平行四边形AECF是菱形
当∠AFC=90°时，平行四边形AECF是矩形
∴综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．
故选：C．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．
3、D
【解析】
解：如图所示，根据题意得：AO=×8=4，BO=×6=1．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB==5，∴此菱形的周长为：5×4=2．故选D．
4、D
【解析】
要使分式有意义，则必须分母不等于0.
【详解】
使分式有意义，则x-1≠0,所以x≠1.
故选D
本题考核知识点：分式有意义的条件. 解题关键点：记住要使分式有意义，则必须分母不等于0.
5、D
【解析】
根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上B的面积等于E的面积，同理，C，D的面积的和是F的面积，E，F的面积的和是M的面积．即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：SA+SB=SE,SC+SD=SM,SE+SF=SM
所以，所有正方形的面积的和是正方形M的面积的3倍：即49×3=147cm1．
故选：D
理解正方形A，B的面积的和是E的面积是解决本题的关键．若把A，B，E换成形状相同的另外的图形，这种关系仍成立．
6、A
【解析】
甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x+6)个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲做60个所用时间与乙做90个所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
甲每小时做x个零件，则乙每小时做(x+6)个零件，
依题意，得：，
故选A．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7、D
【解析】
将点(0, -2)代入该一次函数的解析式，得
，即b=-2.
将点(1, 3)代入该一次函数的解析式，得
，
∵b=-2，
∴a=5.
∴a-b=5-(-2)=7.
故本题应选D.
8、B
【解析】
直接利用二次根式的性质得出y的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵与都有意义，
∴y=0，
∴x=1，
故选x-y=1-0=1．
故选：B．
此题考查二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（-2，-3）．
【解析】
根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标相反即可得出答案.
解：点A(-2，3)关于x轴对称的点B的坐标是(-2,-3).
故答案为(-2,-3).
10、﹣
【解析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果
【详解】
原式=
=
=
故答案为:
此题考查分式的加减法，掌握运算法则是解题关键
11、1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx1+5x+m1﹣1m=0有一个根为0，
∴m1﹣1m=0且m≠0，
解得，m=1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax1+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
12、－4或1
【解析】
分析：点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
解答：解：∵点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，
∴|x-1|=5，
解得x=-4或1．
故答案为-4或1．
13、①③
【解析】
根据题意和正比例函数的性质可以判各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】
解：，函数，y随x的增大而增大，故①正确，②错误；
当时，，故③正确，④错误.
故答案为：①③.
本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）50；17；（2）补全条形图见详解；144°．
【解析】
（1）根据条形统计图读书4册的人数为4人，扇形图中占比8%，即可求得总人数；再根据读书2册人数占比34%，即可求得读书2册的人数；
（2）根据条形图中数据以及（1）中所求，可容易求得读书3册的人数，读书3册的人数除以总人数即为扇形图中所占百分比，再乘以360°，即为读书3册所对应扇形的圆心角度数．
【详解】
解：（1）根据条形统计图及扇形统计图知：本次问卷调查的学生共有人，
读书2册的学生有人．
（2）根据条形统计图知：读书3册的学生有人，补全如图：
读书3册的学生人数占比．
∴扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆心角度数为：．
本题考查直方图，难度一般，是中考的常考知识点，熟练掌握扇形图、条形图的相关知识有顺利解题的关键．
15、（1）详见解析；（1）A′（4，7），B′（10，4）（3）(3a-1,3b-1)
【解析】
（1）根据题目的叙述，在位似中心的同侧将△TAB放大为原来的3倍，得到对应点坐标，正确地作出图形即可，
（1）根据图象确定各点的坐标即可．
（3）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C′的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示：
（1）点A′，B′的坐标分别为：A′（4，7），B′（10，4）；
故答案为：(4，7)；(10，4)；
（3）变化后点C的对应点C′的坐标为：C′（3a-1，3b-1）
故答案为：3a-1，3b-1．
本题考查了位似变换作图的问题，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键．
16、
【解析】
（1）先化简二次根式，再加减；（2）根据平方差公式进行计算.
【详解】
(1)；
(2)
考核知识点：二次根式的运算.掌握运算法则是关键.
17、（1）见解析；（2）.
【解析】
(1)根据勾股定理的逆定理证得△BCD为直角三角形即可；
(2)设AB=x，则AD=x-6，在Rt△ABD中，根据勾股定理建立方程，解出方程即可.
【详解】
（1）证明：∵
∵为直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：设为，则
∵，
∴，
在中
，即，
解得
∴.
故答案为(1)见解析；(2).
本题考查了勾股定理及其逆定理.
18、（1）960；当慢车行驶6h时，快车到达乙地；80km/h；160km/h；（2）线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=240x-960，自变量x的取值范围是4≤x≤6；（3）第二列快车出发1.5h，与慢车相距200km．
【解析】
（1）x＝0时两车之间的距离即为两地间的距离，根据横坐标和两车之间的距离增加变慢解答，分别利用速度＝路程÷时间列式计算即可得解；
（2）求出相遇的时间得到点B的坐标，再求出两车间的距离，得到点C的坐标，然后设线段BC的解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）设第二列快车出发a小时两车相距200km，然后分相遇前与相遇后相距200km两种情况列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）由图象可知，甲、乙两地间的距离是960km；
图中点C的实际意义是：当慢车行驶6h时，快车到达乙地；
慢车速度是：960÷12=80km/h，
快车速度是：960÷6=160km/h；
故答案为：960；当慢车行驶6h时，快车到达乙地；80km/h；160km/h；
（2）根据题意，两车行驶960km相遇，所用时间=4h，
所以，B点的坐标为（4，0），
2小时两车相距2×（160+80）=480km，
所以，点C的坐标为（6，480），
设线段BC的解析式为y=kx+b，则，
解得k=240，b=-960，
所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=240x-960，自变量x的取值范围是4≤x≤6；
（3）设第二列快车出发a小时两车相距200km，
分两种情况，①若是第二列快车还没追上慢车，相遇前，则4×80+80a-160a=200，
解得a=1.5，
②若是第二列快车追上慢车以后再超过慢车，则160a-（4×80+80a）=200，
解得a=6.5，
∵快车到达甲地仅需要6小时，
∴a=6.5不符合题意，舍去，
综上所述，第二列快车出发1.5h，与慢车相距200km．
本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，追击问题，综合性较强，（3）要注意分情况讨论并考虑快车到达甲地的时间是6h，这也是本题容易出错的地方．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、8或-4
【解析】
根据完全平方公式的定义即可求解.
【详解】
=为完全平方公式，故=±6，
即得k=8或-4.
此题主要考查完全平方公式的形式，解题的关键是熟知完全平方公式.
20、
【解析】
先求得数据的平均数，然后代入方差公式计算即可．
【详解】
解：数据的平均数=（2-3+3+6+4）=2，
方差．
故答案为．
本题考查方差的定义，牢记方差公式是解答本题的关键．
21、
【解析】
直接提取公因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
22、
【解析】
分析:首先设出菱形边长为a,由AB=a,得出C、D的坐标，过点C作CE⊥AB，由勾股定理可得D点坐标.
详解：设菱形边长为a,即AB=a, 设C点坐标为（b,）, ∵BC∥x轴，∴D点纵坐标为：，∴D点横坐标为：，则x= -4b, ∴D（-4b, ）, ∵CD=a, ∴4b+b=a, a=5b,
过点C作CE⊥AB,则BE=a-AE=a-b=4b,BC=a=5b,
由勾股定理：CE=3b,CE= ,
∴b²=1-=, b=,∴D.故答案为.
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，解题的关键是设出菱形边长，利用反比例函数的性质表示出菱形各顶点的坐标，进而求解.
23、1
【解析】
分析：先求出这5个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
详解：平均数为=（1+1+3+4+5）÷5=3，
S1= [（1-3）1+（1-3）1+（3-3）1+（4-3）1+（5-3）1]=1．
故答案为：1．
点睛：本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）AE＝EF＝AF；（2）详见解析；（3）6．
【解析】
（1）结论AE＝EF＝AF．只要证明AE＝AF即可证明△AEF是等边三角形；
（2）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF即可；
（3）根据垂线段最短可知；当AE⊥BC时，△AEF的周长最小；
【详解】
（1）AE＝EF＝AF．
理由：如图1中，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°
∵BE＝EC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC，
∵∠EAF＝60°，
∴∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴AF⊥CD，
∴AE＝AF（菱形的高相等）
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
故答案为AE＝EF＝AF；
（2）证明：如图2，
∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF（ASA）
∴BE＝CF．
（3）由（1）可知△AEF是等边三角形，
∴当AE⊥BC时，AE的长最小，即△AEF的周长最小，
∵AE＝EF＝AF＝2，
∴△AEF的周长为6．
本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
25、见解析
【解析】
分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC、BD的中点，然后根据三角形的中位线判定与性质，即可画图得到H点；
（2）根据①的作图中的H点，连接AP，HC，交BD于E、F点，则BE=DF.
详解：图①作法如图所示：
图②作法如图所示：
点睛：此题主要考查了菱形的判定与性质，三角形的中位线的判定与性质，以及三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，灵活利用判定与性质的进行推理是画图的关键.
26、（1）证明见解析；（2）4.8
【解析】
(1)由平行四边形的对边平行得∠DAC=∠BCA，由角平分线的性质得∠DAC=∠BAC，即可知∠BCA=∠BAC，从而得AB=BC，即可得证；
(2)由菱形的对角线互相垂直且平分得AO=8、BO=6且∠AOB=90°，利用勾股定理得AB=10，根据S△AOB=AB•h=AO•BO即可得答案．
【详解】
(1)∵平行四边形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
∴ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，
所以AO=8，BO=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB==10，
设O点到AB的距离为h，则
S△AOB=AB•h=AO•BO，
即：×10h=×8×6，
解得h=4.8，
所以O点到AB的距离为4.8.
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是见本题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人