山东省东营市四校连赛2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标检测试题【含答案】

这是一份山东省东营市四校连赛2024-2025学年数学九年级第一学期开学达标检测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A．（－8，0）B．（0，8）
C．（0，8）D．（0，16）
2、（4分）如图,E为边长为 2 的正方形 ABCD的对角线上一点,BE=BC,P为 CE上任意一点,PQ⊥BC于点 Q,PR⊥BE于 R,则 PQ+PR的值为( )
A．B．C．D．
3、（4分）一组数据从小到大排列为1，2，4，x，6，1．这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
4、（4分）要使分式有意义，x应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A．B．
C．D．
6、（4分）如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是( )
A．DE＝DFB．BD＝FDC．∠1＝∠2D．AB＝AC
7、（4分）一元二次方程x2﹣8x+20=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
8、（4分）分式方程的解为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若
DE=5，则AB的长为 ▲ ．

10、（4分）在中，，，，则__________．
11、（4分）如果n边形的每一个内角都相等，并且是它外角的3倍，那么n=______
12、（4分）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∠B=70°，则∠ADE= 度．
13、（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP。将△AEF绕点A逆时针旋转。
（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为 ，数量关系为 。
（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立。
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为 。
15、（8分）计算：（1）3×（1＋）－；（2）－2×｜－1｜－
16、（8分）如图，一次函数y=kx+b的图象经过(2,4)、(0,2)两点，与x轴相交于点C．求：
（1）此一次函数的解析式；
（2）△AOC的面积．
17、（10分）如图，正方形的对角线交于点，直角三角形绕点按逆时针旋转，
（1）若直角三角形绕点逆时针转动过程中分别交两边于两点
①求证：；
②连接，那么有什么样的关系？试说明理由
（2）若正方形的边长为2，则正方形与两个图形重叠部分的面积为多少？（不需写过程直接写出结果）
18、（10分）某市从今年1月l同起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是10元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m1．求该市今年居民用水的价格．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则________度．
20、（4分）如图，在中，，D是AB的中点，若，则的度数为________。
21、（4分）在平面直角坐标系中，点A（x，y）在第三象限，则点B（x，﹣y）在第_____象限．
22、（4分）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，B'点落在OA上，则四边形OABC的面积是_____．
23、（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，矩形的面积为20cm2，对角线交于点，以AB、AO为邻边作平行四边形，对角线交于点；以为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为______，平行四边形的面积为______.
25、（10分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别相交于点A、B与：相交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)若平行于y轴的直线交于直线于点E，交直线于点D，交x轴于点M，且，求a的值；
26、（12分）已知直线y=kx+b（k≠0）过点（1，2）
（1）填空：b= （用含k代数式表示）；
（2）将此直线向下平移2个单位，设平移后的直线交x于点A，交y于点B，x轴上另有点C（1+k，0），使得△ABC的面积为2，求k值；
（3）当1≤x≤3，函数值y总大于零，求k取值范围．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，可求出从A到A3变化后的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，继而得出A8坐标即可.
【详解】
解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘，
∵从A到经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×＝2，
∴点所在的正方形的边长为2，点位置在第四象限，
∴点的坐标是（2，－2），
可得出：点坐标为（1，1），
点坐标为（0，2），点坐标为（2，－2），
点坐标为（0，－4），点坐标为（－4，－4），
（－8，0），A7（－8，8），（0，16），
故选D.
本题考查了规律题，点的坐标，观察出每一次的变化特征是解答本题的关键.
2、B
【解析】
连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可．
【详解】
解：如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即BE•h=BC•PQ+BE•PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴h=2×．
故选B．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ+PR等于点C到BE的距离是解题的关键．
3、D
【解析】
分析：先根据中位数的定义可求得x，再根据众数的定义就可以求解．
详解：根据题意得，（4+x）÷2=5，得x=2，
则这组数据的众数为2．
故选D．
点睛：本题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数，难度适中．
4、D
【解析】
直接利用分式有意义的条件，即分母不等于0，进而得出答案．
【详解】
解：要使分式有意义，x应满足的条件是：x-1≠0，
解得：x≠1．
故选：D．
本题考查分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
5、C
【解析】
判断轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，判断中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
故选C．
6、C
【解析】
分析：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．
详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠1．
故选C．

点睛：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．
7、A
【解析】
先计算出△，然后根据判别式的意义求解．
【详解】
∵△=（-8）2-4×20×1=-16＜0，
∴方程没有实数根．
故选A．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8、C
【解析】
观察可得最简公分母是x（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
方程的两边同乘x（x-1），得
1x-1=4x，
解得x=-1．
检验：当x=-1时，x（x-1）≠2．
∴原方程的解为：x=-1．
故选C．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，
∴△ADC是直角三角形；
∵E是AC的中点．
∴DE=AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；
又∵DE=5，AB=AC，
∴AB=1；
故答案为：1．
10、1
【解析】
根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半进行计算．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=1BC=1．
故答案为：1．
此题考查直角三角形的性质，解题关键在于掌握30°所对的直角边是斜边的一半．
11、8
【解析】
根据多边形内角和公式可知n边形的内角和为(n-2)·180º，n边形的外角和为360，再根据n边形的每个内角都等于其外角的3倍列出关于n的方程，求出n的值即可.
【详解】
解：∵n边形的内角和为(n-2)·180º，外角和为360，n边形的每个内角都等于其外角的3倍，
∴(n-2)·180º =360×3，
解得：n=8.
故答案为：8.
本题考查的是多边形的内角与外角的关系的应用，明确多边形一个内角与外角互补和外角和的特征是解题的关键.
12、1
【解析】
由题意可知DE是三角形的中位线，所以DE∥BC，由平行线的性质即可求出∠ADE的度数．
【详解】
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=1°，
故答案为1．
本题考查了三角形中位线的性质以及平行线的性质．
13、2
【解析】
首先求得菱形的边长，则OH是直角△AOD斜边上的中线，依据直角三角形的性质即可求解．
【详解】
AD＝×40＝1．
∵菱形ANCD中，AC⊥BD．
∴△AOD是直角三角形，
又∵H是AD的中点，
∴OH＝AD＝×1＝2．
故答案是：2．
本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）AP⊥BF，（2）见解析；（3）1≤AP≤2
【解析】
（1）根据直角三角形斜边中线定理可得 ，即△APD为等腰三角形推出∠DAP=∠EDA，可证△AED≌△ABF可得∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED由三角形内角和可得∠AOF=90°即AP⊥BF由全等可得 即
（2）延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点，利用P是DE中点，构造△AEP≌△PDQ可得∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA可得∠QDA=∠FAB可证△FAB≌△QDA 得到∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB由三角形内角和可得∠FAG=90°得出AG⊥FB即AP⊥BF由全等可得
（3）由于 即求BF的取值范围，当BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1
当BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2可得1≤AP≤2
【详解】
（1）
根据直角三角形斜边中线定理有AP是△AED中线可得 ，即△APD为等腰三角形。
∴∠DAP=∠EDA
又AE=AF，∠BAF=∠DAE=90°，AB=AD
∴△AED≌△ABF
∴∠ABF=∠EDA=∠DAP 且 BF=ED
设AP与BF相交于点O
∴∠ABF+∠AFB=90°=∠DAP+∠AFB
∴∠AOF=90°即AP⊥BF
∴ 即
故答案为：AP⊥BF，
（2）
延长AP至Q点使得DQ∥AE，PA延长线交于G点
∴∠EAP=∠PQD，∠AEP=∠QDP
∵P是DE中点，
∴EP=DP
∴△AEP≌△PDQ
则∠EAP=∠PQD，DQ=AE=FA
∠QDA=180°-（∠PAD+∠PQD）
=180°-∠EAD
而∠FAB=180°-∠EAD，则∠QDA=∠FAB
∵AF=DQ，∠QDA=∠FAB ，AB=AD
∴△FAB≌△QDA
∴∠AFB=∠PQD=∠EAP，AQ=FB
而∠EAP+∠FAG=90°
∴∠AFB+∠FAG=90°
∴∠FAG=90°
∴AG⊥FB
即AP⊥BF
又
∴
（3）∵
∴即求BF的取值范围
BF最小时，即F在AB上，此时BF=2，AP=1
BF最大时，即F在BA延长线上，此时BF=4，AP=2
∴ 1≤AP≤2
掌握三角形全等以及直角三角形斜边上的中线，灵活运用各种角关系是解题的关键。
15、（1） ；（2）.
【解析】
（1）先去括号，并把化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先去绝对值符号，再算乘法和乘方，然后合并化简即可.
【详解】
（1）原式=3＋3－2=；
（2）原式=－2×(1-)－
=-2+-3
=.
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应.
16、（1）y=x+2；（2）1
【解析】
（1）由图可知、两点的坐标，把两点坐标代入一次函数即可求出的值，进而得出结论；
（2）由点坐标可求出的长再由点坐标可知的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：
（1）由图可知、，
，
解得，
故此一次函数的解析式为：；
（2）由图可知，
，，
，，
．
答：的面积是1．
此题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，先根据一次函数的图象得出、、三点的坐标是解答此题的关键．
17、（1）①见解析；②垂直且相等，理由见解析；（2）面积为1。
【解析】
（1）①证出△DOM≌∠CON,证出；
②证明△MDC≌△BCN得CM=BN，证明△GCN∽△MDC得BN⊥CM;
（2）因为△DOM≌∠CON，所以正方形与两个图形重叠部分为△DOC的面积.
【详解】
（1）①∵正方形的对角线交于点
∴∠ADO=∠ACD OD=OC ∠DOC=90°
②∵∠DOC=90°
∴∠MOD+∠DON=90° ，∠NOD+∠CON=90°
∴∠DOM=∠CON
∵∠DOM=∠CON ∠ADO=∠ACD OD=OC
∴△DOM≌∠CON
∴
②
设BN交CM于点G
∵正方形ABCD
∴DC=BC∠ADC=∠DCB
∵△DOM≌∠CON
∴DM=CN
∴△MDC≌△BCN
∴CM=BN ∠CMD=∠BNC
∵∠CMD=∠BNC ∠MCD=∠MCD
∴△GCN∽△MDC
∴∠NGC=∠ADC
∴BN⊥CM
∴垂直且相等
（2）面积为1.
本题考查的是图形的旋转和全等，熟练掌握全等三角形和相似三角形是解题的关键.
18、该市今年居民用水的价格是每立方米2.4元．
【解析】
利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m1，进而得出等式即可．
【详解】
设去年居民用水价格为x元/m1，根据题意列方程：，
解得：x＝2，
经检验：x＝2是原方程的根，
∴（1+20%）x＝2.4，
答：该市今年居民用水的价格是每立方米2.4元．
本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出．
【详解】
如图所示：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE．
∴▱AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF=1°．
故答案是：1．
考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．
20、52
【解析】
根据直角三角形的性质得AD=CD，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案 .
【详解】
∵∠ACB=90°，D是AB上的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCA=∠A=26°，
∴∠BDC=2∠A=52°.
故答案为52 .
此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键 .
21、二
【解析】
根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【详解】
解：由点A（x，y）在第三象限，得
x＜0，y＜0，
∴x＜0，-y＞0，
点B（x，-y）在第二象限，
故答案为：二．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
22、1
【解析】
如图，延长BA交y轴于E，延长BC交x轴于F，连接OC．，由题意△ACB≌△ACB'，△OCF≌△OCB'，推出BC=CB'=CF，设BC=CF=a，OF=BE=2b，首先证明AE=AB，再证明S△ABCS△OCF，由此即可解决问题．
【详解】
如图，延长BA交y轴于E，延长BC交x轴于F，连接OC．
由题意△ACB≌△ACB'，△OCF≌△OCB'，∴BC=CB'=CF，设BC=CF=a，OF=BE=2b．
∵S△AOE=S△OCF，∴2a×AE2b×a，∴AE=b，∴AE=AB=b，∴S△ABCS△OCF，S△OCB'=S△OFC=，∴S四边形OABC=S△OCB'+2S△ABC21．
故答案为：1．
本题考查了反比例函数比例系数k、翻折变换等知识，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几何意义，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
23、1
【解析】
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE=AF=AC，EF=AD=AB，再根据四边形的周长的定义计算即可得解.
【详解】
解：∵在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE=AF=AC=2.5，EF=AD=AB=1.5，
∴四边形ADEF的周长是(2.5+1.5)×2=1．
故答案为：1．
本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，求出平行四边形的面积，然后再观察发现规律进行解答．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10，
∴S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5，
∴S△ABO1＝S△AOB＝×5＝，
∴S△ABO2＝S△ABO1＝，
S△ABO3＝S△ABO2＝，
S△ABO4＝S△ABO3＝，
∴S平行四边形AO4C5B＝2S△ABO4＝2×＝，
∴平行四边形的面积为：，
故答案为：，.
本题考查了三角形的面积，矩形的性质，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等．
25、 (1) C坐标为；(2) 2或1.
【解析】
（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出的坐标；
（2）将代入两直线方程求出对应的值，确定出与的纵坐标，即与的长，由求出的长，根据，求出的长，将代入两直线方程，求出与对应的横坐标，相减的绝对值等于的长列出关于的方程，求出方程的解即可求出的值.
【详解】
解：(1)联立两直线解析式得：，
解得：，
则点C坐标为；
(2)由题意：
解得或1．
此题属于一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，以及一次函数图象上点的坐标特征.解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.
26、（1）2﹣k；（2）k=±2；（3）当k＞1或﹣1＜k＜1时，函数值y总大于1．
【解析】
（1）∵直线y=kx+b（k≠1）过点（1，2），
∴k+b=2，
∴b=2﹣k．
故答案为2﹣k；
（2）由（1）可得y=kx+2﹣k，
向下平移2个单位所得直线的解析式为y=kx﹣k，
令x=1，得y=﹣k，令y=1，得x=1，
∴A（1，1），B（1，﹣k），
∵C（1+k，1），
∴AC=|1+k﹣1|=|k|，
∴S△ABC=AC•|yB|=|k|•|﹣k|=k2，
∴k2=2，解得k=±2；
（3）依题意，当自变量x在1≤x≤3变化时，函数值y的最小值大于1．
分两种情况：
ⅰ）当k＞1时，y随x增大而增大，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为k+2﹣k=2＞1，
∴当 k＞1时，函数值总大于1；
ⅱ）当k＜1时，y随x增大而减小，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为3k+2﹣k=2k+2，
由2k+2＞1得k＞﹣1，
∴﹣1＜k＜1．
综上，当k＞1或﹣1＜k＜1时，函数值y总大于1．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分