山东省菏泽市牡丹区胡集中学2024年九上数学开学学业水平测试模拟试题【含答案】

这是一份山东省菏泽市牡丹区胡集中学2024年九上数学开学学业水平测试模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：一根竹子高丈（丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处，折断处离地面的高度是多少？（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图所示，四边形OABC是矩形，△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．△ADE的面积为，且AB＝DE，则k值为（ ）
A．18B．C．D．16
3、（4分）周长为的正方形对角线的长是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）测试5位学生“一分钟跳绳”成绩，得到5个各不相同的数据.在统计时，出现了一处错误：将最高成绩120个写成了180个。以下统计量不受影响的是（ ）
A．方差B．标准差C．平均数D．中位数
5、（4分）一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6、（4分）在▱ABCD中，∠C=32°，则∠A的度数为（ ）
A．148°B．128°C．138°D．32°
7、（4分）已知数据：2，﹣1，3，5，6，5，则这组数据的众数和极差分别是（ ）
A．5和7B．6和7C．5和3D．6和3
8、（4分）如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为( )
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在平面直角坐标系中，已知点P（x，0），A（a，0），设线段PA的长为y，写出y关于x的函数的解析式为___，若其函数的图象与直线y＝2相交，交点的横坐标m满足﹣5≤m≤3，则a的取值范围是___．
10、（4分）分解因式：___________．
11、（4分）已知边长为5cm的菱形，一条对角线长为6cm，则另一条对角线的长为________cm．
12、（4分）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、.已知，，，的长为_______．
13、（4分）对于反比例函数，当时，其对应的值、、的大小关系是______．（用“”连接）
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）化简：（）÷并解答：
（1）当x=1+时，求原代数式的值；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
15、（8分）某校要从王同学和李同学中挑选一人参加县知识竞赛在五次选拔测试中他俩的成绩如下表．
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上（含80分）的成绩视为优秀，则王同学、李同学在这五次测试中的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
16、（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，且BC=2AF。
（1）求证：四边形ADEF为矩形；
（2）若∠C=30°、AF=2，写出矩形ADEF的周长。
17、（10分）先阅读材料：
分解因式：．
解：令，
则
所以．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：__________；
（2）分解因式：；
（3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
18、（10分）计算：
（1）（-）2-+
（2）-×．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，已知函数y=2x和函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则k=_____，满足条件的P点坐标是_________________．
20、（4分）函数y=-6x+8的图象，可以看作由直线y=-6x向_____平移_____个单位长度而得到．
21、（4分）在平面直角坐标系中，一次函数(、为常数，)的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于的方程的解为____.
22、（4分）化简:=______________
23、（4分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠EBD=________ ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM．
（1）求证：AO＝CM；
（2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．
25、（10分）如图，在中，点为边的中点，点在内，平分点在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）线段之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．
26、（12分）如图，AD=CB,AB=CD，求证：△ACB≌△CAD
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x，则AB=10－x，AC=x，BC=6，进而根据勾股定理建立方程求解即可.
【详解】
根据题意可得如下图形：
设折断处A离地面的高度为x，则AB=10－x，AC=x，BC=6，
∴，
解得：，
故选：A.
本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关公式是解题关键.
2、B
【解析】
设B（m，5），则E（m+3，3），因为B、E在y＝上，则有5m＝3m+9＝k，由此即可解决问题；
【详解】
解：∵△ADE是等腰直角三角形，面积为，
∴AD＝DE＝3，
∵AB＝DE，
∴AB＝5，设B（m，5），则E（m+3，3），
∵B、E在y＝上，
则有5m＝3m+9＝k
∴m＝，
∴k＝5m＝.
故选B．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
3、D
【解析】
先根据正方形的性质得到正方形的边长为1cm，然后根据勾股定理得到正方形对角线的长．
【详解】
解：∵正方形的周长为4cm，
∴正方形的边长为1cm，
∴正方形的对角线的长为=cm．
故选：D．
本题考查了正方形的性质和勾股定理，根据正方形的四条边相等得出直角三角形的两直角边长是解决此题的关键．
4、D
【解析】
根据方差，平均数，标准差和中位数的定义和计算方法可得答案.
【详解】
解： 在方差和标准差的计算过程中都需要用到数据的平均数，C选项又是平均数，也就是说四个选项有三个跟平均数有关，而平均数的大小和每个数据都有关系，一旦某个数据改变了，平均数肯定会随之改变，而中位数是整组数据从小到大排列后取其中间的数（偶数个数据时取最中间2数的平均数）作为中位数，该事件中虽然最大数120变为180.但并不影响中间数的大小和位置，所以综上所述，不受影响的应该是中位数.
故选：D．
本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握各统计量的定义和计算方法．
5、C
【解析】
根据函数的增减性及解析式判断函数图象所经过的象限即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，∴k＜0，
∵1＞0，∴函数图象经过一、二、四象限．
故选C．
首先能够根据待定系数法正确求出直线的解析式．在直线y=kx+b中，
当k＞0，b＞0时，函数图象过一、二、三象限，y随x增大而增大；
当k＞0，b＜0时，函数图象过一、三、四象限，y随x增大而增大；
当k＜0，b＞0时，函数图象过一、二、四象限，y随x增大而减小；
当k＜0，b＜0时，函数图象过二、三、四象限，y随x增大而减小．
6、D
【解析】
根据平行四边形的性质：对角相等即可求出的度数.
【详解】
四边形是平行四边形，
，
，
.
故选：.
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等.
7、A
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数；极差就是这组数中最大值与最小值的差．
【详解】
解：这组数据的众数是5；
极差是：；
故选：A．
考查了众数和极差的概念．众数是一组数据中出现次数最多的数；极差就是这组数中最大值与最小值的差．
8、C
【解析】
如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【详解】
解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y＝|x﹣a| ﹣3≤a≤1
【解析】
根据线段长求出函数解析式即可，函数图象与直线y＝2相交时，把x用含有a的代数式表示出来，根据横坐标m的取值范围求出a的取值范围即可.
【详解】
解：∵点P（x，0），A（a，0），
∴PA＝|x﹣a|
∴y关于x的函数的解析式为y＝|x﹣a|
∵y＝|x﹣a|的图象与直线y＝2相交
∴|x﹣a|＝2
∴x＝2+a或x＝﹣2+a
∵交点的横坐标m满足﹣5≤m≤3
∴2+a≤3，﹣2+a≥﹣5
∴﹣3≤a≤1
故答案为y＝|x﹣a|，﹣3≤a≤1.
本题考查根据题意列函数解析式，利用数形结合的思想得到a的取值范围是解题关键.
10、ab（a+b）（a﹣b）．
【解析】
分析：先提公因式ab，再把剩余部分用平方差公式分解即可.
详解：a3b﹣ab3，=ab（a2﹣b2），=ab（a+b）（a﹣b）．
点睛：此题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，分解因式掌握一提二用，即先提公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解.
11、8
【解析】
根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是1．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是4，则另一条对角线的长是8.
【详解】
解：在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，
因为对角线互相垂直平分，
所以∠AOB=90°，AO=1，
在RT△AOB中，BO=，
∴BD=2BO=8.
注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．
12、
【解析】
根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，即，
解得，EF＝，
故答案为：．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13、
【解析】
根据反比例函数的性质，图形位于第一、三象限，并且随着的增大而减小，再根据，即可比较、、的大小关系．
【详解】
解：根据反比例函数的性质，图形位于第一、三象限，并且随着的增大而减小，而，则，而，则，
故答案为．
本题考查反比例函数，难度不大，是中考的常考知识点，熟记反比例函数的性质是顺利解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）+1（2）不能
【解析】
将原式进行化简可得出原式=．
（1）代入x=1+，即可求出原式的值；
（2）令原式等于﹣1，可求出x=0，由原式中除数不能为零，可得出原代数式的值不能等于﹣1．
【详解】
解：原式=[﹣]•=（﹣）••．
（1）当x=1+时，原式==+1．
（2）不能，理由如下：
解=﹣1，得：x=0，
∵当x=0时，原式中除数=0，∴原代数式的值不能等于﹣1．
本题考查了分式的化简求值，将原式化简为是解题的关键．
15、（1）见解析（2）小李（3）李同学
【解析】
（1）根据平均数、中位数、众数、方差、极差的概念求得相关的数；
（2）方差反映数据的离散程度，所以方差越小越稳定，因此小李的成绩稳定；用优秀的次数除以测验的总次数即可求出优秀率；
（3）选谁参加比赛的答案不唯一，小李的成绩稳定，所以获奖的几率大；小王的95分以上的成绩好，则小王获一等奖的机会大．
【详解】
（1）
（2）在这五次考试中，成绩比较稳定的是小李，
小王的优秀率＝×100%＝40%，小李的优秀率＝×100%＝80%；
（3）我选李同学去参加比赛，因为李同学的优秀率高，有4次得80分以上，成绩比较稳定，获奖机会大．
本题考查了方差、中位数及众数的知识，属于基础题，一些同学对方差的公式记不准确或粗心而出现错误．
16、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAC=∠FEC=90°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）连接DE，
∵E、F分别是AC，BC中点
∴EF//AB,EF=AB
∵点D是AB中点
∴AD=AB,AD=EF
∴四边形ADFE为平行四边形
∵点D、E分别为AB、AC中点
∴DE=BC,
∵BC=2AF
∴DE=AF
∴四边形ADEF为矩形.
（2）∵四边形ADFE是矩形，
∴∠BAC=∠FEC=90°，
∵AF=2，F为BC中点，
∴BC=4，CF=2，
∵∠C=30°
∴AC=，CE=，EF=1，
∴AE=
∴矩形ADEF的周长为；
本题考查三角形中位线定理及应用，矩形的判定和性质，学生应熟练掌握以上定理即可解题.
17、（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
（1）令，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（2）令，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（3）根据多项式乘多项式法则和完全平方公式因式分解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）令，
则
所以．
（2）令，
则
，
所以．
（3）
．
∵是正整数，
∴也为正整数．
∴式子的值一定是某一个整数的平方．
此题考查的是因式分解，掌握利用“整体思想”和完全平方公式因式分解是解决此题的关键．
18、（1）1．（2）．
【解析】
1）先根据二次根式的性质化简，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后合并即可．
【详解】
解：（1）原式=6-5+3=1；
（2）原式=
=
=．
考点：二次根式的混合运算．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、8 P1（0，-4），P2（-4，-4），P3（4，4）
【解析】
解：如图
∵△AOE的面积为4，函数y=的图象过一、三象限，
∴S△AOE=•OE•AE=4，
∴OE•AE=8，
∴xy=8，
∴k=8，
∵函数y=2x和函数y=的图象交于A、B两点，
∴2x=，
∴x=±2，
当x=2时，y=4，当x=-2时，y=-4，
∴A、B两点的坐标是：（2，4）（-2，-4），
∵以点B、O、E、P为顶点的平行四边形共有3个，
∴满足条件的P点有3个，分别为：
P1（0，-4），P2（-4，-4），P3（4，4）．
故答案为：8；P1（0，-4），P2（-4，-4），P3（4，4）．
本题考查反比例函数综合题．
20、上 1
【解析】
根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
【详解】
解：函数的图象是由直线向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：上，1．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．
21、x=-2
【解析】
首先根据图像中的信息，可得该一次函数图像经过点（-2,3）和点（0,1），代入即可求得函数解析式，方程即可得解.
【详解】
解：由已知条件，可得图像经过点（-2,3）和点（0,1），代入，得
解得
即方程为
解得
此题主要考查利用一次函数图像的信息求解析式，然后求解一元一次方程，熟练运用，即可解题.
22、
【解析】
分析：把分式进行化简就是对分式进行约分，首先要对分子、分母进行分解因式，然后约分．
详解：原式==．
故答案为：．
点睛：分式进行约分时，应先把分子、分母中的多项式进行分解因式，正确分解因式是掌握约分的关键．
23、30°
【解析】
分析：判断△ABE是顶角为150°的等腰三角形，求出∠EBA的度数后即可求解.
详解：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝45°.
因为△ADE是等边三角形，所以AD＝AE，∠DAE＝60°，
所以AB＝AE，∠BAE＝150°，所以∠EBA＝(180°－150°)＝15°，
所以∠EBD＝∠ABD－∠EBA＝45°－15°＝30°.
故答案为30°.
点睛：本题考查了正方形和等边三角形的性质，正方形的四边都相等，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析 （2）直角三角形，证明见解析
【解析】
（1）根据“BO绕点B顺时针旋转60°到BM”可知∠OBM=60°，OB=OM，即可证明△AOB≌△CMB，从而得到答案；
（2）由（1）可知AO=CM，根据OB=BM，∠OBM=60°，可知△OBM为等边三角形，从而得到OB=OM，根据勾股定理的逆定理即可得到答案.
【详解】
（1）证明：∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM
∴∠OBM＝60°，OB＝BM，
∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB=CB
∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60°
∴∠ABO＝∠CBM，
在△AOB和△CMB中，
∴△AOB≌△CMB（SAS），
∴AO＝CM．
（2）△OMC是直角三角形；理由如下：
∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM
∴∠OBM＝60°，OB＝BM，
∴△OBM为等边三角形
∴OB=OM=10
由（1）可知OA=CM=8
在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100，
∴OM2＝OC2+CM2，
∴△OMC是直角三角形．
本题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和勾股定理的逆定理，能够利用全等三角形的性质与判定得出对应边和用勾股定理逆定理判定三角形的形状是解题的关键.
25、（1）见详解；（2）,证明见详解.
【解析】
（1）延长CE交AB于点G，证明，可得，结合题目条件利用中位线中的平行即可求证；
（2）根据已知条件易得，根据全等可得，从而得到之间的数量关系.
【详解】
（1）延长CE交AB于点G，如图所示：
∵平分
∴
在中
∵点为边的中点
∴
∴DE为的中位线
∴
∵
∴四边形是平行四边形
（2）∵四边形是平行四边形
∴
∵D、E分别是BC、GC的中点
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质，中位线的性质等知识点，解题的关键在于判断四边形是平行四边形，DE为的中位线，，从而可解此题.
26、见解析
【解析】
利用SSS即可证明.
【详解】
证明：在△ACB与△CAD中
∴△ACB≌△CAD（SSS）
本题考查的是全等三角形的判定，能够根据SSS证明三角形全等是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
王同学
60
75
100
90
75
李同学
70
90
100
80
80
姓名
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
王同学
80
75
75
_____
李同学




姓名
平均成绩（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
王同学
80
75
75
190
李同学
84
80
80
104