山东省威海市2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份山东省威海市2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=50°，则∠C的值是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
2、（4分）在数轴上表示不等式x≥-2的解集 正确的是( )
A．B．
C．D．
3、（4分）一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
4、（4分）点（2，﹣4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）
5、（4分）某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，1．这组数据的众数和中位数分别是（ ）．
A．50，20B．50，30C．50，50D．1，50
6、（4分）若a,b,c满足则关于x的方程的解是( )
A．1，0B．-1，0C．1，-1D．无实数根
7、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）
A．6B．5C．2D．3
8、（4分）如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，已知，点在边上，.过点作于点，以为一边在内作等边，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点.设，，则最大值是_______.
10、（4分）不等式的正整数解是______．
11、（4分）某品牌运动服原来每件售价640元，经过两次降价，售价降低了280元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_____．
12、（4分）一个正方形的面积为4，则其对角线的长为________.
13、（4分）将函数y＝的图象向上平移_____个单位后，所得图象经过点（0，1）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在中，，是边上的中线，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）如图1，求证：
（2）如图2，若，其它条件不变，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
15、（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．请你经过观察、猜测线段FC、AE、EF之间是否存在一定的数量关系？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
16、（8分）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．
17、（10分）为选拔优秀选手参加瑶海区第八届德育文化艺术节“诵经典”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示
（1）根据图示填写下表
（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
（3）计算两班复赛成绩的方差，并说明哪个班五名选手的成绩较稳定．
18、（10分） (1)计算：；
(2)解方程：.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
20、（4分）如图，F是△ABC内一点，BF平分∠ABC且AF⊥BF，E是AC中点，AB=6，BC=8，则EF的长等于____．
21、（4分）若关于的方程有增根，则的值是___________.
22、（4分）计算_________.
23、（4分）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知直线y＝+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90、点P(x、y)为线段BC上一个动点(点P不与B、C重合)，设△OPA的面积为S。
（1）求点C的坐标;
（2）求S关于x的函数解析式，并写出x的的取值范围;
（3）△OPA的面积能于吗，如果能，求出此时点P坐标，如果不能，说明理由.
25、（10分）如图，等边△ABC的边长6cm．①求高AD；②求△ABC的面积．
26、（12分）如图，直线交x轴于点A，直线CD与直线相交于点B，与x轴y轴分别交于点C，点D，已知点B的横坐标为，点D的坐标为.
（1）求直线CD的解析式；（2）求的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
连接OA、OB，由已知的PA、PB与圆O分别相切于点A、B，根据切线的性质得到OA⊥AP，OB⊥PB，从而得到∠OAP=∠OBP=90°，然后由已知的∠P的度数，根据四边形的内角和为360°，求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半即可得到∠C的度数．
【详解】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
又∵∠ACB和∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠C=∠AOB=×130°=65°．
故选：D．
此题考查了切线的性质，以及圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，同时要求学生掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
2、D
【解析】
根据在数轴上表示不等式解集的方法利用排除法进行解答．
【详解】
∵不等式x⩾−2中包含等于号，
∴必须用实心圆点，
∴可排除A. C，
∵不等式x⩾−2中是大于等于，
∴折线应向右折，
∴可排除B.
故选：D.
此题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握数轴的表示方法
3、C
【解析】
由图象可知，直线与x轴相交于（1，0），当y＞0时，x＜1．
故答案为x＜1．
4、D
【解析】
∵点（2，-4）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×（-4）=-1．
∵A中2×4=1；B中-1×（-1）=1；C中-2×（-4）=1；D中4×（-2）=-1，
∴点（4，-2）在反比例函数y=的图象上．
故选D．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键．
5、C
【解析】
根据众数和中位数的定义进行计算即可．
【详解】
众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2；
将这组数据从小到大的顺序排列为：20，25，30，2，2，2，1，处于中间位置的那个数是2，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．
故选：C．
本题考查众数和中位数，明确众数和中位数的概念是关键．
6、C
【解析】
【分析】由方程组得到a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.
【详解】因为a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0,
联立两式①+②得a+c=0, 即a=-c,b=0,
代入ax²+bx+c=0
得：ax²-a=0
解得x=1或x=-1
故选：C
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程.解题关键点：由方程组推出a,b,c的特殊关系.
7、C
【解析】
由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AE=3，即可求得AB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB=，
故选C．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．
8、D
【解析】
试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．
故选D．
考点：旋转的性质．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
过P作PH⊥OY于点H，构建含30°角的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，由∠EPH=30°，可得EH的长，从而可得a+2b与OH的关系，确认OH取最大值时点H的位置，可得结论.
【详解】
解：过P作PH⊥OY于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（）=2(EH+EO)=2OH，
∴当P在点B处时，OH的值最大，
此时，OC=OA=1，AC==BC，CH=，
∴OH=OC+CH=1+=，此时a+2b的最大值=2×=5.
故答案为5.
本题考查了等边三角形的性质、30°的直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质，掌握求a+2b的最大值就是确定OH的最大值，即可解决问题.
10、1和2.
【解析】
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【详解】
去分母得,2(x+4) >3(3x−1)-6，
去括号得，2x+8>9x-3-6，
移项得，2x−9x>-3-6−8，
合并同类项得，−7x>−17，
把x的系数化为1得,x< .
故它的正整数解为：1和2.
此题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，解题关键在于掌握运算法则
11、25% ．
【解析】
设每次降价的百分率为x，根据题意可得，640×（1-降价的百分率）2=（640-280），据此方程解答即可.
【详解】
设每次降价的百分率为x
由题意得：
解得：x=0.25
答：每次降低的百分率是25%
故答案为：25%
本题考查一元二次方程的应用，属于典型题，审清题意，列出方程是解题关键.
12、
【解析】
已知正方形的面积，可以求出正方形的边长，根据正方形的边长可以求出正方形的对角线长．
【详解】
如图，
∵正方形ABCD面积为4，
∴正方形ABCD的边长AB==2，
根据勾股定理计算BD=．
故答案为：．
本题考查了正方形面积的计算，考查了勾股定理的运用，计算正方形的边长是解题的关键．
13、3
【解析】
根据一次函数平移“上加下减”，即可求出.
【详解】
解：函数y＝的图象与y轴的交点坐标是(0，-2)，
图象需要向上平移1-(-2)=3个单位才能经过点(0，1).
故答案为：3.
本题考查了一次函数的平移，将直线的平移转化成点的平移是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）四边形为正方形，见解析
【解析】
（1）先证明得到AF=DB，于是可证；
（2）先证明四边形是平行四边形，再加一组邻边相等证明它是菱形，最后利用等腰三角形三线合一的性质证明有一个直角,从而证明它是正方形.
【详解】
（1）证明：∵是的中点
，
，
，
又，
，
，
是边上的中线 ，
，
；
（2）解：四边形为正方形，理由如下：
由（1）得，
又，
∴四边形为平行四边形，
在中，
是边上的中线，
，
∴四边形为菱形，
，是边上的中线，
∴四边形为正方形.
本题考查了正方形的判定，涉及的知识点有直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定、平行四边形及菱形、正方形的判定，掌握相关性质定理进行推理论证是解题关键.
15、AE=FC+EF，证明见解析.
【解析】
分析：用AAS证明△AED≌△DFC，根据全等三角形有对应边相等得，AE＝DF，DE＝CF.
详解：AE＝FC＋EF，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90度．
又∵AE⊥DG，CF∥AE，
∴∠AED＝∠DFC＝90°，∴∠EAD＋∠ADE＝∠FDC＋∠ADE＝90°，
∴∠EAD＝∠FDC．
∴△AED≌△DFC(AAS)．∴AE＝DF，ED＝FC．
∵DF＝DE＋EF，
∴AE＝FC＋EF．
点睛：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，所以正方形中的线段之间的关系常用全等三角形来解决.
16、（1）y=﹣2x+1（2）18元
【解析】
（1）由图象可知y与x是一次函数关系，由函数图象过点（11，10）和（15，2），用待定系数法即可求得y与x的函数关系式．
（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这种商品所获得的利润．
【详解】
解：（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，
，解得
∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=﹣2x+1．
（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：
W=（﹣2×13+1）（13﹣10）=18
17、（1）
（2）九（1）班成绩好些；
（3）九（1）班五名选手的成绩较稳定．
【解析】
（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：（可简单记忆为“等于差方的平均数”）．
【详解】
解：（1）由图可知九（1）班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
∴九（1）的中位数为85，
把九（2）的成绩按从小到大的顺序排列为：70、75、80、100、100，
∴九（2）的平均数为（70+75+80+100+100）÷5＝85，
九（2）班的众数是100；
（2）九（1）班成绩好些．因为九（1）班的中位数高，所以九（1）班成绩好些．
（3）[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，
[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝1．
∵，
∴九（1）班五名选手的成绩较稳定．
本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．
18、 (1)；(2)，
【解析】
见详解.
【详解】
解：(1)
(2)，，
本题考查平方根的化简，要熟练掌握平方差公式.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、x≥﹣2且x≠1
【解析】
分析：
根据使分式和二次根式有意义的条件进行分析解答即可.
详解：
∵要使y=有意义，
∴ ，解得：且.
故答案为：且.
点睛：熟记：“二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数；分式有意义的条件是：分母的值不为0”是正确解答本题的关键.
20、1.
【解析】
根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=4，由EF=DE-DF可得答案．
【详解】
∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=6，D为AB中点，
∴DF=AB=AD=BD=3，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即
解得：DE=4，
∴EF=DE-DF=1，
故答案为：1．
本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
21、1
【解析】
解：方程两边都乘（x﹣2），得：x﹣1=m．∵方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，即增根是x=2，把x=2代入整式方程，得m=1．故答案为：1．
点睛：本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
22、19+6
【解析】
根据完全平方公式展开计算即可。
【详解】
解：18+6+1=19+6
本题考查了用完全平方公式进行实数的计算，理解和掌握乘法公式是关键。
23、1
【解析】
试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有1对全等三角形，
故答案为1．
考点：角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）（4，3）；（2）S=， 0＜x＜4;（3）不存在.
【解析】
（1）直线y＝+1与x轴、y轴分别交于点A、B，可得点A、B的坐标，过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，易证△AOB≌△CHA，从而得到AH=OB、CH=AO，就可得到点C的坐标；
（2）易求直线BC解析式，过P点作PG垂直x轴，由△OPA的面积=即可求出S关于x的函数解析式.
（3）当S=求出对应的x即可.
【详解】
解：（1）∵直线y＝+1与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A点（3，0），B点为（0，1），
如图：过点C作CH⊥x轴于点H，
则∠AHC=90°．
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°，
∴∠OAB=180°-90°-∠HAC=90°-∠HAC=∠HCA．
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO=CH=3，OB=HA=1，
∴OH=OA+AH=4
∴点C的坐标为（4，3）；
（2）设直线BC解析式为y=kx+b，由B（0，1），C（4，3）得：
，解得，
∴直线BC解析式为，
过P点作PG垂直x轴，△OPA的面积=,
∵PG=，OA=3，
∴S==；
点P(x、y)为线段BC上一个动点(点P不与B、C重合)，
∴0＜x＜4.
∴S关于x的函数解析式为S=， x的的取值范围是0＜x＜4;
（3）当s=时，即，解得x=4，不合题意，故P点不存在.
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，构造全等三角形是解决第（1）小题的关键．
25、（1）
（2）
【解析】
本题考查了等边三角形的性质和勾股定理.①中，运用等腰三角形的三线合一和勾股定理；②中，根据三角形的面积公式进行计算即可．
26、（1）；（2）.
【解析】
（1）由直线解析式y=x+4及点B横坐标，求出点B纵坐标，再用待定系数法求出直线CD的解析式；
（2）由直线y=x+4和直线y=2x-3分别求出点A，C的坐标，进一步求出线段AC的长度，再通过点B的纵坐标即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：（1）中，当时，
∴
∵点D的坐标为
设CD的解析式为
∴ ∴，
∴CD的解析式为
（2）中，当时，，∴
直线中，当时，，∴
∴
∴
本题考查了一次函数上的点的求法，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积等，解题关键是能够熟练掌握一次函数图象上的点的求法．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85

85
九（2）

80

班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
九（1）
85
85
85
九（2）
85
80
100