山东省菏泽市牡丹区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份山东省菏泽市牡丹区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列几个数中，属于无理数的是（ ）
A．B．2C．0D．
2．（3分）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．5，6，9C．5，12，13D．8，10，13
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．＝3B．＝±5C．+＝D．3+2＝5
4．（3分）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为（ ）
A．米B．米C．（+1）米D．3米
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（3分）平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，﹣2）的对称轴是（ ）
A．x轴B．y轴C．直线y＝4D．直线x＝﹣1
7．（3分）下列一次函数中，y随着x增大而减小的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x﹣2C．y＝3+2xD．y＝﹣3x﹣2
8．（3分）如图，过点A的一次函数图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的关系式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝x﹣3D．y＝﹣x+3
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）的立方根是 ．
10．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣1），则k的值是 ．
11．（3分）直角三角形两边长分别为5和12，则斜边上的高为 ．
12．（3分）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的x＝64时，输出的y等于 ．
13．（3分）如图，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为 ．
14．（3分）已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象与直线y＝x平行．请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式： ．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16．（6分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3cm，AC＝4cm，∠BAC＝90°，CD＝12cm，BD＝13cm，
（1）试说明：∠BCD＝90°；
（2）计算四边形ABCD的面积．
17．（6分）若，求a+b的平方根及c2的值．
18．（6分）长方形ABCD的长与宽分别是12、8，请建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
19．（8分）△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）分别写出A、B、C的坐标；
（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，并写出B1的坐标；
（3）请在这个坐标系内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于原点对称，并写出A2的坐标．
20．（6分）如图是某一次函数的图象，该图象经过点（0，2），（﹣3，0），请确定该函数的表达式．
21．（8分）如图，已知等腰△ABC的周长是16，底边BC上的高AD的长是4，求这个三角形各边的长．
22．（8分）一次函数y＝k1x﹣4与正比例函数y＝k2x的图象经过点（2，﹣1）．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积．
23．（9分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：＝＝＝＝﹣1；
例2：，＝﹣，．
（1）＝ ；＝ ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 ；
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．（+++…+）÷2．
24．（9分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100台，这两种台灯的进价、售价如下表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定A型台灯的进货数量在25～40台之间，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
2024-2025学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列几个数中，属于无理数的是（ ）
A．B．2C．0D．
【分析】由于无理数是开不尽方的数，或者无限不循环小数为无理数，由此即可判定选择项．
【解答】解：2，0，是有理数；
开方开不尽故是无理数．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，或者无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．5，6，9C．5，12，13D．8，10，13
【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、52+62≠92，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、52+122＝132，能构成直角三角形，故选项正确；
D、82+102≠132，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．＝3B．＝±5C．+＝D．3+2＝5
【分析】有理数的乘方、算术平方根的定义以及实数的加法法则计算即可．
【解答】解：A、＝＝3，故A正确；
B、＝5，故B错误；
C、与不能合并，故C错误；
D、3与2不能合并，故D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
4．（3分）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为（ ）
A．米B．米C．（+1）米D．3米
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【解答】解：Rt△ABC中，AC＝1米，AB＝2米；
由勾股定理，得：BC＝＝米；
∴树的高度为：AC+BC＝（+1）米；
故选：C．
【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，3）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】应先判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．
【解答】解：因为点P（﹣1，3）的横坐标是负数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第二象限．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
6．（3分）平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，﹣2）的对称轴是（ ）
A．x轴B．y轴C．直线y＝4D．直线x＝﹣1
【分析】观察两坐标的特点，发现横坐标相同，所以对称轴为平行于y轴的直线，即y＝纵坐标的平均数．
【解答】解：∵点A（﹣1，2）和点B（﹣1，﹣2）对称，
∴AB平行于y轴，
∴对称轴是直线y＝（﹣2+2）＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣轴对称；解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标或利用对应点的坐标求得对称轴．
7．（3分）下列一次函数中，y随着x增大而减小的是（ ）
A．y＝3xB．y＝3x﹣2C．y＝3+2xD．y＝﹣3x﹣2
【分析】由一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵y＝kx+b中，k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8．（3分）如图，过点A的一次函数图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点B，则这个一次函数的关系式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝x﹣3D．y＝﹣x+3
【分析】根据函数图象确定A点和B点的坐标，代入一次函数解析式，即可求出．
【解答】解：∵把x＝1代入y＝2x得，y＝2，
∴点B（1，2），
设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），B（1，2），
∴，
解得，
则这个一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，要注意利用一次函数的特点，来列出方程组，求出未知数，写出解析式．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）的立方根是 ．
【分析】根据立方根的定义即可得出答案．
【解答】解：的立方根是；
故答案为：．
【点评】此题考查了立方根，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方，由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
10．（3分）正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣1），则k的值是 ﹣1 ．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣1），代入解析式，解之即可求得k．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（1，﹣1），
∴﹣1＝k，
解得：k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查一次函数的点的坐标问题，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
11．（3分）直角三角形两边长分别为5和12，则斜边上的高为 或 ．
【分析】根据勾股定理求出第三条边的长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
【解答】解：当直角三角形的两直角边长分别为5和12时，
∴斜边长＝，
∴斜边的高＝．
当直角三角形的斜边为12时，
∴直角三角形的另一个直角边长为＝，
∴斜边的高＝．
故答案为：或．
【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12．（3分）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的x＝64时，输出的y等于 ．
【分析】根据数值转换器规定的运算法则依次计算即可．
【解答】解：当输入的x＝64时，，4是有理数，，
当输入的x＝2时，y＝，是无理数，即输出y，
故答案为：．
【点评】本题考查了代数式求值，立方根，算术平方根，无理数，有理数，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
13．（3分）如图，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为 （2，﹣2） ．
【分析】先求出A点的坐标，然后关于x轴对称x不变，y变为相反数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴过A点作BC的垂线交于BC中点D，则D点坐标为（2，0）．
运用勾股定理得AD＝4×sin60°＝2．
∴A的坐标是（2，2）．
又因为关于x轴对称，所以可得答案为（2，﹣2）．
【点评】考查点的坐标的确定及对称点的坐标的确定方法．
14．（3分）已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象与直线y＝x平行．请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数关系式： y＝x﹣1 ．
【分析】根据一次函数与系数的关系得k＞0，b≤0，再利用两直线平行的问题得k＝1，然后令b＝﹣1写出一个满足条件的函数关系式．
【解答】解：设直线解析式为y＝kx+b，
∵图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∵图象与直线y＝x平行，
∴k＝1，
∴当b取﹣1时，解析式为y＝x﹣1．
故答案为y＝x﹣1．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【分析】（1）根据二次根式化简即可；
（2）根据二次根式的乘法法则运算；
（3）根据二次根式的乘法法则和除法运算；
（4）根据二次根式的除法法则运算；
（5）根据平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝3；
（2）原式＝××
＝8×2×
＝16；
（3）原式＝
＝3；
（4）原式＝+
＝2+3
＝5；
（5）原式＝﹣
＝3﹣2
＝1；
（6）原式＝3﹣2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则和乘法公式是解决问题的关键．
16．（6分）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝3cm，AC＝4cm，∠BAC＝90°，CD＝12cm，BD＝13cm，
（1）试说明：∠BCD＝90°；
（2）计算四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求出BC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BCD＝90°即可．
（2）将四边形ABCD的面积转化为直角三角ABC和直角三角形BCD的面积的和解答．
【解答】解：（1）∵AB＝3cm，AC＝4cm，∠BAC＝90°，
∴由勾股定理得BC＝＝5cm，
∴BC＝5cm，
又∵CD＝12cm，BD＝13cm，BC＝5cm，
BD2＝BC2+CD2，
∴∠BCD＝90°；
（2）∵△ABC为直角三角形，
△BCD为直角三角形，
∴S四边形＝3×4×+5×12×＝36cm2．
【点评】本题主要考查勾股定理及逆定理的应用以及三角形的面积的求解，熟悉图形特征方可正确解答．
17．（6分）若，求a+b的平方根及c2的值．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据开方运算，可得平方根；根据乘方的意义，可得幂．
【解答】解：由+|b﹣1|+（c﹣）2＝0，得
3a﹣6＝0，b﹣1＝0，c﹣＝0．
解得a＝2，b＝1，c＝，
所以＝；
c2＝（）2＝3．
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
18．（6分）长方形ABCD的长与宽分别是12、8，请建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．
【分析】以点C为坐标原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，然后根据CD＝12，CB＝8可得出各顶点的坐标，同理以点A，B，D为坐标原点，分别以长方形的边所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系，然后根据CD＝12，CB＝8可得出各顶点的坐标，因此答案不唯一．
【解答】解：以点C为坐标原点，分别以CD、CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，如图所示：
此时点C的坐标是（0，0）．
∵CD＝12，CB＝8，
∴点D的坐标是（12，0），点B的坐标是（0，8），点A的坐标是（12，8）．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标，矩形的性质，熟练掌握平面直角坐标系，点的坐标，矩形的性质是解决问题的关键．
19．（8分）△ABC在直角坐标系内的位置如图所示．
（1）分别写出A、B、C的坐标；
（2）请在这个坐标系内画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，并写出B1的坐标；
（3）请在这个坐标系内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于原点对称，并写出A2的坐标．
【分析】（1）观察平面直角坐标系，根据点与坐标系的关系，即可求得A、B、C的坐标；
（2）根据关于y轴对称的图形的特点，首先求得各对称点的坐标，继而画出△A1B1C1；
（3）根据关于原点对称的图形的特点，首先求得各对称点的坐标，继而画出△A2B2C2．
【解答】解：（1）A（0，3）；B（﹣4，4）；C（﹣2，1）；
（2）如图：B1的坐标为：（4，4）；
（3）如图：A2（0，﹣3）．
【点评】此题考查了轴对称变换与关于原点对称的图形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（6分）如图是某一次函数的图象，该图象经过点（0，2），（﹣3，0），请确定该函数的表达式．
【分析】利用待定系数法即可得到该函数的表达式．
【解答】解：设y＝kx+b（k≠0），
∴图象经过点（0，2），（﹣3，0），
∴，
解得，
∴函数表达式为y＝x+2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．
21．（8分）如图，已知等腰△ABC的周长是16，底边BC上的高AD的长是4，求这个三角形各边的长．
【分析】设BD为x．则根据等腰三角形的周长公式可以求得腰长为（8﹣x）．然后由等腰三角形“三合一”的性质、勾股定理可以列出关于x的方程（8﹣x）2＝x2+42，通过解方程可以求得x＝3，问题得解．
【解答】解：设BD＝x，由等腰三角形的性质，知AB＝8﹣x
由勾股定理，得利用勾股定理：（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
所以AB＝AC＝5，BC＝6
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质．解题时，利用了等腰三角形的高线、中线重合的性质．
22．（8分）一次函数y＝k1x﹣4与正比例函数y＝k2x的图象经过点（2，﹣1）．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）运用待定系数法分别求出两个函数的表达式；
（2）根据函数的解析式求出函数y＝x﹣4与x轴的交点，又已知两图象都经过点（2，﹣1），画出图形，计算三角形的面积．
【解答】解：（1）把点（2，﹣1）代入y＝k1x﹣4
得：2k1﹣4＝﹣1，
解得：k1＝，
所以解析式为：y＝x﹣4；
把点（2，﹣1）代入y＝k2x
得：2k2＝﹣1，
解得：k2＝﹣，
所以解析式为：y＝﹣x；
（2）因为函数y＝x﹣4与x轴的交点是（，0），且两图象都经过点（2，﹣1），
所以这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积是：S＝××1＝．
【点评】本题考查正比例函数和一次函数的知识．关键是先求出函数的解析式，再结合图形求三角形的面积．
23．（9分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：＝＝＝＝﹣1；
例2：，＝﹣，．
（1）＝ ﹣ ；＝ 10﹣3 ；
（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律 ＝﹣ ；
（3）利用上面的结论，求下列式子的值．（+++…+）÷2．
【分析】（1）根据例题即可得到结论；
（2）根据题中给出的式子找出规律，根据此规律即可得出结论；
（3）根据（2）的结论计算即可．
【解答】解：（1）填空：＝﹣； ＝10﹣3．
故答案为：﹣，10﹣3；
（2）请你用含 n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：＝﹣；
故答案为：＝﹣；
（3）+++…+＝﹣1+﹣+﹣…+＝10﹣1＝9．
【点评】本题考查的是分母有理化，根据题中给出的例子找出规律是解答此题的关键．
24．（9分）某商场计划购进A、B两种新型节能台灯共100台，这两种台灯的进价、售价如下表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定A型台灯的进货数量在25～40台之间，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【解答】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，
根据题意得，30x+50（100﹣x）＝3500，
解得x＝75，
所以，100﹣75＝25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），
＝15x+2000﹣20x，
＝﹣5x+2000，
即y＝﹣5x+2000，
∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又25≤x≤40，
∴x＝25时，y取得最大值，此时利润为﹣5×25+2000＝1875元．
答：商场购进A型台灯35盏，B型台灯65盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程等知识，解题的关键是学会根据一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．
类型
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
类型
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70