2019-2020学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市红桥区九年级上学期数学期中试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中是二次函数的是（ ）
A. y＝﹣2xB. y＝﹣C. y＝1﹣3x2D. y＝x+3
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案．
【详解】解：A、y＝﹣2x，是正比例函数，不合题意；
B、y＝﹣，是反比例函数，不合题意；
C、y＝1﹣3x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝x+3，是一次函数，不合题意；
故选C．
【点睛】此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
3. 已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A. −2B. 2C. −4D. 4
【答案】B
【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，则∠BOC等于（ ）
A. 105°B. 110°C. 115°D. 125°
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠OCA＝55°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【详解】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝55°，
∴∠BOC＝2∠A＝110°．
故选B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5. 如图，⊙O是△ABC外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，所以可得圆心角∠BOC=90°，所以的长==，故选B．
考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理．
6. 已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】
正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
【详解】如图，连接OA，作OM⊥AB．
∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AMAB2=1，∴正六边形的边心距是OM．
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．
7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（）
A. 5B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
试题分析：如图，连接CD，
∵∠C=90°，D为AB的中点，∴CD=DA=DB．
而CD=CB，∴CD=CB=DB，即△CDB为等边三角形．∴∠B=60°．
∵AB=10，
∴．
故选C．
8. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（ ）
A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．
9. 若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y3＜y1＜y2B. y2＜y1＜y3C. y1＜y2＜y3D. y3＜y2＜y1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据x＜﹣1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
C（2，y3）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣4，y3），
∵﹣4＜﹣3＜﹣2，
∴y2＜y1＜y3，
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
10. 服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A. 150元B. 160元C. 170元D. 180元
【答案】A
【解析】
【分析】
设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：

∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用旋转性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
12. 二次函数y＝ax2+bx（a，b为常数）的图象如图所示，设关于x的一元二次方程ax2+bx+m＝1的两个实数根分别为x1，x2，若x1•x2＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A. 0≤m＜3B. 0＜m≤3C. 1≤m＜4D. 1＜m≤4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用抛物线顶点坐标公式得到b2＝12a，再利用判别式和根与系数的关系得到△＝b2﹣4a（m﹣1）≥0，，根据二次函数的性质得到a＞0，然后解两个不等式即可得到m的范围．
【详解】解：根据题意得，即b2＝12a，
∵一元二次方程ax2+bx+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴△＝b2﹣4a（m﹣1）≥0，，
即12a﹣4a（m﹣1）≥0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴12﹣4（m﹣1）≥0且m﹣1＞0，
∴1＜m≤4．
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和根与系数的关系．
二、填空题
13. 二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是_____．
【答案】2
【解析】
试题分析：把函数的解析式化为顶点式的形式即可解答．
解：∵二次函数y=x2﹣2x+3可化为y=（x﹣1）2+2的形式，
∴二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是2．
考点：二次函数的最值．
14. 若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．
【答案】m＞4
【解析】
【分析】
根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＜0，
∴，
∴m＞4
故答案为m＞4
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
15. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B．若∠P＝100°，则∠ACB的大小为_____（度）．
【答案】40
【解析】
【分析】
首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO＝360°﹣90°﹣100°﹣90°＝80°，
∴．
故答案为40．
【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题的关键是掌握辅助线的作法，熟练掌握切线的性质．
16. 在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，
∴ ，
解得： ，
故x2﹣y2＝9﹣4＝5．
故答案为5．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝90°，AD＝3，CD＝2，则S△OCD的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA，根据圆周角定理得到AC为⊙O的直径，得到∠ADC＝90°，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：
连接OA，
∵∠B＝90°，
∴AC为⊙O的直径，即点A、O、C在同一条直线上，
∴∠ADC＝90°，
∴，
∵点O为AC的中点，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．
18. Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．
【答案】80°或120°
【解析】
【分析】
本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．
【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，
∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，
②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，
∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为80°或120°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．
三、解答题
19. 解下列关于x的方程
（I）x2﹣6x﹣7＝0
（Ⅱ）2x2﹣x﹣2＝0
【答案】（I）x＝7或x＝﹣1；（Ⅱ）x＝．
【解析】
【分析】
（I）根据因式分解法即可求出答案；
（II）根据公式法即可求出答案．
【详解】解：（I）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x＝7或x＝﹣1；
（Ⅱ）∵2x2﹣x﹣2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴△＝1+16＝17，
∴x＝．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20. 已知函数y＝﹣xm﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数，其图象的对称轴为直线x＝1
（I）求该二次函数的解析式；
（Ⅱ）当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】（Ⅰ）该二次函教解析式为y＝﹣x2+2x﹣3；（Ⅱ）﹣11≤y≤﹣3．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据对称轴方程，列式求出b的值，从而求得二次函数的解析式；
（Ⅱ）先由y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2知函数有最大值﹣2，然后求出x＝﹣2和x＝0时y的值即可得答案．
【详解】解：（Ⅰ）∵函数y＝﹣xm﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x＝1，
∴m﹣1＝2，，
∴m＝3，b＝2．
∴该二次函教的解析式为y＝﹣x2+2x﹣3．
（Ⅱ）∵y＝﹣x2+2x﹣3图象的对称轴为直线x＝1，并且开口向下，
∴当﹣2≤x≤0时,y值在对称轴的左边，并且单调递增，
当x＝﹣2时，y＝﹣11；
当x＝0时，y＝﹣3；
∴当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围为﹣11≤y≤﹣3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟悉对称轴公式是解题的关键．
21. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC是⊙O的直径，BC＝4，求BD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：DE＝DB．
【答案】（I）BD＝2；（II）见解析.
【解析】
【分析】
（I）连接OD，易证△DOB是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BD的长；
（II）由角平分线的定义结合（1）的结论即可得出∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE，再根据三角形外角的性质即可得出∠EBD＝∠DEB，由此即可证出BD＝DE．
【详解】
解：（I）连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∵BC＝4，
∴BO＝OD＝2，
∴；
（II）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵∠BAD＝∠CBD，
∴∠CBD+∠CBE＝∠BAE+∠ABE．
又∵∠DEB＝BAE+∠ABE，
∴∠EBD＝∠DEB，
∴BD＝DE．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理以及角平分线的定义，熟练掌握和圆有关的性质是解题的关键．
22. 已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(1)如图①，求∠T和∠CDB的大小；
(2)如图②，当BE=BC，求∠CDO的大小.
【答案】（1）∠T==40°，∠CDB=40°；（2）∠CDO=15°.
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得∠TAB=90°，根据三角形内角和得∠T的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数；
（2）如图②，连接AD，根据等边对等角得：∠BCE=∠BEC=65°，利用同圆的半径相等知：OA=OD，同理∠ODA=∠OAD=65°，由此可得结论．
【详解】解：(1)如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，即∠TAB=90°
∵∠ABT=50°，
∴∠T=90°－∠ABT=40°
由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°－∠ABC=40°
∴∠CDB=∠CAB=40°；
(2)如图，连接AD
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE＝∠BEC=65°，
∴∠BAD=∠BCD=65°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65°
∵∠ADC=∠ABC=50°
∴∠CDO=∠ODA－∠ADC=15°
【点睛】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
23. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2．
（I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围；
（Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长；
（Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（Ⅰ）S＝﹣2x2+30x（6≤x＜10）；（Ⅱ）AB的长为12米；（Ⅲ）当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设菜园的宽AB为xm，则BC为（30﹣2x）m，由面积公式写出S与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；
（Ⅱ）令s＝72求得x的值即可；
（Ⅲ）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB＝CD＝xm，
∴BC＝（30﹣2x）m，
由题意得S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜10）；
（Ⅱ）令s＝72得：﹣2x2+30x＝72，
解得：x＝3或x＝12，
当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，
∴x取12，
答：AB的长为12米．
（Ⅲ）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
∴当x＝7.5时，30﹣2x＝15