江西省2025届高三上学期10月阶段检测考数学试卷(含答案)

这是一份江西省2025届高三上学期10月阶段检测考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则的非空真子集的个数为( )
A.2B.3C.4D.6
2．已知命题,,命题,则( )
A.p和q都是真命题B.和q都是真命题
C.p和都是真命题D.和都是真命题
3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到奇函数的图象,则( )
A.B.C.D.
4．已知函数在R上单调,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．已知,则( )
A.1B.C.2D.
6．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,且,则( )
A.B.C.D.
7．已知,则( )
A.B.C.D.2
8．已知a,b为正数,若,有函数,则的最小值为( )
A.B.C.9D.
二、多项选择题
9．已知,则( )
A.B.
C.D.
10．已知函数的两个零点分别为-1,1,且,则( )
A.B.
C.D.
11．若存在实数b使得方程有四个不等的实根,则mn的值可能为( )
A.B.2025C.0D.-6
三、填空题
12．已知扇形的圆心角为,面积为24,则该扇形的弧长为_____________.
13．已知函数,则_____________.
14．函数在区间上的零点个数为____________个.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)当时,求的最值.
16．已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的充分不必要条件,求a的取值范围.
17．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求的最值.
18．记的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求C的取值范围;
(2)若为锐角三角形,设,,探究是否存在,使得为定值？若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
19．定义：设函数的图象上一点处的切线为,在处的垂线也与的图象相切于另一点,则称和为的一组“垂切线”,为“垂切点”.已知三次函数和为的一组“垂切线”,其中为的垂切点,与相切于点.
(1)求曲线在点处的切线方程;（用和b表示）
(2)若对任意都存在使,求正数m的取值范围;
(3)证明：点和之间连线段的长度不小于.
参考公式：.
参考答案
1．答案：A
解析：,解得,,
又,,
的非空真子集的个数为个.
故选：A.
2．答案：B
解析：对于命题,,当时,,故p为假命题,为真命题;
对于命题,,当时,,故q为真命题,为假命题.
所以和q都是真命题.
故选：B.
3．答案：B
解析：函数的图象向左平移个单位长度后得到
因为是奇函数,所以,,
又因为,所以.
故选：B.
4．答案：C
解析：因为当时,,
又函数,在区间上都为增函数,
所以函数在区间上为增函数,
又函数在R上单调,
所以,
所以,
所以a的取值范围是.
故选：C.
5．答案：D
解析： ,
,
,
解得.
故选：D.
6．答案：B
解析：由题设,
由三角形内角性质,知.
故选：B.
7．答案：A
解析：,
得.
故选：A.
8．答案：B
解析：由题意可得,又因为,
当时,可得,即;
当时,显然成立;
当时,可得,即;
综上可得,即,
因为a,b为正数,
所以,
当且仅当时取等号,故B正确.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A,因为,所以,故A正确,
对于B,当时,,故B错误,
对于C,当,此时,
,故不成立,故C错误,
对于D,构造,恒成立,
所以在R上单调递增,因为,所以,
故成立,故D正确.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：由题意可得：① ,②,③
由①+②可得：,所以,A正确;
,
因为,所以,B正确;
②①可得：,
所以,C错误;
因为,,D正确.
故选：ABD.
11．答案：AD
解析：令,则,
令,且该函数至少存在三个变号零点,且,
当时,
在,上,,即递增,
在上,,即递减,
若,则,知至多有一个变号零点;
故;
当时,
在,上,,即递增,
在上,,即递减,
若,则,知至多有一个变号零点;
故;
当时,,即在定义域上递增,
此时,至多有一个变号零点,不符合题意;
综上,只能为负数.
故选：AD
12．答案：12
解析：设该扇形的弧长为l,圆心角为,半径为r,
所以由,即,解得,
所以.
故答案为：12.
13．答案：2
解析：令,则,
因为
,
所以函数为奇函数,可得,
则
故答案为：2.
14．答案：0
解析：
,
令,则,
则,
所以在上单调递增,所以,
所以函数在区间上的零点个数为0个.
故答案为：0.
15．答案：(1);
(2)当时,函数取最小值;时,函数取最大值.
解析：(1)令,得,
所以函数的单调递增区间是;
(2)令,则由可得,
所以当,即时,,
当时,即时,.
即当时,函数取最小值;时,函数取最大值.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,
或
,
(2)“”是“”的充分不必要条件,
A是的真子集.
,则,
（等号不同时成立）,解得：,
a的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)的最大值为,无最小值
解析：(1)因为,
所以,
所以,,
从而曲线在点处的切线方程为;
(2)设,显然,同号,
则,
所以在上单调递减,
注意到,
当时,,当时,,
所以在单调递增,在上单调递减,
当趋于负无穷时,也是趋于负无穷,当趋于正无穷时,趋于0,
所以的最大值为,无最小值.
18．答案：(1)
(2)定值为
解析：(1)根据余弦定理,,
根据基本不等式,,解得,当取等号,
此时,
结合,可得
(2)以为x轴,中点为原点O,建立如图所示的直角坐标系,
由题意定值,且,
根据椭圆的定义可知,C的轨迹是以,为焦点的椭圆（A,B,C不共线）,
则椭圆的,,,方程为,
设,根据,则,
则,故;
设,根据,则,
则,故,
于是,
结合在椭圆上,,
可得,
要想乘积为定值,则,结合,解得,
此时
19．答案：(1);
(2)m的取值范围为;
(3)证明见解析.
解析：(1)因为,
所以,,
所以曲线在点处的切线的斜率为,又,
所以曲线在点处的切线方程为,
化简可得;
(2)由已知曲线在点处的切线与直线垂直,
又曲线在点处的切线斜率为,
所以曲线在点处的切线方程为,
所以,,,
所以,
又,
所以,又,
所以,
所以,
所以,
因为关于b的方程有解,所以其判别式,
故,即,
因为对任意都存在使,
所以函数,的值域包含区间,
所以,
所以m的取值范围为;
(3)因为点和之间连线段的长度,
所以,
又,
所以,
由(2),
所以
故,
由(2)知,即
所以,
由已知方程的判别式,
所以,
所以,
令,则,,
设,则,
令,则,
故
又,
所以当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
故当,即时,取最小值,最小值为,
所以,所以.