连城县第一中学2025届高三上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份连城县第一中学2025届高三上学期10月第一次月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知函数为奇函数，则( )
A.2B.1C.D.
3．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知，则( )
A.B.C.D.
5．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()( )
A.B.C.D.
6．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7．已知函数,，则下列命题正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.直线是图象的一条对称轴
C.函数在区间上单调递减
D.将的图象向左平移个单位长度后得到的的图象
8．已知函数的图象关于y轴对称，且当时，其导函数满足，若,,，则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若,,，则的最小值为8
10．已知,函数,则( )
A.对任意a,总存在零点
B.当时,是的极值点
C.当时,曲线与轴相切
D.对任意a,在区间上单调递增
11．已知函数是奇函数，是的导函数,，且满足，则下列说法正确的是( )
A.B.函数为偶函数
C.D.函数的周期为4
三、填空题
12．函数在处的切线方程为________.
13．定义在R上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为_________.
14．已知，函数恒成立，则a的最大值为________.
四、解答题
15．已知中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，其中.
(1)求A的值；
(2)若的面积为，周长为6，求的外接圆面积.
16．某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；
(2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.
17．如图，平面，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.
18．已知函数，.
（1）若关于x的不等式的解集为，求函数的最小值；
（2）是否存在实数a，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.
19．定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数k，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数.已知函数.
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在a使的极值差比系数为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由，则，
所以，
又，
所以.
故选：C
2．答案：D
解析：函数为奇函数，
，即，
，
.
故选：D.
3．答案：B
解析：等价于，
当或时，不成立；
充分性不成立；
又等价于，有；
必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：D
解析：由，得，解得，
所以.
故选：D
5．答案：A
解析：由题知：将，代入，
得：，化简得.
即，解得.
故选：A
6．答案：D
解析：函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，
有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B.
故选：D.
7．答案：D
解析：对于A，的最小正周期为，A错误；
对于B，，直线不是图象的对称轴，B错误；
对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D
8．答案：B
解析：令，由函数的图象关于y轴对称，得函数是偶函数，
则，即函数是奇函数，
当时，由，得，
所以函数在上单调递减，
因此在上单调递减，而,,，
又，则，即.
故选：B
9．答案：AB
解析：对于A，由，得，且，因此，A正确；
对于B，由，得，而，因此，B正确；
对于C，由，取，则，C错误；
对于D，由,,，
得，
当且仅当，即时取等号，D错误.
故选：AB
10．答案：ACD
解析：函数定义域为R,求导得,
对于A,函数在R上的图象连续不断,当时,由,得;
而,当时,,函数在上存在零点;
当时,,
函数在上存在零点,因此对任意a,总存在零点,A正确;
对于B,当时,,函数在R上单调递增,无极值点,B错误;
对于C,当时,,由,得,而,
则曲线在处切线为,即曲线与轴相切,C正确;
对于D,当时,恒成立,函数在R上单调递增;
当时,函数在上单调递减,又,
则当时,,
函数在区间上单调递增,
因此对任意a,在区间上单调递增,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：由，，
又因为函数是奇函数，所以，即，
所以，所以函数是周期为4的函数，-
所以，故A正确；
因为函数是奇函数，则，两边取导数，则，
因为是的导函数，所以，所以函数是偶函数，故B正确；
由，得函数关于对称，因为函数在附近两侧的单调性相反，即是函数的极值点，所以，故C错误；
由，两边取导数，得，即，所以函数的周期为4，故D正确.
故选：ABD
12．答案：
解析：由得，
，，
即函数在处切线的斜率为2，
函数在处切线的方程为，即.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为函数满足，则关于直线对称，
又因为在上单调递减，则在上单调递增，
则由得，
即，解得，则解集为，
故答案为：.
14．答案：7
解析：当a为正偶数时，
当时，，不符合题意，所以a为正奇数，
则当时，恒成立，
只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，,因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
设,，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，又因为a为正奇数，
所以a的最大值为7.
故答案为：7
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由正弦定理得，
因为，故，则，
因为，故.
（2）由题意，故.
由余弦定理得，
解得.
故的外接圆半径，
故所求外接圆面积.
16．答案：(1)；
(2)分布列见解析；
解析：（1）设事件“至少选到2箱A级苹果”，
由题意知选到1箱A级苹果的概率为，选到1箱非A级苹果的概率为，
所以，
故至少选到2箱A级苹果的概率为.
（2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
则，，
，
所以X的分布列为
.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：依题意，可以建立以A为原点，分别以,,的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，.设，则.
（1）依题意，是平面的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
（2）设为平面的法向量，
则，即
不妨令，可得.
同理可求得平面的法向量
由题意，有，
解得.经检验，符合题意.
所以，线段的长为.
18．答案：（1）；
（2）不存在实数a，使得对任意，存在，不等式成立，理由见解析.
解析：（1）依题意得,2和3是方程的两根
由韦达定理可知：
又,
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为.
（2）假设存在实数a,使得对任意,存在,不等式成立
时,,
在成立
记,,其对称轴为,
①当,即时,
由,.
②当,即时,
由,
综上所述,不存在实数a,使得对任意,存在,不等式成立.
19．答案：(1)是极值可差比函数，理由见解析；
(2)不存在a使的极值差比系数为，理由见解析；
(3).
解析：（1）当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数.
（2）的定义域为,，即，
假设存在a，使得的极值差比系数为，则,是方程的两个不等正实根，，解得，不妨设，则，
由于
所以，从而，
得.(*)
令,，
所以在上单调递增，有，
因此(*)式无解，即不存在a使的极值差比系数为.
（3）由（2）知极值差比系数为，
即，不妨设，
令,，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令,，
设，
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即.
故的极值差比系数的取值范围为.
X
0
1
2
3
P