辽宁省沈阳市重点中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省沈阳市重点中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A．B．C．D．
2．若，则( )
A．B．C．D．
3．已知为等比数列的前n项和，为常数列，则( )
A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件
C．p是q充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件
4．已知锐角，满足，，则与的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．在等差数列中,若,则下列说法错误的是( )
A.B.
C.的最大值为45D.满足的n的最大值为19
6．已知，，，则＝( )
A．B．C．D．
7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，，，，则( )
A．4B．C．D．
8．已知函数的值域为，则a的取值范围是( )
A．B．
C．D．
二、多项选择题
9．已知的解集是，则下列说法正确的是( )
A．
B．不等式的解集为
C．的最小值是4
D．当时，若的值域是，则
10．设，其中，则: ( )
A．相邻两个最高点之间的距离是B．
C．的单调递增区间是D．的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称.
11．已知函数，则( )
A．曲线关于点成中心对称
B．，无极值
C．若在上单调递增，则
D．若曲线与x轴分别交于点，，，且在这三个点处的切线斜率分别为，，，则为定值
三、填空题
12．已知函数，则不等式的解集为_____.
13．已知数列满足，则的前n项和________.
14．若函数有4个零点，则正数的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足．
(1)求角B．
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
16．设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与2的等差中项等于与2的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
17．已知曲线在处的切线过点.
(1)试求的值；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．

(1)求C边的长度；
(2)若，求的余弦值；
(3)在(2)的条件下，若，求的取值范围．
19．已知对任意正整数n，均有，我们称为n次切比雪夫函数.
(1)若为3次切比雪夫函数，求的值.
(2)已知为次切比雪夫函数，若数列满足.
证明：①数列中的每一项均为的零点；
②当时，.
参考答案
1．答案：C
解析：解不等式得：，，
函数有意义，则，解得，即，
所以.
故选：C
2．答案：A
解析：由，得，
所以，
所以.
故选：A
3．答案：B
解析：由，可得，
所以即，所以不一定为常数列；
若为常数列，则成立，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：B
4．答案：B
解析：因为，所以，
由，解得，，
因为为锐角，所以，此时，可得，
所以，
由得
，
因为，为锐角，所以，可得，
由得，
可得.
故选：B.
5．答案：D
解析：设等差数列的公差为d,
则,解得：;
对于A,,A正确;
对于B,,B正确;
对于C,,
当或10时,,C正确;
对于D,由得：,
又,满足的n的最大值为18,D错误.
故选：D.
6．答案：C
解析：∵，
∴，．
∵，
∴，则cs()＝，
∵，
∴sin()＝．
＝cs()cs()+sin()sin()
＝．
故选：C
7．答案：B
解析：由图象可知，则，
所以，
所以，
由，得，，
即，，
因为，
所以，则，，
因为，，，
所以，解得（负根舍去），
所以，
所以.
故选：B
8．答案：C
解析：当时，，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，所以，.
当时，，
若即，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，.
又函数的值域为R，所以， ；
若即，函数在上单调递增，
所以，.
又函数的值域为R，
所以.
综上可知：或.
故选：C
9．答案：ACD
解析：由题意可知：是关于x的方程的二根，且，
则，可得.
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：不等式化为：，
由可得，解得，
所以不等式的解集为，故B错误；
对于选项C：因为，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故C正确；
对于选项D：当时，，
则，
当时，取到最大值，
因为，由得，或，
因在上的最小值为，
从而得或，
因此，故D正确.
故选：ACD
10．答案：AD
解析：由题意可得：，
且，所以的最小正周期为.
对于A，相邻两个最高点之间的距离是，故A正确；
对于B，因为，所以的值域为，所以，故B错误；
对于C，当时，令，解得，
此时的单调递增区间为，，
当时，令，，
解得，，
此时的单调递增区间是，，故C错误；
对于D，的图象向左平移个单位长度得到的函数，
显然为偶函数，图象关于y轴对称，故D正确.
故选：AD.
11．答案：BD
解析：A项，，
.
当且仅当时，曲线关于点成中心对称.
即当时，曲线不关于点成中心对称，故A错误；
B项，当时，，
，则在上单调递增，不存在极值，
即，无极值，故B正确；
C项，若在上单调递增，
则在恒成立，即，恒成立，
又由，得，
所以要使恒成立，则，故C错误；
D项，由题意可知，
，
则；
；.
故，
即为定值，故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：由得，
所以函数是R上的增函数，
又由得函数是奇函数，
则由得，
所以，
解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：
，
因此当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
显然也适合，
因此，
故答案为：
14．答案：
解析：当时，令，即，即，
因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示，

所以时，函数只有一个零点，
又由函数有4个零点，
所以时，函数有三个零点，
因为，可得，
则满足，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，由正弦定理得，
因为，可得，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得.
(2)由(1)知，且，
又由正弦定理得，可得，
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，且，
可得，
则，所以，
所以面积的取值范围是．
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意，当时有，，
所以，
解得：， ，
整理得，由此得，
所以，
整理得，由题意知 ，
所以，
即数列为等差数列，其中，公差，
所以.
(2)令，
则，
故，
，
所以.
17．答案：(1)0；
(2)答案见解析；
(3)答案见解析.
解析：(1)函数，求导得，则，而，
因此曲线在处的切线方程为，
即，
依题意，，
所以则.
(2)由(1)知函数，其定义域为R，求导得，
当时，在R上单调递减；
当时，由，得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以当时，在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
(3)由(2)得，
要证明，
即证，
即证，
令，求导得，
由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
即恒成立，
所以当时，.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由已知，
由正弦定理角化边可得，.
由余弦定理角化边可得，，
整理可得，，
即.
因为，
所以．
(2)因为D为中点，所以.
设，的夹角为，
则
.
又，
所以，
整理可得，
解得或.
又，
所以，，
所以，
所以的余弦值为．
(3)由(2)可得，.
由已知可设，，，
所以，，，.
因为，
所以.
由可得，，即.
由G，E，F三点共线，得，即.
所以
.
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
即，
即，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
19．答案：(1)1
(2)①答案见解析；②答案见解析
解析：(1)因为，
所以，则.
(2)证明:①由题可知，
则.
因为，
所以，
所以数列中的每一项均为的零点.
②令，
则
在上单调递增，
则，即.
因为，
所以，
则，
则
,
所以，
从而.