闽侯县第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份闽侯县第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合，则满足的集合B的个数为( )
A.2B.4C.8D.16
2．已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．“”是“且”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．不等式的最小整数解为( )
A.B.C.0D.2
5．已知且，则的最小值为( ).
A.B.C.13D.3
6．已知命题p：，，则为( ).
A.，B.，
C.，或D.，或
7．若不等式的解集为,则函数的图象可以为( )
A.B.
C.D.
8．已知命题是真命题,则p的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若关于x的方程至多有一个实数根,则它成立的必要条件可以是( )
A.B.C.D.
10．已知正数x，y满足，则下列说法正确的是( )
A.的最大值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为
11．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( ).
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知,，且，则的最小值是________.
13．不等式：的解为________.
14．某班有学生56人,同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人,同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人,同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组,则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多______.
四、解答题
15．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．已知,,全集.
(1)若,求;
(2)若,求实数a的取值范围.
17．已知，，.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，满足恒成立，求m的取值范围.
18．根据要求完成下列问题：
(1)要在墙上开一个上半部为半圆形,下部为矩形的窗户（如图所示）,在窗框为定长的条件下,要使窗户能够透过最多的光线,窗户应设计成怎样的尺寸？
(2)如图所示,铁路线上段长千米,工厂C到铁路的距离为20千米.现要在上某一点D处向C修一条公路,已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少,D点应选在何处？
19．已知实数集，定义.
(1)若，求；
(2)若，求集合A；
(3)若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：对于集合A，由,解得，
又，.
又，
满足条件的集合B可能为，，，，，，，，共8个.
故选：C.
2．答案：D
解析：由得，
由不等式的解集为，所以或者，解得，
综上q为真时，，
故p成立是q既不充分也不必要条件，
故选：D
3．答案：A
解析：可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；
根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件.
故选：A
4．答案：C
解析：原不等式可化为或或，
解得，所以所求最小整数解是0.
故选：C
5．答案：D
解析：由，可得，因为，可得，解得，
则，
设,，
由二次函数的性质，可得在上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
即的最小值为3.
故选：D.
6．答案：D
解析：由全称命题的否定是特称命题知：
原命题的否定为，或.
故选：D
7．答案：C
解析：由题可得-1和是方程的两个根,且,
,解得,,
则,
则函数图象开口向下,与x轴交于,.
故选：C.
8．答案：B
解析：因为,,所以当时,,
因为,当且仅当,即时,等号成立,
所以是p的充要条件,因为,但,
所以是p的一个必要不充分条件,
故选：B.
9．答案：BC
解析：因为方程至多有一个实数根,
所以方程的判别式,
即:,解得,
利用必要条件的定义,结合选项可知,成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：对于A：，，.
，.
当且仅当，即，，取“=”，A正确；
对于B：，由（1）知，.
.B正确；
对于C：.
，C错误；
对于D：，
当且仅当，即，取“=”，D正确.
故选：ABD.
11．答案：CD
解析：x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以；当x，y，z中有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0，所以；当x，y，z同为负数时，代数式的值为-4，所以.
12．答案：9
解析：因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9，
故答案为：9
13．答案：或
解析：由，得或，解得或，
所以不等式的解为或.
故答案为：或
14．答案：21
解析：如图,设该班学生中同时参加三个小组的人数为x,只参加其中一个小组的人数为y,
则,即.
因为,所以.
所以只参加其中一个小组的人数最多为21.
故答案为：21.
15．答案：
解析：因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集，
即，解得，经检验满足题意,
所以实数a的取值范围是.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,
所以或,又,
所以.
(2)由题可得：当时,有,
解得a的取值范围为;
当时有,解得a的取值范围为,
综上所述a的取值范围为.
17．答案：(1)36；
(2)
解析：（1），，当时，，
当且仅当时等号成立，
令，得，解得：（舍去）或，
，解得，当且仅当，时等号成立，
的最小值是36；
（2）当时，，可得.
由得，
又，，
，
当且仅当，即时等号成立.
当时，求的最小值是10.
则有，解得，即m的取值范围为.
18．答案：(1)答案见解析
(2)距A点15千米处
解析：(1)设矩形窗框的长为x,宽为y,则窗框的定长为,
,（）,则窗框的面积为：
,
因,当时,窗框的面积S取得最大值,此时,
即当时,窗户能够透过最多的光线;
(2)由题意可知单位距离的公路运费大于铁路运费,由图知,,
则只有点D选在线段上某一适当位置,才能使总运费最省.
设（千米）,铁路吨千米运费,公路吨千米运费,从B到C的总费用为y,
则依题意得,,即,
令,则有,两边同时平方并整理得：(*),
关于x的方程一定有解, ,解得,
, ,当时,由（*）,解得,,
这时t最小,y也最小,即当D点选在距A点15千米处时,总运费最省.
19．答案：(1)；
(2)或者；
(3)13
解析：（1）;
（2）首先，；
其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.
记，不妨设或者
①当时，,，
相乘可知,，从而，
从而，所以；
②当时，与上面类似的方法可以得到
进而，从而
所以或者.
（3）估值+构造需要分类讨论A中非负元素个数.
先证明.考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：
情况一：A中没有负数.
不妨设，则
上式从小到大共有个数，它们都是的元素，这表明
情况二：A中至少有一个负数.
设,,…,是A中的全部负元素，,,…,是A中的全部非负元素.
不妨设
其中s,t为正整数，,,.
于是有
以上是中的个非正数元素：另外，注意到
它们是中的5个正数.这表明
综上可知，总有-
另一方面，当时，中恰有13个元素.综上所述，中元素个数的最小值为13.