嫩江市高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份嫩江市高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，，则( )
A.B.C.D.
2．命题“，”的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．设，，则M与N的大小关系是( )
A.B.C.D.无法确定
4．已知集合，，，则a的值可以是( )
A.3B.C.D.
5．若不等式的解集为,则函数的图象可以为( )
A.B.
C.D.
6．某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是( )
A.20B.21C.23D.25
7．已知命题是真命题,则p的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
8．设正实数a、b、c满足，则当取得最小值时，的最大值为( )
A.1B.2C.3D.4
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.至少有一个实数x,使
B.“”是“”的充分不必要条件
C.命题“,”的否定是假命题
D.“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
10．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是( )
A.若，则且
B.若，则关于x的不等式的解集也为M
C.若，则关于x的不等式的解集为或
D.若，为常数}，且，则的最小值为
11．已知a,b为正实数,且,则( )
A.的最大值为8B.的最小值为8
C.的最小值为D.的最小值为
三、填空题
12．已知，，则的取值范围是________.
13．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：
①；
②；
③；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”.
其中正确的结论是________.
14．已知p：；q：；r：关于x的不等式()，若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________.
四、解答题
15．已知集合,集合.
(1)若,求实数m的取值范围;
(2)设命题;命题,若命题p是命题q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
16．已知命题，，命题，.
(1)若命题p和命题有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.
17．已知函数,.
(1)当时,,求的最小值;
(2)当时,,求关于x的不等式的解集.
18．某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米.
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
19．已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”.
(1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
(2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；
(3)若为正整数，求：“完美集”A.
参考答案
1．答案：A
解析：由，则，故.
故选：A
2．答案：C
解析：“，”的否定是“，”.
故选：C
3．答案：A
解析：因为，，
所以，
，
故选：A
4．答案：D
解析：由题意，集合，或，所以或，
因为，结合选项可得.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题可得-1和是方程的两个根,且,
,解得,,
则,
则函数图象开口向下,与x轴交于,.
故选：C.
6．答案：B
解析：如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，
则，即.
因为，所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为,,所以当时,,
因为,当且仅当,即时,等号成立,
所以是p的充要条件,因为,但,
所以是p的一个必要不充分条件,
故选：B.
8．答案：D
解析：依题意，由，得，
当且仅当，即时等号成立，则，
因此，当且仅当时取等号，
所以当，，时，取得最大值4.
故选：D
9．答案：BD
解析：对于A,在实数范围内,,,故A错误;
对于B,若,则,充分性成立,
若,如,,此时,必要性不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件,故B正确;
对于C,命题“,”的否定是,,
由二次函数的性质可得开口向上,,所以恒成立,故C错误;
对于D,若集合中只有一个元素,
当时,;当时,可得,
所以必要性成立,故D正确;
故选:BD.
10．答案：ACD
解析：A选项，若，即一元二次不等式无解，
则一元二次不等式恒成立，
且，故A正确；
B选项，令（），则、、，
∴可化为，
当时，可化为，其解集不等于M，故B错误；
C选项，若，
则，且和2是一元二次方程的两根，
，且，，，
关于x的不等式可化为，
可化为，，，解得或，
即不等式的解集为或，故C正确；
D选项，为常数}，
且，，
，，令，则，
，
当且仅当，则，且a为正数时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：对于A,因为,即,
解得,即,
当且仅当时取等号,故的最大值为8,故选项A正确;
对于B,由得,
所以,
当且仅当,即时取等号,此时取得最小值8,故选项B正确;
对于C,,
当且仅当,即时取等号,故选项C不正确;
对于D,,
当且仅当时取等号,此时取得最小值,选项D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：由题意可得，
因为，，所以，
故，
即的取值范围是，
故答案为：
13．答案：①③④
解析：对于①，因，则，①正确；
对于②，因，则，②不正确；
对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确；
对于④，若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有，
若，不妨令，，则，显然，，于是得，，即有整数a，b属于同一“类”，
所以“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确，
所以正确的结论是①③④.
故答案为：①③④
14．答案：
解析：由解得：，由解得：，
（1）当，由解得：，
若r是p的必要不充分条件，则，则①，
且r是q的充分不必要条件，则，则②，
由①②得：；
（2）当时，由解得：，若r是p的必要不充分条件，不成立，也不成立，不存在a值，
（3）当时，由解得：r为，不成立，不存在a值，综上，为所求.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可知,
又,当时,,解得,
当时,,或,解得,
综上所述,实数m的取值范围为;
(2)命题p是命题q的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,
当时,,解得,
当时,（等号不能同时成立）,解得,
综上所述,实数m的取值范围为.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）若命题p为真命题，即命，，所以，所以，若命题q为真命题，即，，所以，解得，
因为命题p和命题有且只有一个为假命题，
当命题p为假，命题为真时，解得；
当命题p为真，命题为假时，所以；
所以；
（2）若命题p和命题q都为假命题，则，即；
因为命题p和命题q至少有一个为真命题，所以或，即；
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)因为时,,可得,
又因为,可得,
所以,
当且仅当时取等号,即当且仅当,时取得最小值为.
(2)因为当时,,可得,
则,
因为,所以,则解不等式可得或,
则不等式的解集为或.
18．答案：(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
解析：（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为y元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功.
19．答案：(1)是，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)
解析：（1）由，，则集合是“完美集”，
（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于2.
（3）不妨设A中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一个，为.
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集A，
综上知，“完美集”A为.