山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省部分学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知直线l经过,两点,则l的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知圆C的方程是，则圆心C的坐标是( )
A．B．C．D．
3．在长方体中,M为棱的中点.若,,则等于( )
A.B.
C.D.
4．两平行直线，之间的距离为( )
A.B.3C.D.
5．曲线与x轴围成区域的面积为( )
A.B.C.D.
6．已知平面的一个法向量,是平面内一点,是平面外一点,则点P到平面的距离是( )
A.B.C.D.3
7．在平面直角坐标系中,圆C的方程为,若直线上存在点P,使以P点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．在正三棱柱中,,,,M为棱上的动点,N为线段AM上的动点,且,则线段MN长度的最小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9．下列关于空间向量的命题中，是真命题的是( )
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B.若，则，的夹角是锐角
C.不相等的两个空间向量的模可能相等
D.若，是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
10．已知直线,直线,则( )
A.当时,与的交点为
B.直线恒过点
C.若,则
D.存在,使
11．“太极图”是中国传统文化之一,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是( )
A.黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B.直线与白色部分有公共点
C.点是黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点,则的最大值为4
D.过点作互相垂直的直线,,其中与圆交于点A,C,与圆交于点B,D,则四边形ABCD面积的最大值是22
三、填空题
12．若直线l与直线垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为___________.
13．圆和圆的公切线的方程为___________.
14．如图所示,在四棱锥中,,且,若,,则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为____________.
四、解答题
15．已知直线与交于A,B两点.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)若,求a的值.
16．如图所示的几何体是圆锥的一部分,其中是圆锥的高,是圆锥底面的一条直径,,,C是的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17．在平行四边形ABCD中,,,.
(1)若圆E过A,B,D三点,求圆E的方程;
(2)过点C作圆E的切线,切点为M,N,求.
18．如图，四边形是直角梯形，,,,E为的中点，P是平面外一点，,,,M是线段上一点，三棱锥的体积是.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
19．已知圆C的圆心在直线上,与y轴正半轴相切,且截直线 所得的弦长为4.
(1)求圆C的方程;
(2)设点A在圆C上运动,点 ,M为线段上一点且满足 ,记点M的轨迹为曲线E.
①求曲线E的方程,并说明曲线E的形状;
②在直线I上是否存在异于原点的定点T,使得对于E上任意一点P,为定值,若存在,求出所有满足条件的点T的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：设直线l的倾斜角为,则,又,所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：圆C的方程可化为，圆心C的坐标是.
故选.A
3．答案：A
解析：因为长方体中,M为棱的中点,
所以,
故选：A.
4．答案：A
解析：直线，直线，所以两平行直线间的距离.故选A.
5．答案：B
解析：曲线的方程化为,即,
所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径的半圆,其面积为.
故选：B.
6．答案：C
解析：因为,,则,
点在平面内,点平面外,
平面的一个法向量,
所以点到平面的距离.
故选：C.
7．答案：B
解析：解法一：
圆C的方程化标准方程为,所以圆C是以为圆心,1为半径的圆.
设,由以P为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,
得关于的不等式有解,即有解,
所以,解得或.
故选：B.
解法二：
圆C的方程化标准方程为,所以圆C是以为圆心,1为半径的圆.
又直线上存在点P,使以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,
所以只需圆与直线有公共点即可.
由,解得或.
故选：B.
8．答案：D
解析：因为正三棱柱中,有,所以O为的中点,取中点Q,连接,如图,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
因为M是棱上一动点,设,且,
因为,且,
所以,
于是令,,
所以,,
又函数在上为增函数,
所以当时,,即线段长度的最小值为.
故选:D.
9．答案：AC
解析：选项A，由空间向量基本定理可知正确；
选项B，当且，时，，故B错误；
选项C，由空间向量定义可知正确；
选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：对于A,当时,直线,直线,
联立,解得,
所以两直线的交点为,故A正确;
对于B,直线,即,
令,即,所以直线恒过点,故B正确;
对于C：若,则,解得,故C正确;
对于D,假设存在,使,则,
解得或,
当,,,两直线重合,舍去,
当时,,即,
,即,两直线重合,舍去,
所以不存在,使,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：对于A,黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界所在圆的圆心为,半径为2,所以圆的方程为,故A正确;
对于B,白色部分包含左侧小半圆和右侧大半圆,直线的斜率大于0,且过点,所以直线与右侧大半圆无公共点,
左侧小半圆的方程为,圆心为,半径为2,
圆心到直线的距离为.
所以左侧小半圆与直线有公共点,故B正确;
对于C,黑色阴影部分小半圆的方程为,
设,由题意知直线与圆有公共点,
此时,解得,
又黑色阴影部分小半圆在y轴右侧,故,故C错误;
设原点O到直线,的距离分别为,,则,,
且,四边形ABCD的面积为,
当且仅当,即时等号成立,所以四边形ABCD面积的最大值是22,故D正确.
故选ABD.
12．答案：
解析：因为直线l与直线垂直,所以直线l的斜率,
又直线l在y轴上的截距为4,即直线l过点,
由点斜式可得直线,化简得.
故答案为：.
13．答案：或或
解析：圆,圆心坐标,半径,
圆,圆心坐标,半径,
由,则两圆相外切,
由圆心和半径可知,两圆均与直线相切,
直线的方程为,直线与直线的交点为,
设过的另外一条切线为,由O点到切线距离为1,故,
解得,或,故另外一条切线为.
因为直线的斜率为,故过两圆切点的切线斜率为,
设过公切点的切线方程为,由O点到切线距离为1,则,
所以,故.
故答案为：或或.
14．答案：
解析：在平面内作,垂足为F,
因为,得,,由于,故,
又,平面PAD,平面PAD
从而平面PAD,又平面PAD,故,
又,,平面,平面.
可得平面.
以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,
建立如图所示的空间直角坐标系.
所以,,,.
所以,,,.
设是平面的法向量,则即
令,则,故.
设是平面的法向量,则即
令,则,故.
则
则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为,
故答案为：.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)方程可化为,圆心,半径,
取AB的中点M,则直线CM是线段AB的垂直平分线,
所以,因为,
所以,
所以线段AB的垂直平分线的方程为,
即.
(2)点C到直线l的距离,
所以,即,
解得.
16．答案：(1)；
(2).
解析：(1)以O为原点,,,的方向分别作为x,y,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,.
设直线与所成的角为,
则,
即直线与所成角的余弦值是.
(2)由(1)知,,,
设平面的法向量为,则
取,得,所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为,
则,
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)设圆E的方程为,
将,,代入方程,可得,
解得,所以圆E的方程为,
(2)设,因为平行四边形ABCD,所以,,
显然直线,,,的斜率均存在,所以,解得,故,
由(1)知圆的方程为的圆心,半径为
则,因此,所以,
因此以C为圆心为半径的圆的方程为,
则直线的方程为,
则圆心到直线的距离为,
故.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）如图，连接交于点F，
因为,,，
所以，所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为,,平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，所以，
又,平面，
所以平面；
（2）以B为原点，、所在直线分别为x、y轴，平行于的直线为z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，则，即点，
则三棱锥的体积，解得，
所以，则，，
设平面的法向量，
由，令，则，，
即可得平面的一个法向量，
由z轴平面，故为平面的一个法向量，
所以，
由图可知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值是.
19．答案：(1)
(2)①,曲线E是为圆心,为半径的圆.
②不存在,理由见解析.
解析：(1)令且,易知圆C的半径为,
圆C的方程为,联立,整理可得,
若l与圆C交点横坐标分别为、,则,,
,解得,又,即,
圆C的方程为.
(2)①设,,则,,而,
∴,则,又A在圆C上,
曲线E的方程为,故曲线E是为圆心,为半径的圆.
②设且,,
要使为定值,即为定值即可,则,
,又,则,
,
,可得,又T异于原点,
不存在T,使E上任意一点P有为定值.