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天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测(10月)数学试卷(含答案)
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这是一份天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测(10月)数学试卷(含答案),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题
1.向量,,若,则x的值为( )
A.B.1C.D.3
2.过点且平行于直线的直线方程为( )
A.B.C.D.
3.若点到直线的距离是,则实数a为( )
A.B.5C.或5D.或3
4.已知直线与直线互相垂直,垂足为.则等于( )
A.24B.20C.4D.0
5.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是、的中点,则的值为( )
A.B.C.D.
6.下列命题中正确的是( )
A.点关于平面yOz对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线l与平面所成的角为
D.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若,则
7.若圆的弦被点平分,则直线的方程为( )
A.B.C.D.
8.已知圆与圆相外切,a,b为正实数,则的最小值为( )
A.2B.C.4D.
9.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10.若向量,,满足条件,则_______.
11.过两条直线,的交点,且与直线垂直的直线的方程为_______.
12.已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线相切,则圆O的方程是_______.
13.已知直线恒过点P,过点P作直线与圆相交于A,B两点,则的最小值为_______.
14.若圆,关于直线对称,则由点向圆C所作的切线长的最小值为_______.
15.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为,则直线l的斜率取值范围是_______.
三、解答题
16.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求的值;
(2)的值.
17.求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
(2)经过两点,;
(3)经过点,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
18.已知圆的圆心为坐标原点,且与直线相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线l过点,直线l被圆所截得的弦长为,求直线l的方程.
19.如图,在四棱锥中,底面,底面为平行四边形,,且,,E是棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角的余弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.
20.已知圆C过点且与圆关于直线对称,作斜率为1的直线l与圆C交于A,B两点,且点在直线l的左上方.
(1)求圆C的方程.
(2)证明:的内切圆的圆心在定直线上.
(3)若,求的面积.
参考答案
1.答案:D
解析:由,可得,解得,
故选:D.
2.答案:A
解析:设与直线平行的直线是,代入点得,得,所以直线方程是.
故选:A.
3.答案:C
解析:由点到直线的距离公式可得:,解得:或5
本题正确选项:C
4.答案:D
解析:由两直线垂直得,解得,
所以原直线直线可写为,
又因为垂足为同时满足两直线方程,
所以代入得,
解得,
所以,
故选:D
5.答案:C
解析:由题意,,和,之间夹角均为,结合平面向量线性运算有
故选:C
6.答案:C
解析:对于A,点关于平面yOz对称的点的坐标是,A选项错误;
对于B,若直线l的方向向量为,平面的法向量为,
,有,则或,B选项错误;
对于C,若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,
则直线l与平面所成的角为,C选项正确;
对于D,已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,
若,则,解得,D选项错误.
故选:C.
7.答案:A
解析:由题意圆心为,,因此,直线方程为,即,故选A.
8.答案:B
解析:由题意圆的圆心,半径,
圆的圆心,,
,
,
当且仅当时等号成立.
故选:B.
9.答案:A
解析:将曲线整理可得,,
因此曲线表示的是以为圆心,半径为2的下半圆,
若直线与曲线有公共点,如下图所示:
当直线在直线m的位置,即时,直线与曲线有一个公共点;
当直线在直线n的位置,即直线与曲线相切,
此时,解得,(舍);
只有直线位于两直线m,n之间时,满足题意,即.
故选:A
10.答案:2
解析:
,解得
故答案为:2
11.答案:
解析:联立两条直线方程,解得,
即交点坐标为;
易知直线的斜率为,可得所求直线的斜率为3;
由直线的点斜式方程可得,即.
故答案为:
12.答案:
解析:设圆心,,则由题意得,,,即圆O的方程是
13.答案:
解析:因为,即,
令,得,
故直线恒过定点,
由圆可知圆心,半径为5,
又因为,故点在圆内,
当时,取得最小,
因为
所以.
故答案为:.
14.答案:4
解析:因为圆关于直线对称,
所以圆心在直线上,
所以,即.
又圆的半径为,
当点与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,
又点与圆心的距离为:
,当时取等号,
所以切线长的最小值为.
故答案为:4.
15.答案:
解析:将方程化为圆的标准方程,得,
圆心坐标为,半径,
圆上至少有三个不同点到直线的距离为,
圆心到直线的距离应小于或等于.
由点到直线的距离公式得:,
,整理得,
解得,
直线的斜率.
故答案为:.
16.答案:(1);
(2).
解析:(1)在中,由可得,,又,
由余弦定理可得;
(2)因为,由(1)可得,,
故,,
所以.
17.答案:(1);
(2)当时,,
当时,.
(3)或或.
解析:(1)设直线l的方程为.
令,得,
,.
直线l的方程为.
(2)当时,直线l的方程是
,即
当时,直线l的方程是.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当,时,l的方程为;
直线过,.
又,
,解得,或.
当时,直线过原点且过,
l的方程为.
综上所述,直线l的方程为或或.
18.答案:(1);
(2)或
解析:(1)设圆的半径为,则,
所以的标准方程为.
(2)设圆心到直线l的距离为d,则,解得:,
当直线l的斜率不存在时,,此时圆心到l的距离为1,符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线l的方程为:,
化简得:,则,解得:,
即.
综上,直线l的方程为或.
19.答案:(1)证明见解析;
(2);
(3)存在,M在的两个三等分点处
解析:(1)如图所示:连接交于G,连接,则G为中点,E是棱的中点,
故,,,故平面.
(2)以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,
设平面的法向量为,则,
取,得到,,
直线与平面所成角的正弦值为.
(3)假设存在,,设,
即,故,
设平面的法向量为,则,
取,得到,
,化简得到,解得或.
故M在的两个三等分点处.
20.答案:(1);
(2)证明见解析;
(3)
解析:(1)设圆心,由题意得到圆M的圆心坐标为,
又圆C与圆M关于直线对称,
①,
又直线的斜率为,
直线的斜率为1,即②,
联立①②解得:,
圆心C坐标为,又在圆C上,
所以,
圆C的方程为;
(2)设直线的方程为,,,
由,消去y得:,
,,
,
即,
的平分线为垂直于x轴的直线,又,
则的内切圆的圆心在直线上;
(3)若,结合(2)可知:,,
直线的方程为,
圆心O到直线的距离,
,
同理可得:,
.
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