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    天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测(10月)数学试卷(含答案)

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    天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测(10月)数学试卷(含答案)

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    这是一份天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测(10月)数学试卷(含答案),共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.向量,,若,则x的值为( )
    A.B.1C.D.3
    2.过点且平行于直线的直线方程为( )
    A.B.C.D.
    3.若点到直线的距离是,则实数a为( )
    A.B.5C.或5D.或3
    4.已知直线与直线互相垂直,垂足为.则等于( )
    A.24B.20C.4D.0
    5.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是、的中点,则的值为( )
    A.B.C.D.
    6.下列命题中正确的是( )
    A.点关于平面yOz对称的点的坐标是
    B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
    C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线l与平面所成的角为
    D.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若,则
    7.若圆的弦被点平分,则直线的方程为( )
    A.B.C.D.
    8.已知圆与圆相外切,a,b为正实数,则的最小值为( )
    A.2B.C.4D.
    9.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    二、填空题
    10.若向量,,满足条件,则_______.
    11.过两条直线,的交点,且与直线垂直的直线的方程为_______.
    12.已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线相切,则圆O的方程是_______.
    13.已知直线恒过点P,过点P作直线与圆相交于A,B两点,则的最小值为_______.
    14.若圆,关于直线对称,则由点向圆C所作的切线长的最小值为_______.
    15.若圆上至少有三个不同点到直线的距离为,则直线l的斜率取值范围是_______.
    三、解答题
    16.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
    (1)求的值;
    (2)的值.
    17.求分别满足下列条件的直线l的方程.
    (1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;
    (2)经过两点,;
    (3)经过点,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
    18.已知圆的圆心为坐标原点,且与直线相切.
    (1)求圆的标准方程;
    (2)若直线l过点,直线l被圆所截得的弦长为,求直线l的方程.
    19.如图,在四棱锥中,底面,底面为平行四边形,,且,,E是棱的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求直线与平面所成角的正弦值;
    (3)在线段上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角的余弦值为?若存在,确定M的位置;若不存在,请说明理由.
    20.已知圆C过点且与圆关于直线对称,作斜率为1的直线l与圆C交于A,B两点,且点在直线l的左上方.
    (1)求圆C的方程.
    (2)证明:的内切圆的圆心在定直线上.
    (3)若,求的面积.
    参考答案
    1.答案:D
    解析:由,可得,解得,
    故选:D.
    2.答案:A
    解析:设与直线平行的直线是,代入点得,得,所以直线方程是.
    故选:A.
    3.答案:C
    解析:由点到直线的距离公式可得:,解得:或5
    本题正确选项:C
    4.答案:D
    解析:由两直线垂直得,解得,
    所以原直线直线可写为,
    又因为垂足为同时满足两直线方程,
    所以代入得,
    解得,
    所以,
    故选:D
    5.答案:C
    解析:由题意,,和,之间夹角均为,结合平面向量线性运算有
    故选:C
    6.答案:C
    解析:对于A,点关于平面yOz对称的点的坐标是,A选项错误;
    对于B,若直线l的方向向量为,平面的法向量为,
    ,有,则或,B选项错误;
    对于C,若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,
    则直线l与平面所成的角为,C选项正确;
    对于D,已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,
    若,则,解得,D选项错误.
    故选:C.
    7.答案:A
    解析:由题意圆心为,,因此,直线方程为,即,故选A.
    8.答案:B
    解析:由题意圆的圆心,半径,
    圆的圆心,,


    当且仅当时等号成立.
    故选:B.
    9.答案:A
    解析:将曲线整理可得,,
    因此曲线表示的是以为圆心,半径为2的下半圆,
    若直线与曲线有公共点,如下图所示:
    当直线在直线m的位置,即时,直线与曲线有一个公共点;
    当直线在直线n的位置,即直线与曲线相切,
    此时,解得,(舍);
    只有直线位于两直线m,n之间时,满足题意,即.
    故选:A
    10.答案:2
    解析:
    ,解得
    故答案为:2
    11.答案:
    解析:联立两条直线方程,解得,
    即交点坐标为;
    易知直线的斜率为,可得所求直线的斜率为3;
    由直线的点斜式方程可得,即.
    故答案为:
    12.答案:
    解析:设圆心,,则由题意得,,,即圆O的方程是
    13.答案:
    解析:因为,即,
    令,得,
    故直线恒过定点,
    由圆可知圆心,半径为5,
    又因为,故点在圆内,
    当时,取得最小,
    因为
    所以.
    故答案为:.
    14.答案:4
    解析:因为圆关于直线对称,
    所以圆心在直线上,
    所以,即.
    又圆的半径为,
    当点与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,
    又点与圆心的距离为:
    ,当时取等号,
    所以切线长的最小值为.
    故答案为:4.
    15.答案:
    解析:将方程化为圆的标准方程,得,
    圆心坐标为,半径,
    圆上至少有三个不同点到直线的距离为,
    圆心到直线的距离应小于或等于.
    由点到直线的距离公式得:,
    ,整理得,
    解得,
    直线的斜率.
    故答案为:.
    16.答案:(1);
    (2).
    解析:(1)在中,由可得,,又,
    由余弦定理可得;
    (2)因为,由(1)可得,,
    故,,
    所以.
    17.答案:(1);
    (2)当时,,
    当时,.
    (3)或或.
    解析:(1)设直线l的方程为.
    令,得,
    ,.
    直线l的方程为.
    (2)当时,直线l的方程是
    ,即
    当时,直线l的方程是.
    (3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
    当,时,l的方程为;
    直线过,.
    又,
    ,解得,或.
    当时,直线过原点且过,
    l的方程为.
    综上所述,直线l的方程为或或.
    18.答案:(1);
    (2)或
    解析:(1)设圆的半径为,则,
    所以的标准方程为.
    (2)设圆心到直线l的距离为d,则,解得:,
    当直线l的斜率不存在时,,此时圆心到l的距离为1,符合题意;
    当直线的斜率存在时,设直线l的方程为:,
    化简得:,则,解得:,
    即.
    综上,直线l的方程为或.
    19.答案:(1)证明见解析;
    (2);
    (3)存在,M在的两个三等分点处
    解析:(1)如图所示:连接交于G,连接,则G为中点,E是棱的中点,
    故,,,故平面.
    (2)以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,
    设平面的法向量为,则,
    取,得到,,
    直线与平面所成角的正弦值为.
    (3)假设存在,,设,
    即,故,
    设平面的法向量为,则,
    取,得到,
    ,化简得到,解得或.
    故M在的两个三等分点处.
    20.答案:(1);
    (2)证明见解析;
    (3)
    解析:(1)设圆心,由题意得到圆M的圆心坐标为,
    又圆C与圆M关于直线对称,
    ①,
    又直线的斜率为,
    直线的斜率为1,即②,
    联立①②解得:,
    圆心C坐标为,又在圆C上,
    所以,
    圆C的方程为;
    (2)设直线的方程为,,,
    由,消去y得:,
    ,,

    即,
    的平分线为垂直于x轴的直线,又,
    则的内切圆的圆心在直线上;
    (3)若,结合(2)可知:,,
    直线的方程为,
    圆心O到直线的距离,

    同理可得:,
    .

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