天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测（10月）数学试卷(含答案)

这是一份天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测（10月）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．向量,，若，则x的值为( )
A.B.1C.D.3
2．过点且平行于直线的直线方程为( )
A.B.C.D.
3．若点到直线的距离是，则实数a为( )
A.B.5C.或5D.或3
4．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于( )
A.24B.20C.4D.0
5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为( )
A.B.C.D.
6．下列命题中正确的是( )
A.点关于平面yOz对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为,平面的法向量为,则
C.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,则直线l与平面所成的角为
D.已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若,则
7．若圆的弦被点平分，则直线的方程为( )
A.B.C.D.
8．已知圆与圆相外切，a，b为正实数，则的最小值为( )
A.2B.C.4D.
9．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
10．若向量，，满足条件，则_______.
11．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为_______.
12．已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线相切，则圆O的方程是_______.
13．已知直线恒过点P，过点P作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为_______.
14．若圆，关于直线对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值为_______.
15．若圆上至少有三个不同点到直线的距离为，则直线l的斜率取值范围是_______.
三、解答题
16．在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知,.
（1）求的值；
（2）的值.
17．求分别满足下列条件的直线l的方程.
(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过两点，;
(3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.
18．已知圆的圆心为坐标原点，且与直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l过点，直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程.
19．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，E是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上（不含端点）是否存在一点M，使得二面角的余弦值为?若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.
20．已知圆C过点且与圆关于直线对称，作斜率为1的直线l与圆C交于A，B两点，且点在直线l的左上方.
（1）求圆C的方程.
（2）证明：的内切圆的圆心在定直线上.
（3）若，求的面积.
参考答案
1．答案：D
解析：由，可得，解得，
故选：D.
2．答案：A
解析：设与直线平行的直线是,代入点得,得,所以直线方程是.
故选：A.
3．答案：C
解析：由点到直线的距离公式可得：，解得：或5
本题正确选项：C
4．答案：D
解析：由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
5．答案：C
解析：由题意，,和,之间夹角均为，结合平面向量线性运算有
故选：C
6．答案：C
解析：对于A,点关于平面yOz对称的点的坐标是,A选项错误;
对于B,若直线l的方向向量为,平面的法向量为,
,有,则或,B选项错误;
对于C,若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为,
则直线l与平面所成的角为,C选项正确;
对于D,已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,
若,则,解得,D选项错误.
故选:C.
7．答案：A
解析：由题意圆心为，，因此，直线方程为，即，故选A.
8．答案：B
解析：由题意圆的圆心，半径，
圆的圆心，，
，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B.
9．答案：A
解析：将曲线整理可得,,
因此曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆，
若直线与曲线有公共点，如下图所示：
当直线在直线m的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；
当直线在直线n的位置，即直线与曲线相切，
此时，解得，（舍）；
只有直线位于两直线m,n之间时，满足题意，即.
故选：A
10．答案：2
解析：
，解得
故答案为：2
11．答案：
解析：联立两条直线方程，解得，
即交点坐标为；
易知直线的斜率为，可得所求直线的斜率为3；
由直线的点斜式方程可得，即.
故答案为：
12．答案：
解析：设圆心,，则由题意得,,，即圆O的方程是
13．答案：
解析：因为，即，
令，得，
故直线恒过定点，
由圆可知圆心，半径为5，
又因为，故点在圆内，
当时，取得最小，
因为
所以.
故答案为：.
14．答案：4
解析：因为圆关于直线对称，
所以圆心在直线上，
所以，即.
又圆的半径为，
当点与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，
又点与圆心的距离为：
，当时取等号，
所以切线长的最小值为.
故答案为：4.
15．答案：
解析：将方程化为圆的标准方程，得，
圆心坐标为，半径，
圆上至少有三个不同点到直线的距离为，
圆心到直线的距离应小于或等于.
由点到直线的距离公式得：，
，整理得，
解得，
直线的斜率.
故答案为：.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，由可得，，又，
由余弦定理可得；
（2）因为，由（1）可得，，
故，，
所以.
17．答案：（1）；
（2）当时，，
当时，.
（3）或或.
解析：(1)设直线l的方程为.
令，得，
，.
直线l的方程为.
(2)当时，直线l的方程是
，即
当时，直线l的方程是.
(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
当，时，l的方程为；
直线过，.
又，
，解得，或.
当时，直线过原点且过，
l的方程为.
综上所述，直线l的方程为或或.
18．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）设圆的半径为，则，
所以的标准方程为.
（2）设圆心到直线l的距离为d，则，解得：，
当直线l的斜率不存在时，，此时圆心到l的距离为1，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为：，
化简得：，则，解得：，
即.
综上，直线l的方程为或.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，M在的两个三等分点处
解析：（1）如图所示：连接交于G，连接，则G为中点，E是棱的中点，
故，，，故平面.
（2）以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，得到，，
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在，，设，
即，故，
设平面的法向量为，则，
取，得到，
，化简得到，解得或.
故M在的两个三等分点处.
20．答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）设圆心，由题意得到圆M的圆心坐标为，
又圆C与圆M关于直线对称，
①，
又直线的斜率为，
直线的斜率为1，即②，
联立①②解得：，
圆心C坐标为，又在圆C上，
所以，
圆C的方程为；
（2）设直线的方程为，，，
由，消去y得：，
，，
，
即，
的平分线为垂直于x轴的直线，又，
则的内切圆的圆心在直线上；
（3）若，结合（2）可知：，，
直线的方程为，
圆心O到直线的距离，
，
同理可得：，
.