湖南省长沙市长沙县百熙实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份湖南省长沙市长沙县百熙实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若等腰三角形有一个角是，则它的底角为（ ）
A．B．C．或D．或
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，在中，CD是的平分线，交AC于E，若，，则（ ）.
A．5B．7C．10D．12
8．如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．如果与的乘积中不含x的一次项，那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．1
10．如图，，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且，则BD的长为（ ）
A．12B．7C．5D．14
11．如图，在等边中，BD平分交AC于点D，过点D作于点E，且，则AB的长为（ ）
A．3B．4.5C．6D．7.5
12．在平面直角坐标系中，若点，点，在坐标轴上找一点C，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到的个数是（ ）
A．3B．5C．6D．8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13．已知，则______．
14．已知的两条边长分别为2和5，则第三边c为奇数，则c为______．
15．如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，则点D到AB的距离为______．
16．若，且，求______．
17．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为______海里．
18．如图，在中，，D为BC的中点，，点P为AD边上的动点，点E为AB边上的动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（本小题6分）
计算：
（1）；
（2）.
20．（本小题8分）
先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中.
21．（本小题8分）
如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）在图中作出关于x轴对称的；
（2）写出各顶点坐标：______；______；______；
（3）求的面积．
22．（本小题8分）
如图，点A，D，B，E在同一直线上，.
（1）求证：；
（2），求的度数．
23．（本小题8分）
如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，，，.
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24．（本小题9分）
如图，在中，，于点D，于点E，AD、BE相交于点H，试说明：
（1）.
（2）
25．（本小题9分）
如图，为等边三角形，，点O为线段EC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，.
（1）求证：是等边三角形；
（2）求证：；
（3）若，，求OC.
26．（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知点B在y轴上，点A在第一象限，且，.
（1）若点C从点O出发，向x轴正半轴上运动，点D从点B出发，在线段OB上运动，C、D两点同时出发，
①如图1，连接BC，连接AD，若当，时，求BD的长度；
②如图2，连接AC，若D为BO中点时，，求证：；
（2）如图3，点N在x轴的负半轴，连接BN，若，，垂足为点F，，AD的延长线交BN于点E，P为OD上一动点，当时，取最小值，求此时PD的长（用含m的式子表示）.
答案和解析
1．【答案】A
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A.
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．【答案】D
【解析】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故选：D.
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．【答案】D
【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：D.
运用合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方进行逐一计算辨别．
此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方等运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行准确地计算．
4．【答案】C
【解析】解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角的度数是或
故选：C.
由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
5．【答案】C
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是n边形，内角和是，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．
解：根据多边形的外角和是，n边形的内角和是
设这个多边形是n边形，
根据题意得，
解得，
即这个多边形为六边形．
故选：C.
6．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.已知条件，还有公共角，然后再结合选项所给条件和全等三角形的判定定理进行分析即可．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：A、添加可利用ASA定理判定，故此选项不合题意；
B、添加不能判定，故此选项符合题意；
C、添加可得，可利用SAS定理判定，故此选项不合题意；
D、添加可利用AAS定理判定，故此选项不合题意；
故选B.
7．【答案】D
【解析】解：是的平分线，
，
，
，
，
为等腰三角形，
，
，
故选：D.
根据平分线及平行线的性质得，进而得，然后再根据可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键．
8．【答案】D
【解析】解：由作图过程可得，直线MN为线段AB的垂直平分线，
，
，
，
故选：D.
由作图过程可得，直线MN为线段AB的垂直平分线，则，可得由题意得，再根据可得答案．
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
9．【答案】A
【解析】解：
，
与的乘积中不含x的一次项，
，
解得：，
故选：A.
先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含x的一次项得出，再求出m即可．
本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
10．【答案】A
【解析】解：如图，，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且，
，
故选：A.
根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
11．【答案】C
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
平分交AC于点D，
，
故选：C.
由在等边三角形ABC中，，可求得，则可求得CD的长，又由BD平分交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12．【答案】D
【解析】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到8个．
故选：D.
根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以AB的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，AB的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
13．【答案】24
【解析】解：，
，
故答案为：24.
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加把变为，再代入计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．【答案】5
【解析】解：设第三边长为.
根据三角形的三边关系，则有，
即
因为第三边取奇数，
所以
故答案为：5.
先求出第三边的取值范围，找出其中为奇数的数，即为第三边的长．
本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
15．【答案】10
【解析】解：如图，过点D作于E，
，AD平分，
，
即点D到AB的距离为10.
故答案为：10.
过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16．【答案】20
【解析】解：
，且，
.
故答案为：20.
先对原式进行计算，再代入即可求得答案．
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
17．【答案】90
【解析】解：，
向北的方向线是平行的，
，
，
（海里），
故答案为：90.
根据平角的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质健康得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出，题目比较好，难度适中．
18．【答案】
【解析】解：在中，
，D为BC的中点，，
，，
连接CP，过点C作，
、C关于AD轴对称，
，
，
当E、P、C三点共线且时，最小值，
，
故答案为：.
根据等腰三角形三线合一可得，连接CP，过点C作，可得，当E、P、C三点共线且时，最小值，结合面积法即可求解．
本题主要考查最短路径问题，掌握等腰三角形三线合一以及面积法是解题的关键．
19．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
.
【解析】（1）先算单项式乘单项式、幂的乘方及积的乘方，最后算加法，即可得出答案；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，即可得出答案．
本题主要考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20．【答案】解：（1）
，
当，时，原式；
（2）
，
当时，原式
【解析】（1）根据单项式乘多项式、合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案；
（2）根据多项式乘多项式、合并同类项法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查的是整式的混合运算-化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）如图，即为所求．
（2）由图可得，，，.
故答案为：；；.
（3）的面积为
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．【答案】（1）证明：，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
【解析】（1）根据HL即可证明：；
（2）由（1）可知，再利用三角形的外角关系即可求出的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质是解题的关键．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
【解析】（1）利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可得；
（2）结合（1）得出，，根据等腰三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
24．【答案】解：（1），
，
，
，
，
在与中，
，
；
（2），
，
，，
，
【解析】（1）由“ASA”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．
25．【答案】证明：（1）为等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2），
，
在和中，
，
；
（3）为等边三角形，
，
由（1）（2）得：，，
，
.
【解析】（1）根据等边三角形的性质和判定解答即可；
（2）根据ASA证明即可；
（3）根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
26．【答案】（1）①解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②证明：如图2，过点A作轴于G，
则四边形ABOG为矩形，
，
矩形ABOG为正方形，
，
由①可知，，
，
为BO中点，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：延长BF交x轴于H，连接EH交OB于P，连接PN，
则取最小值，
，，
为NH的垂直平分线，
，
，
，
，
，
由（1）①可知，，
，
，
.
【解析】（1）①证明，根据全等三角形的性质得到；
②过点A作轴于G，由①的结论得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）延长BF交x轴于H，连接EH交OB于P，连接PN，证明，得到，由（1）①得到，证明，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、轴对称-最短路径问题以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理、根据轴对称的性质确定点P的位置是解题的关键．