高中数学7.1.1 角的推广优秀课后测评

这是一份高中数学7.1.1 角的推广优秀课后测评，文件包含人教B版2019高中数学必修第三册711角的推广分层练习原卷docx、人教B版2019高中数学必修第三册711角的推广分层练习解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。


题型一 任意角的概念
1．（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．锐角是第一象限角B．终边相等的角必相等
C．小于90∘的角一定在第一象限D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定义一一判定即可.
【详解】锐角是指大于0∘小于90∘的角，故其在第一象限，即A正确；
选项B．终边相等的角必相等，两角可以相差360∘整数倍，故错误；
选项C．小于90∘的角不一定在第一象限，也可以为负角，故错误；
选项D．根据任意角的定义，第二象限角可以为负角，第一象限角可以为正角，此时第二象限角小于第一象限角，故错误.
故选：A
2．（2021上·高一校考课时练习）下列各命题正确的是（ ）
A．第一象限角都是锐角
B．三角形的内角必是第一，二象限角
C．不相等的角终边必不相同
D．相等的角终边相同
【答案】D
【分析】取反例可判断ABC，根据角的相关概念可判断D.
【详解】390°为第一象限角，显然不是锐角，A错误；
90°为轴线角，不属于第一，二象限角，B错误；
30°与390°的终边相同，C错误；
两角相等终边相同，D正确.
故选：D
3．（2023下·高一课时练习）下列说法正确的有几个（ ）
（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于0°小于90°的角；
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据角的定义及象限角的确定方法来解答.
【详解】第一象限角的集合为α|0°+k⋅360°<α<90°+k⋅360°,k∈Z，
锐角是大于0°小于90°的角，锐角的集合为α|0°<α<90°，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，
故选：C.
4．（多选）（2021·高一课前预习）(多选)下列说法正确的是（ ）
A．锐角都是第一象限角
B．第一象限角一定不是负角
C．小于180°的角是钝角、直角或锐角
D．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
【答案】AD
【分析】A选项，锐角终边一定落在第一象限，故是第一象限角；BC选项，举出反例；D选项，当β=90°时，不是钝角.
【详解】锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，所以锐角是第一象限角，所以A正确；
－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；
0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：
由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
故选：AD
题型二 时钟问题
1．（2023·全国·高一课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（ ）
A．30°B．−30°C．60°D．−60°
【答案】D
【分析】计算分针走过的角度大小的同时考虑他的方向即可求解.
【详解】∵分针是顺时针走的，∴形成的角度是负角，
又分针走过了10分钟，
∴走过的角度大小为1060×360°=60°，
综上，分针走过的角度是−60°．
故选：D．
2．（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 .
【答案】−540°
【分析】由题意分针顺时针转过1圈半，结合任意角定义写出转过的角度.
【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过360∘×−32=−540∘.
故答案为：−540∘.
3．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为 .
【答案】−90°
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为1560×−360°，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为1560×−360°=−90°.
故答案为：−90°.
4（2023·全国·九年级随堂练习）时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ．
【答案】−480°
【分析】由时针走过得时间换算为以分钟为单位的时间，根据每60分钟转−360°（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角），由此即可求解.
【详解】因为时针走了1h 20min，所以分针也走了60+20=80min，
注意到分针每分钟转的角度为−360°60=−6°（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角），
所以时针走了1h 20min，则分针转过的角是−6°×80=−480°.
故答案为：−480°.
题型三 象限角的判定
1．（2023上·全国·高一专题练习）已知角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？
(1)420º；
(2)－75º；
(3)855º；
(4)－510º
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】根据任意角在坐标系中的画法画图即可，（画图标准为：角的顶点在原点，始边在x轴正半轴，正角逆时针旋转，负角顺时针旋转）进而可判断角所在象限.
【详解】解：
2． （多选）（2023下·湖南株洲·高一统考开学考试）已知下列各角：①−120∘；②180∘；③−240∘；④495∘，其中是第二象限角的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】CD
【分析】求出给定的各个角与0∘到360∘间终边相同的角，即可作答.
【详解】对于①，−120∘=−360∘+240∘，而240∘是第三象限角，①不是；
对于②，180∘角的终边为x轴非正半轴，②不是；
对于③，−240∘=−360∘+120∘，120∘是第二象限角，③是；
对于④，495∘=360∘+135∘，135∘是第二象限角，④是.
故选：CD
3. （2023上·山西吕梁·高一校联考阶段练习）角2024°的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据题意，由2024°=360°×5+224°即可得到结果.
【详解】因为2024°=360°×5+224°，
且180°<224°<270°，
所以角2024°的终边在第三象限.
故选：C
4．（2022下·高一单元测试）若α为第二象限角，则k⋅180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是（ ）
A．第二象限B．第一、二象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
【答案】D
【分析】根据给定条件，由α的范围求出k⋅180°+α(k∈Z)的范围，再分奇偶作答.
【详解】因为α为第二象限角，则2n⋅180°+90°<α<2n⋅180°+180°,n∈Z，
因此(2n+k)⋅180°+90°而2n为偶数，当k为奇数时，2n+k为奇数，则k⋅180°+α(k∈Z)为第四象限角，
当k为偶数时，2n+k为偶数，则k⋅180°+α(k∈Z)为第二象限角，
所以k⋅180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是第二、四象限.
故选：D
题型四 象限角与集合
1．（2023下·高一课时练习）若A=x|x=a−k⋅360°,k∈Z,B=x|x=a−k⋅180°,k∈Z﹐C=x|x=a+k⋅90°,k∈Z则下列关系中正确的是（ ）
A．A=B=CB．A=B∪C
C．A∪B=CD．A⊊B⊊C
【答案】D
【分析】分析终边相同的角，从而得到集合之间的关系即可.
【详解】由题意可知，对于集合A=x|x=a−k⋅360°,k∈Z，
则x−a=−k⋅360°,k∈Z，表示终边在x轴正半轴的角；
对于集合B=x|x=a−k⋅180°,k∈Z，
则x−a=−k⋅180°,k∈Z，表示终边在x轴上的角；
对于集合C=x|x=a+k⋅90°,k∈Z，
则x−a=k⋅90°,k∈Z，表示终边在坐标轴上的角；
所以A⊊B⊊C.
故选：D.
2．（2021·江苏·高一专题练习）已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B＝A∩CB．B∪C＝C
C．A⊆CD．A＝B＝C
【答案】B
【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解.
【详解】解：对A，如480∘在集合A∩C里，但是并不是钝角，所以不在集合B里，所以该选项错误；
对B，钝角大于90°，小于180°，故B C，故选项B正确；
对C，AC，如−210∘在第二象限，但是并不大于90∘，所以选项C错误；
对D，A＝B＝C错误. 如−210∘在第二象限，但是并不在集合B,C中.
故选：B
3．（2020·高一课时练习）若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是（ ）
A．A＝B＝CB．A＝B∩C
C．A∪B＝CD．A⊆B⊆C
【答案】D
【分析】利用终边相同的角的定义判断.
【详解】因为集合A是终边在x轴的非负半轴上的角的集合，
集合B是终边在x轴上的角的集合，
集合C是终边在坐标轴上的角的集合，
所以A⊆B⊆C．
故选：D
4．（多选）（2020上·海南省直辖县级单位·高一校考期末）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩CB．B∪C=C
C．B∩A=BD．A=B=C
【答案】BC
【分析】根据各集合所表示的角的范围一一分析即可.
【详解】对于A选项，A∩C除了锐角，还包括其它角，比如−330∘，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于90∘的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项，A,B,C中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC.
题型五 终边相同角
1．（2023上·湖南长沙·高一长沙市第十五中学校联考阶段练习）与800°角终边相同的角可以表示为（ ）
A．k⋅360°+100°，k∈ZB．k⋅360°+90°，k∈Z
C．k⋅360°+80°，k∈ZD．k⋅360°+70°，k∈Z
【答案】C
【分析】变换800°=360°×2+80°，得到答案.
【详解】800°=360°×2+80°，故与800°角终边相同的角可以表示为k⋅360°+80°，k∈Z.
故选：C.
2．（2023上·全国·高一专题练习）将−885°化为k⋅360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是 ．
【答案】(−3)×360°+195°
【分析】根据条件直接计算即可.
【详解】因为−885°=−1080°+195°=(−3)×360°+195°,
故答案为：(−3)×360°+195°
3．（2023上·浙江杭州·高一校联考阶段练习）在0∘∼360∘的范围内，与−520∘终边相同的角是（ ）
A．310∘B．200∘C．140∘D．20∘
【答案】B
【分析】根据终边相同角的性质进行求解即可.
【详解】与−520∘终边相同的角可以表示为360°k−520∘k∈Z，
由题意可知0°<360°k−520∘<360°⇒139因为k∈Z，所以k=2，
于是有360°×2−520∘=200°，
故选：B
4．（2023上·福建莆田·高一莆田第五中学校考阶段练习）与−2023°终边相同的最小正角是（ ）
A．137°B．223°C．43°D．133°
【答案】A
【分析】根据任意角的周期性，将−2023°化为360°⋅k+φ (0°<φ<360°)，即可确定最小正角.
【详解】因为−2023° =−360°×6+137°，
所以与−2023°终边相同的最小正角是137°.
故选：A.
题型六 n倍角的象限
1．（多选）（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）设α为第二象限角，则2α可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】CD
【分析】α为第二象限角，得到4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z)，得到答案.
【详解】α为第二象限角，故2kπ+π2<α<2kπ+πk∈Z，
所以4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z)，
所以2α可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或y轴的负半轴.
故选：CD
2．（多选）（2023下·高一单元测试）角θ2的终边在第三象限，则θ 的终边可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．y轴非负半轴D．第三或四象限
【答案】ABC
【分析】由角θ2的终边在第三象限可得180∘+k⋅360∘<θ2<270∘+k⋅360∘，k∈Z，进而可求360∘+k⋅720∘<θ<540∘+k⋅720∘，k∈Z则θ 的终边所在象限可定.
【详解】∵角θ2的终边在第三象限，
∴180∘+k⋅360∘<θ2<270∘+k⋅360∘，k∈Z，
∴360∘+k⋅720∘<θ<540∘+k⋅720∘，k∈Z．
∴θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴．
故选：ABC.
3．（2023下·高一课时练习）α在第一象限，则2α在第 象限.
【答案】第一或第二或者y轴正半轴
【分析】根据角的概念及象限角与轴线角即可判断.
【详解】因为α在第一象限，所以2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，
则4kπ<2α<π+4kπ,k∈Z，故2α第一或第二象限或者y轴正半轴.
故答案为：第一或第二或者y轴正半轴.
4．（2021下·高一课时练习）角θ的终边在第二象限，则角2θ的终边在 ．
【答案】第三、四象限或y轴非正半轴
【分析】写出角的范围，然后求解角2θ的终边所在位置即可．
【详解】解：θ是第二象限角，∴k·360°+90°<θ2k·360°+180°<2θ<2k·360°+360°，k∈Z．
2θ的终边的位置是第三或第四象限，y的非正半轴．
故答案为：第三、第四象限或y轴的非正半轴
题型七 n分角的象限
1．（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：
(1)α2；
(2)α3；
【答案】(1)α2的终边在第二或第四象限
(2)α3的终边在第二､第三或第四象限
【分析】由α为第四象限角可知3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，根据不等式的性质可得α2，2α，α3，3α角终边所在区域，对k分类讨论可得角终边所在的位置.
【详解】（1）由于α为第四象限角，所以3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，
所以3π4+kπ<α2<π+kπ,k∈Z，
当k=2n时，3π4+2nπ<α2<π+2nπ,n∈Z，终边在第二象限，
当k=2n+1时，7π4+2nπ<α2<2π+2nπ,n∈Z，终边在第四象限，
所以α2的终边在第二或第四象限；
（2）由（1）得π2+k⋅2π3<α3<2π3+k⋅2π3,k∈Z，
当k=3n时，π2+2nπ<α3<2π3+2nπ,n∈Z，终边在第二象限，
当k=3n+1时，7π6+2nπ<α3<4π3+2nπ,n∈Z，终边在第三象限，
当k=3n+2时，11π6+2nπ<α3<2π+2nπ,n∈Z，终边在第四象限，
所以α3的终边在第二､第三或第四象限；
2．（2023上·全国·高一专题练习）已知θ为第二象限角，那么θ3是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角
【答案】D
【分析】根据第二象限角的范围即可得30°+k·120°<θ3<60°+k⋅120°,k∈Z，根据k的取值即可求解.
【详解】∵θ为第二象限角，
∴90°+k·360°<θ<180°+k·360°，k∈Z，
∴30°+k·120°<θ3<60°+k⋅120°,k∈Z,
当k=0时，30°<θ3<60°，属于第一象限，
当k=1时，150°<θ3<180°，属于第二象限，
当k=−1时，−90°<θ3<−60°,属于第四象限，
∴θ3是第一、二或第四象限角．
故选：D
3．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期中）已知θ是第一象限角，那么（ ）
A．θ2是第一、二象限角B．θ2是第一、三象限角
C．θ2是第三、四象限角D．θ2是第二、四象限角
【答案】B
【分析】由θ是第一象限角，可得k⋅360°<θ<90°+k⋅360°，k∈Z，进而得到k⋅180°<θ2<45°+k⋅180°，k∈Z，进而求解.
【详解】因为θ是第一象限角，
所以k⋅360°<θ<90°+k⋅360°，k∈Z，
所以k⋅180°<θ2<45°+k⋅180°，k∈Z，
当k为偶数时，θ2是第一象限角，
当k为奇数时，θ2是第三象限角，
综上所述，θ2第一、三象限角.
故选：B.
4．（2023下·高一课时练习）已知角α是第三象限角，求α2，α3所在的象限.
【答案】α2在第二或第四象限；α3在第一，第三或第四象限
【分析】先写出角α满足的不等式，再分别写出α2，α3满足的不等式，根据不等式确定象限即可.
【详解】角α是第三象限角,即π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z,
对于α2：
π2+kπ<α2<3π4+kπ,k∈Z，
当k为偶数时，α2在第一象限；当k为奇数时，α2在第四象限；
故α2在第二或第四象限；
对于α3：
π3+23kπ<α3<π2+23kπ,k∈Z，
当k=3m,m∈Z时，α3在第一象限；当k=3m+1,m∈Z时，α3在第三象限；当k=3m+2,m∈Z时，α3在第四象限；
故α3在第一，第三或第四象限.
题型八 一个区域型角的表示
1．（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为 ．

【答案】α−120°+k⋅360°≤α≤135°+k⋅360°,k∈Z．
【分析】写出阴影部分边界处终边相同的角，再表示出阴影部分角的集合.
【详解】由图，阴影部分下侧终边相同的角为−120°+360°k，上侧终边相同的角为135°+360°k且k∈Z，
所以阴影部分（包括边界）的角α的集合为α−120°+k⋅360°≤α≤135°+k⋅360°,k∈Z.
故答案为：α−120°+k⋅360°≤α≤135°+k⋅360°,k∈Z
2．（2019上·安徽芜湖·高一校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角α的集合是 ．
【答案】α−50°+k⋅360°≤α≤40°+k⋅360°,k∈Z
【分析】由已知，分别表示出射线OA和射线OB终边所表示的角度，然后根据题意表示阴影部分的范围即可.
【详解】因为终边落在射线OA上的角的集合是为αα=−50°+k⋅360°,k∈Z，
终边落在射线OB上的角的集合为αα=40°+k⋅360°,k∈Z．
所以终边落在阴影部分处（包括边界）的角α的集合是α−50°+k⋅360°≤α≤40°+k⋅360°,k∈Z．
故答案为：α−50°+k⋅360°≤α≤40°+k⋅360°,k∈Z
3．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合 ．
【答案】θk⋅360°−30°<θ【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出．
【详解】阴影部分内的角的集合为θk⋅360°−30°<θ故答案为：θk⋅360°−30°<θ4．（2021·全国·高一专题练习）写出如图所示阴影部分的角α的范围.
（1） ；
（2） .
【答案】（1）{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}；（2）{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
【分析】（1）分别写出与45°角终边相同的角和与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角，再表示出其范围.
（2）分别写出与45°角终边相同的角和与－60°＋360°＝300°角终边相同的角，再表示出其范围.
【详解】（1）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式.
所以图（1）阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}.
（2）因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，
与－60°＋360°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，
所以图（2）中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.
题型九 两个区域型角的表示
1．（2023上·全国·高一专题练习）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈ .
【答案】{α|k⋅180°+30°<α【分析】先求得在0°∼360°范围内，终边落在阴影内的角的范围，继而即可求得.
【详解】在0°∼360°范围内，终边落在阴影内的角为；
30°<α<150°和210°<α<330°.
α∈{α|k⋅360°+30°<α={α|k⋅180°+30°<α故答案为：{α|k⋅180°+30°<α2．2023上·高一课时练习）已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角α2的取值范围是 ．
【答案】α215°+k⋅90°≤α2<52.5°+k⋅90°,k∈Z
【分析】根据图形先求出终边在30°角的终边所在直线上的角的集合和终边在180°−75°=105°角的终边所在直线上的角的集合，从而可求出角α的取值范围，进而可求得α2的取值范围
【详解】终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1=αα=30°+k⋅180°,k∈Z，
终边在180°−75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2=αα=105°+k⋅180°,k∈Z，
因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是α30°+k⋅180°≤α<105°+k⋅180°,k∈Z，
所以角α2的取值范围是α215°+k⋅90°≤α2<52.5°+k⋅90°,k∈Z，
故答案为：α215°+k⋅90°≤α2<52.5°+k⋅90°,k∈Z
3．（2022上·山东烟台·高一校考期末）如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是 .
【答案】α90∘+k⋅180∘≤α≤120∘+k⋅180∘,k∈Z
【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.
【详解】因为终边落在y轴上的角为90°+k⋅180°,k∈Z，
终边落在图中直线上的角为120°+k⋅360°=120°+2k⋅180°, k∈Z；
300°+n⋅360°=120°+180°+2n⋅180°=120°+(2n+1)⋅180°,n∈Z，
即终边在直线上的角为120°+k⋅180°，k∈Z，
所以终边落在阴影部分的角为90°+k⋅180°≤α≤120°+k⋅180°,k∈Z，
故答案为：α90°+k⋅180°≤α≤120°+k⋅180°,k∈Z
4．（2023下·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合α∣k⋅180∘≤α≤k⋅180∘+60∘,k∈Z中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】n分奇偶讨论，结合图象可得答案.
【详解】当k=2n,n∈Z时，α∣n⋅360∘≤α≤n⋅360∘+60∘,k∈Z，
当k=2n+1,n∈Z时，｛α|n⋅360∘+180∘≤α≤n⋅360∘+240∘,k∈Z},所以选项C满足题意.
故选：C.
题型十 终边对称角的表示
1．（2021上·高一课时练习）已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称，且α=−60∘，则β= .
【答案】−30∘+k⋅360∘,k∈Z
【分析】根据终边相同的角的概念写出β的表示.
【详解】因为−60∘与−30∘的终边关于直线y=−x对称，所以β的终边与−30∘角的终边相同，所以β=−30∘+k⋅360∘,k∈Z.
故答案为：−30∘+k⋅360∘,k∈Z.
2．（2021下·高一课时练习）若α与β的终边关于直线y=x对称，且α=30°，则β= ．
【答案】360°⋅k+60°,k∈Z
【分析】作出图示，根据终边相同的角的概念写出β的表示.
【详解】如下图所示：设α与β的终边上各有一点A,B，直线y=x第一象限内的部分上有一点C，
因为α=30°，所以∠AOx=30°,∠COx=45°，所以∠AOC=15°，
所以∠BOx=45°+15°=60°，
由终边相同的角的概念可知β=360°⋅k+60°,k∈Z，
故答案为：360°⋅k+60°,k∈Z.
3．（2020·高一课时练习）若角α的终边与60°角的终边关于直线y=x对称，且−360°<α<360°，则角α的值为 .
【答案】−330°或30°
【解析】结合图象找出角α的终边，根据{α|α=k⋅360°+30°,k∈Z}即可求解.
【详解】如图，设60°角的终边为OA，
射线OA关于直线y=x对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为90°−60°=30°，
∴以射线OB为终边的角的集合为{α|α=k⋅360°+30°,k∈Z}，
∴−360°<α<360°，−360°当k=−1时，α=−330°；当k=0时，α=30°.∴角α的值为−330°或30°.
故答案为：−330°或30°
【点睛】此题考查根据角的终边的对称性求解角的表示方式，再求出指定范围内的元素.
4．（2020·高一课时练习）若角α的终边与60°角的终边关于直线y=x对称,且−360°<α<360°,求角α的值.
【答案】−330°或30°.
【解析】根据对称性先找到锐角α，写出终边相同的角，适当取整数k，即可求出.
【详解】如图,
设60°角的终边为OA,
射线OA关于直线y=x对称的射线为OB,
则以射线OB为终边的一个角为90°−60°=30°,
∴以射线OB为终边的角的集合为αα=k⋅360°+30°,k∈Z.又−360°<α<360°,
∴−360°当k=−1时,α=−330°;当k=0时,α=30°.
∴角α的值为−330°或30°.
【点睛】本题主要考查了角的终边的对称性，终边相同的角，属于中档题.
1．（2022上·河南新乡·高一统考期末）“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.
【详解】当α是第四象限角时，3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，则3π4+kπ<α2<π+kπ,k∈Z，即α2是第二或第四象限角.当α2=3π4为第二象限角，但α=3π2不是第四象限角，故“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A
2．（2020·高一课时练习）已知角β的终边在直线3x−y=0上.则角β的集合S为 .
【答案】β|β=60°+n⋅180°,n∈Z
【分析】根据终边相同的角的表示法，可以分别写出终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，即可得答案；
【详解】如图，直线3x−y=0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1=β|β=60°+k⋅360°,k∈Z，S2=β|β=240°+k⋅360°,k∈Z，
所以，角β的集合
S=S1∪S2=β|β=60°+k⋅360°,k∈Z ∪β|β=60°+180°+k⋅360°,k∈Z
=β∣β=60°+2k⋅180°,k∈Z∪β|β=60°+(2k+1)⋅180°,k∈Z
=β|β=60°+n⋅180°,n∈Z}.
故答案为：β|β=60°+n⋅180°,n∈Z.
【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，考查运算求解能力，属于基础题.
3．（2021上·高一课时练习）已知α=−1910∘.
(1)把α写成β+k⋅360∘k∈Z,0∘≤β<360∘的形式，并指出它是第几象限角;
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且−720∘≤θ<0∘.
【答案】(1)α=250∘−6×360∘，第三象限角
(2)θ=−110∘或−470∘.
【分析】（1）利用终边相同的角的表示方法可将α表示为β+k⋅360∘k∈Z,0∘≤β<360∘的形式，再判断α所在的象限.
（2）由（1）可得θ=250∘+k⋅360∘k∈Z，然后解不等式−720∘≤θ<0∘，求出整数k的值，代入可求出θ的值.
【详解】（1）因为−1910∘=250∘−6×360∘
于是α=250∘−6×360∘，它是第三象限角.
（2）由（1）知θ=250∘+k⋅360∘k∈Z，
因为−720∘≤θ<0∘，所以−720∘≤250∘+k⋅360∘<0∘，即−9736≤k<−2536，
因为k∈Z，所以k=−1或k=−2.
当k=−1时，θ=250∘+−1×360∘=−110∘；
当k=−2时，θ=250∘+−2×360∘=−470∘．
所以θ=−110∘或−470∘.