高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算优秀精练

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题型一 向量的坐标与基底
1．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）下列向量组中，能作为基底的是（ ）
A．e1=(0,0),e2=(1,−2)B．e1=(−1,2),e2=(5,7)
C．e1=(3,5),e2=(6,10)D．e1=(2,−3),e2=(12,−34)
【答案】B
【分析】能作基底的两个向量不共线，判断各选项中的两个向量是否共线即可得解.
【详解】对于A，因e1=0，则有e1//e2，e1与e2不能作为基底；
对于B，因e1=(−1,2),e2=(5,7)，−1⋅7−2⋅5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；
对于C，因e1=(3,5),e2=(6,10)，则有e2=2e1，e1与e2不能作为基底；
对于D，因e1=(2,−3),e2=(12,−34)，则有e1=4e2，e1与e2不能作为基底.
故选：B
2．（多选）（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（ ）
A．e1=1,2，e2=4,−2B．e1=1,2，e2=0,0
C．e1=1,2，e2=2,4D．e1=1,2，e2=2,1
【答案】BC
【分析】判断两向量是否平行，如平行则不可以作为基底；
【详解】解：A，D选项，e1，e2不平行，可以作为基底；
B选项，零向量和任意向量平行，所以e1，e2不能作为基底；
C选项，2e1=e2，所以e1，e2平行，不能作为基底.
故选：BC.
3．在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．e1=0,0，e2=1,2B．e1=−1,2，e2=5,−2
C．e1=3,5，e2=6,10D．e1=2,−3，e2=−2,3
【答案】B
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，e1=0，不可以作为基底，A错误；
对于B，e1与e2为不共线的非零向量，可以作为一组基底，B正确；
对于C，∵e1=12e2，∴e1,e2共线，不可以作为基底，C错误；
对于D，∵e1=−e2，∴e1,e2共线，不可以作为基底，D错误.
故选：B.
4．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1=0，0，e2=1，−2
B.e1=5，7，e2=−1，2
C.e1=3，5，e2=6，10
D.e1=2，−3，e2=12，−34
【答案】B
【解析】A：零向量与任意向量都共线，故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底；
B：(−1)×7−2×5≠0，所以e1=5，7与e2=−1，2不共线，所以可以表示它们所在平面内所有向量的基底；
C：3×10−5×6=0，所以e1=3，5与e2=6，10是共线的，故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底；
D：2×(−34)−(−3)×12=0，所以e1=2，−3与e2=12，−34是共线的，故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底；故选B.
题型二 用坐标表示向量
1．（20-21高一下·全国·课时练习）已知OA＝(－2，1)，OB＝(0，2)且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标是（ ）
A．(2，6)B．(－2，－6)
C．(2，－6)D．(－2，6)
【答案】D
【分析】设C(x，y)，由已知可得AC,BC,AB的坐标，利用向量的平行，垂直关系即得．
【详解】设C(x，y)，则AC=(x+2,y−1),BC=(x,y−2),AB=(2,1)
∵AC∥OB ，∴2(x＋2)＝0.①
∵BC⊥AB，∴2x＋y－2＝0.②
由①②可得x=−2y=6 ∴C(－2，6)．
故选：D
2．（20-21高一下·北京通州·期末）已知点A（1，1），点B（5，3），将向量AB绕点A逆时针旋转π2，得到向量AC，则点C坐标为 ；|BC|= ．
【答案】 (−1,5) 210
【分析】由于向量AB绕点A逆时针旋转π2，得到向量AC，结合旋转后两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C坐标，再结合向量的模长公式，即可求解
【详解】解：设点C的坐标为(x,y)，
因为点A（1，1），点B（5，3），所以AB=(4,2),AC=(x−1,y−1)，
因为向量AB绕点A逆时针旋转π2，得到向量AC，
所以AB⋅AC=0，AB=AC，
所以4(x−1)+2(y−1)=0，且(x−1)2+(y−1)2=20，
解得x=3y=−3或x=−1y=5，
因为逆时针旋转，所以点C的坐标为(−1,5)，
所以BC=(−6,2)，
所以BC=(−6)2+22=210，
故答案为：(−1,5)，210
3．（20-21高一·上海·假期作业）已知点M−6,−8，若将OM绕原点顺时针转π2得到OM'，则点M'的坐标为 .
【答案】−8,6
【分析】设出M'的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得M'的坐标.
【详解】设M'x,y，
则OM⋅OM'=0OM=OM'，
即−6,−8⋅x,y=−6x−8y=0−62+−82=x2+y2，
y=−34xx2+y2=100，解得x=−8y=6或x=8y=−6，即−8,6或8,−6.
由于OM绕原点顺时针转π2得到OM'，所以M'坐标为−8,6.
故答案为：−8,6
4．（2022·高一课时练习）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若AB和CD是相反向量，则D点坐标是（ ）
A．(1，0)B．(－1，0)
C．(1，－1)D．(－1，1)
【答案】C
【分析】先由已知条件求出CD的坐标，再设D(x，y)，表示出CD的坐标，从而可求出D点坐标
【详解】∵AB与CD是相反向量，∴AB＝－CD.
又AB＝(1，1)，
∴CD＝(－1，－1).
设D(x，y)，则CD＝(x－2，y)＝(－1，－1).
从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1).
故选：C.
题型三 平面向量坐标线性运算
1．（2021春·江苏徐州·高一统考阶段练习）在▱ABCD中，若AD=2,8，AB=−3,4，则AC=（ ）
A．−1,−12B．−1,12C．1,−12D．1,12
【答案】B
【分析】根据平行四边形法则及加法的坐标运算，可得结果.
【详解】根据平行四边形法则可知，AB+AD=AC，
又AD=2,8，AB=−3,4，
∴AC=−1,12，
故选：B.
2．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）向量a ，b满足a+b=(−1 ， 5)，a−b=(5 ， −3)，则b=（ ）
A．(3 ， 4)B．(−3 ， 4)C．(3 ，− 4)D．(−3 ，− 4)
【答案】B
【分析】根据平面向量坐标运算法则计算可得；
【详解】解：因为a+b=−1,5，a−b=5,−3，所以a+b−a−b=−1,5−5,−3，
即2b=−6,8，所以b=−3,4；
故选：B
3. 已知OA、OB满足OA⋅OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOBm,n∈R.若OAOB=12，则mn=( )
A．63B．4C．23D．14
【答案】C
【分析】由OA⋅OB=0知OA⊥OB，根据题意，作出图像，根据几何关系即可求解.
【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形，
∵OA⋅OB=0，∴OA⊥OB.∵OC=mOA+nOB，故可分别作向量OC在OA,OB方向上的分向量EC，DC，其中EC=mOA,DC=nOB.∵点C在∠AOB内，且∠AOC=30∘，∴EC=3DC，即mOA=3nOB.又∣OA∣OB=12，∴m=23n，∴mn=23.故选：C.
4．已知向量a，b满足2a−b=0,3，a−2b=−3,0，λa+μb=−1,1，则λ+μ=（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】设出向量a，b的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数
【详解】设a=x1,y1，b=x2,y2，所以2x1−x2=02y1−y2=3，且x1−2x2=−3y1−2y2=0，解得x1=1y1=2，x2=2y2=1，即a=1,2，b=2,1.所以λa+μb=λ1,2+μ2,1=λ+2μ,2λ+μ=−1,1，则λ+2μ=−12λ+μ=1，解得λ=1μ=−1，故λ+μ=0.
故选：B
题型四 平面向量坐标与数量积
1．（22-23高一·全国·随堂练习）已知向量a，b的坐标，求a⋅b．
(1)a=5,6，b=−5,3；
(2)a=−3,−2，b=−1,2．
【答案】(1)−7；
(2)−1．
【分析】（1）由数量积的坐标表示计算；
（2）由数量积的坐标表示计算．
【详解】（1）由已知a⋅b=5×(−5)+6×3=−7；
（2）由已知a⋅b=−3×(−1)+(−2)×2=−1．
2．（22-23高一下·河南许昌·期末）已知向量m,n满足m=(t,1),n=(−2,t)，且m⋅n=−2，则t=（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
【答案】A
【分析】由m⋅n=−2，利用数量积的坐标运算列方程求解
【详解】因为m=(t,1),n=(−2,t)，且m⋅n=−2，
所以−2t+t=−2，解得t=2，
故选：A
3．（22-23高一下·广东阳江·期末）已知b=6,3，c=3,x，若b⋅c=30，则x等于（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】由平面向量的坐标运算即可得出答案.
【详解】由题意，∵b=(6,3)，c=3,x，b⋅c=30，
∴18+3x=30，解得：x=4.
故选：C.
4．（2024高一下·全国·专题练习）若向量a⃗=(x,2)，b⃗=＝(−1,3)，a⋅b=3，则x等于（ ）
A．3B．−3
C．53D．−53
【答案】A
【分析】根据向量数量积的坐标运算规则进行求解.
【详解】因为a⋅b=−x+6=3，
故x=3.
故选：A.
题型五 平面向量坐标与垂直
1．（23-24高一上·北京延庆·期末）向量a=2,1，b=1,x，若a⊥b，则（ ）
A．x=12B．x=−12C．x=2D．x=−2
【答案】D
【分析】根据垂直关系得到方程，求出答案.
【详解】由题意得a⋅b=2+x=0，解得x=−2.
故选：D
2．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知向量a=2,4，b=m,3，若a⊥b，则m=（ ）
A．－6B．−32C．32D．6
【答案】A
【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】因为a⊥b，则a⋅b=0，即2m+12=0，解得m=−6.
故选：A
3．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期末）已知平面向量AB=−1,k，AC=2,1，若△ABC是直角三角形，则k的取值是（ ）
A．2B．−2C．2或7D．2或5
【答案】C
【分析】先求出BC，再分别以A,B,C三个点为直角顶点分类讨论，结合向量垂直的坐标公式计算即可.
【详解】AB=−1,k，AC=2,1，则BC=AC−AB=3,1−k，
当A是直角顶点时：AB⋅AC=−1,k⋅2,1=−2+k=0，k=2；
当B是直角顶点时：AB⋅BC=−1,k⋅3,1−k=−3+k−k2=0，无解；
当C是直角顶点时：AC⋅BC=3,1−k⋅2,1=6+1−k=0，k=7；
综上所述：k=2或k=7.
故选：C.
4．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知向量a=m,2,b=1,1,c=1,3，且2a−b⊥c，则实数m的值为 ．
【答案】−4
【分析】借助向量垂直，则数量积为0计算即可得.
【详解】2a−b=2m−1,3，由2a−b⊥c，可得2a−b⋅c=0，
即有2m−1+9=0，解得m=−4.
故答案为：−4.
题型六 平面向量坐标与夹角
1．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知向量a=(−3,1)，b=(2,−23)，则a与b的夹角为 .
【答案】5π6
【分析】利用向量夹角的公式，代入计算，即可求解.
【详解】由题意设a→与b→的夹角为θ，θ∈0,π，
所以csθ=a→·b→a→b→=−432×4=−32，解得θ=5π6.
故答案为：5π6.
2．（22-23高一·全国·随堂练习）已知a=2,23−4，b=1,1，求a与b的夹角．
【答案】π3
【分析】运用向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，以及向量夹角的公式，计算即可得到所求值．
【详解】因为a=2,23−4，b=1,1，
所以a=4+23−42=42−3，b=2，
a⋅b=2+23−4=23−1，
所以csa,b=a⋅ba⋅b=23−142−3×2=4−2322×2−3=12，
由于0≤a,b≤π，则有a与b的夹角为π3．
3．（多选）（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角是π3的有（ ）
A．a=1，b=6，a⋅b−a=2B．a=b=1，a2+a⋅b=32
C．a=3,−1，b=23,2D．a=2,23，b=−3,0
【答案】ABC
【分析】根据向量数量积运算律和向量夹角公式可判断出AB正误；由向量夹角的坐标运算可求得CD正误.
【详解】对于A，∵a⋅b−a=a⋅b−a2=a⋅b−1=2，∴a⋅b=3，
∴csa,b=a⋅ba⋅b=31×6=12，又a,b∈0,π，∴a,b=π3，A正确；
对于B，∵a2+a⋅b=1+a⋅b=32，∴a⋅b=12，
∴csa,b=a⋅ba⋅b=12，又a,b∈0,π，∴a,b=π3，B正确；
对于C，∵csa,b=a⋅ba⋅b=6−22×4=12，a,b∈0,π，∴a,b=π3，C正确；
对于D，∵csa,b=a⋅ba⋅b=−6+04×3=−12，a,b∈0,π，∴a,b=2π3，D错误.
故选：ABC
4．（22-23高一下·河北邢台·阶段练习）已知点A−2,3，B−1,1，向量a=2,7，b=5,7，则AB与a−b的夹角的余弦值为（ ）
A．−55B．−255C．55D．255
【答案】A
【分析】根据向量运算法则以及夹角公式直接计算即可.
【详解】因为点A−2,3，B−1,1，向量a=2,7，b=5,7，
所以AB=1,−2，a−b=−3,0，
所以AB与a−b的夹角的余弦值csAB,a−b=AB⋅a−bAB⋅a−b=−35×3=−55.
故选：A
题型七 平面向量坐标与模长
1．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量a=1,3，b=3,1，则a+3b= .
【答案】27
【分析】根据向量的坐标运算，求得a+3b=4,23，结合模的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量a=1,3，b=3,1，所以a+3b=1,3+33,1=4,23，
所以a+3b=42+232=27.
故答案为：27.
2．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知向量OC=2,2，CA=1,2，则向量OA的模为 .
【答案】5
【分析】根据条件，利用向量的坐标运算，得到OA=(3,4)，再根据模长的定义即可求出结果.
【详解】因为OC=2,2，CA=1,2，又OA=OC+CA=(3,4)，
所以，OA=32+42=5，
故答案为：5.
3．（2024高一下·全国·专题练习）设向量a=(m,1),b=(1,2)，且a+b2=a2+b2，则m= ，a+b= .
【答案】 −2 10
【分析】由a+b2=a2+b2，化简得到a⋅b=0，列出方程求得m，再由向量模的坐标运算公式，即可求解.
【详解】由向量a=(m,1),b=(1,2)且a+b2=a2+b2，
可得a2+b2+2a⋅b=a2+b2，所以a⋅b=0，
则m×1+1×2=0，解得m=−2，所以a=(−2,1)，
所以a+b=(−1,3)，则a+b=(−1)2+32=10.
故答案为：−2；10.
4．（22-23高一下·湖南株洲·期中）已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝1，b=(3,1)．
(1)求|b|及a⋅b；
(2)求|a−2b|.
【答案】(1)|b|=2，a⋅b=1；
(2)|a−2b|=13.
【分析】（1）利用模长坐标公式求|b|，再由数量积的定义求a⋅b；
（2）应用向量数量积的运算律求|a−2b|即可.
【详解】（1）由题设|b|=(3)2+1=2，则a⋅b=a⋅bcsθ=1×2cs60°=1.
（2）由|a−2b|2=(a−2b)2=a2−4a⋅b+4b2 =12−4×1×2×cs60°+4×22=13，
所以|a→−2b→|=13.
题型八 投影向量
1．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）已知向量a=−1,3,a⋅b=−6,c=2b−a，则向量c在a上的投影向量的模等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】先求出a，c⋅a，再根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为a=−1,3，所以a=−12+32=2，
所以c⋅a=2b−a⋅a=2b⋅a−a2=2×−6−22=−16，
所以向量c在a上的投影向量的模为c⋅aa=−162=8.
故选：A.
2．（多选）（2023高一·全国·专题练习）已知向量a=2,1，b=−3,1，则（ ）
A．与向量a方向相同的单位向量是255,55
B．a+b⊥a
C．向量a在向量b上的投影向量是−102a
D．a+2b=5
【答案】ABD
【分析】利用模长可求与向量a共线且同方向的单位向量，从而可判断A的正误；利用向量垂直的坐标形式可判断B的正误，利用向量的模长公式和投影数量的公式可判断CD的正误.
【详解】对于A，∵向量a=2,1，b=−3,1，
∴与向量a共线且方向相同单位向量为aa=2,122+12=255,55，故A正确；
对于B，因为a=2,1，b=−3,1，故a+b=−1,2，所以
a+b⋅a=−1×2+2=0，故a+b⊥a成立，故B正确
对于C，向量a在向量b上的投影向量是
aa⋅bab⋅bb=2×−3+1×110⋅b=−12b，故C错误；
对于D，a+2b=2,1+2−3,1=−4,3，故a+2b=−42+32=5，故D正确.
故选：ABD.
3．（22-23高一下·河北邯郸·期中）已知向量a=−3,3，b=1，且a，b的夹角为π6，则b在a上的投影向量的坐标为 ，a−b=
【答案】 −34,34 7
【分析】直接利用投影向量的公式和向量的模的公式，即可求得本题答案；
【详解】因为a=−3,3，所以a=(−3)2+32=23，
所以，b在a上的投影向量的坐标=b⋅csπ6⋅aa=1×32×(−3,3)23=−34,34，
所以，a−b=(a−b)2=a2−2a⋅b+b2=（23）2−2×23×1×32+1=7.
故答案为：−34,34；7
4．（22-23高一下·新疆阿克苏·阶段练习）已知平面向量a，b，c，且a=2,1，
(1)若a⊥c，且c=5，求向量c的坐标；
(2)若b=1,1，求a在b方向的投影向量（用坐标表示）.
【答案】(1)(5,−25)或(−5,25)
(2)32,32
【分析】（1）设c→=(x,y)，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解;
（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解a在b方向的投影向量即可.
【详解】（1）设c→=(x,y)，
因为a⊥c，且c=5，
所以2x+y=0x2+y2=25，解得x=5y=−25或x=−5y=25，
所以c→=(5,−25)或c→=(−5,25).
（2）a在b方向的投影向量为a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=(2×1+1×1)(1,1)(12+12)2=32,32.
题型九 平面向量坐标与锐角、钝角问题
1．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知向量a=(2,k),b=(−1,3)，若a,b的夹角θ是锐角，则实数k的取值范围为 .
【答案】(23,+∞)
【分析】根据向量的夹角公式可知：a⋅b>0且a与b不同向共线，再结合a与b的坐标表示可以发现a与b不可能同向共线，解不等式即可求解.
【详解】因为向量a=(2,k),b=(−1,3)，且a,b的夹角θ是锐角，
由向量的夹角公式可知：a⋅b>0且a与b不同向共线，
由a⋅b>0可得：−2+3k>0，解得：k>23，
由向量a=(2,k),b=(−1,3)可知：a与b不可能同向共线，
综上可知：k>23，
故答案为：(23,+∞).
2．（21-22高一下·山东泰安·期中）设向量a=1,−x,b=x,−4，若向量a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是
【答案】−∞,−2∪−2,0
【分析】向量a与b的夹角为钝角，故两向量的数量积小于0，且两向量不能共线，利用坐标法即可求解.
【详解】由于a=1,−x,b=x,−4，向量a与b的夹角为钝角，
所以a⋅b