高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切精品一课一练

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题型一 两角和与差正弦公式求值
1．（20-21高一下·陕西渭南·期末）下列表达式中，正确的是（ ）
A．sin(α+β)=csαsinβ+sinαcsβB．cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβ
C．sin(α−β)=csαsinβ−sinαcsβD．cs(α−β)=csαcsβ−sinαsinβ
【答案】A
【分析】根据两角和差的正余弦公式，直接判断选项.
【详解】根据两角和差的正余弦公式，可知A正确；
B.改为cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ；
C.改为sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ；
D. 改为cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ.
故选：A
2．（22-23高一下·北京丰台·期末）已知sinα=45，α∈(0,π2)，则sin(α−π4)=（ ）
A．210B．−210C．7210D．−7210
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出csα,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为sinα=45,α∈(0,π2),
所以csα=1−452=35,
则sin(α−π4)=sinαcsπ4−csαsinπ4=22×45−22×35=210.
故选：A.
3．（19-20高一下·江西抚州·开学考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角α终边上有一点P3,−1，则sinα+π4=
A．−32B．6−24
C．2−64D．2+64
【答案】B
【分析】根据任意角三角函数定义可求得sinα,csα代入两角和的正弦公式可求得结果.
【详解】∵P(3,−1)在终边上, ∴sinα=−13+1=−12,csα=33+1=32.
∴sinα+π4=sinαcsπ4+csαsinπ4=−12×22+32×22=6−24.
故选:B.
【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求解三角函数值的问题,涉及到任意角三角函数的定义,属于基础题.
4．（21-22高一上·新疆·期末）已知sin(π−α)csβ=13，csαsinβ=sin29π6，则sin(α+β)= ．
【答案】56
【分析】化简已知sinαcsβ=13， csαsinβ=12，即得解.
【详解】解：由题得sinαcsβ=13， csαsinβ=12，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=13+12=56.
故答案为：56
题型二 两角和与差正弦公式逆用
1．（23-24高一上·安徽·期末）计算sin50°cs10°+sin40°sin10°=（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
【答案】B
【分析】由两角和的正弦公式求解即可.
【详解】因为sin50°cs10°+sin40°sin10°= sin50°cs10°+cs50°sin10° =sin50°+10°=sin60°=32.
故选：B
2．（22-23高一下·江苏盐城·阶段练习）计算sin48°cs18°−cs48°cs72°的结果等于（ ）
A．12B．33C．22D．32
【答案】A
【分析】由诱导公式结合差角公式求解即可.
【详解】sin48°cs18°−cs48°cs90°−18° =sin48°cs18°−cs48°sin18°=sin48°−18°=sin30°=12
故选：A
3．（22-23高一下·广东云浮·阶段练习）sin21°cs81°−sin69°cs9°= ．
【答案】−32
【分析】利用诱导公式及逆用正弦差角公式得到答案.
【详解】由诱导公式得sin69°=cs21°,cs9°=sin81°，
所以sin21°cs81°−sin69°cs9°=sin21°cs81°−cs21°sin81°
=sin21°−81°=sin−60°=−32.
故答案为：−32
4．（21-22高一下·陕西榆林·期中）sin3π4csπ12+csπ4sin13π12= ．
【答案】12##0.5
【分析】由诱导公式得sin3π4=sinπ4 ，sin13π12=sinπ12 ，然后逆用两角差的正弦公式即可得到答案
【详解】sin3π4csπ12+csπ4sin13π12=sinπ4csπ12−csπ4sinπ12=sinπ4−π12=sinπ6=12．
故答案为：12
题型三 两角和与差正切公式求值
1．（21-22高一下·陕西咸阳·期末）已知tanα+π4=3，则tanα=（ ）
A．−12B．12C．-2D．2
【答案】B
【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.
【详解】由tan(α+π4)=3，
得tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=tanα+11−tanα=3，
解得tanα=12.
故选：B
2．（2023·湖南岳阳·高一专题）已知α∈0,π2，且tanα=34，则tanα−π4的值等于（ ）
A．−17B．−14C．−1D．17
【答案】A
【分析】利用两角和差正切公式直接求解即可.
【详解】tanα−π4=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=34−11+34=−17.
故选：A.
3. （20-21高一下·江苏·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P(1,4)是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ(0<0<π)角后到达了3π4角的终边，则tanθ= ．
【答案】53
【分析】由三角函数的定义可得tanα=4，再由两角差的正切公式即可得出结果.
【详解】由题意可知tanα=4，α+θ=3π4,θ=3π4−α(0<θ<π)
所以tanθ=tan(3π4−α)=−1−tanα1+(−tanα)=−1−41−4=53
故答案为：53
4．（20-21高一·北京昌平·期中）已知tanα=3，tanβ=2，则tanα+β=
【答案】-1
【分析】利用两角和的正切公式求解.
【详解】因为tanα=3，tanβ=2，
所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=2+31−2×3=−1，
故答案为：-1
题型四 两角和与差正切公式逆用
1．（2024高一上·全国·专题练习）tan74°+tan76°1−tan74°tan76°= .
【答案】−33/−133
【分析】利用正切的和角公式即可求出结果.
【详解】因为tan74°+tan76°1−tan74°tan76°=tan(74°+76°)=tan150°=−33，
故答案为：−33．
2．（21-22高一下·四川成都·期末）tan45°−tan15°−33tan45°tan15°=（ ）
A．3B．3−2C．−33D．33
【答案】D
【分析】根据正切两角差的公式即可求解.
【详解】因为tan45°−tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°−15°)⇒tan45°−tan15°=33(1+tan45°tan15°)；
故tan45°−tan15°−33tan45°tan15°=33(1+tan45°tan15°)−33tan45°tan15°=33，
故选：D
3．（21-22高一下·江苏宿迁·期中）在△ABC中，已知tanA+tanB+3tanAtanB=3，则C=
【答案】120°
【分析】运用正切的和差公式tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB.
【详解】由题意可知，tanA+tanB=3(1−tanAtanB)
所以，tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=3（1−tanAtanB）1−tanAtanB=3
∵ 0°故C=180°−(A+B)=120°
故答案为:120°
4．（21-22高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）计算cs15°−sin15°cs15°+sin15°=（ ）
A．33B．1C．12D．2
【答案】A
【分析】先分子分母同除cs15°，再结合正切的差角公式求解即可.
【详解】cs15°−sin15°cs15°+sin15°=1−tan15°1+tan15°=tan45°−tan15°1+tan45°⋅tan15°=tan45°−15°=tan30°=33，
故选：A
题型五 化简求值
1．（23-24高一上·重庆·期末）cs20°−2sin10°2sin20°=（ ）
A．32B．2C．3D．2
【答案】A
【分析】根据sin10°=sin30°−20°，结合两角差的正弦公式计算即可.
【详解】cs20°−2sin10°2sin20°=cs20°−2sin30°−20°2sin20°
cs20°−cs20°+3sin20°2sin20°=32.
故选：A.
2．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）sin6°+sin9°cs15°cs6°−sin9°sin15°= ．
【答案】2−3/−3+2
【分析】将6°拆成15°−9°，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到tan15°，再将15°拆成60°−45°，计算即得.
【详解】sin6°+sin9°cs15°cs6°−sin9°sin15° =sin(15°−9°)+sin9°cs15°cs(15°−9°)−sin9°sin15° =sin15°cs9°−cs15°sin9°+sin9°cs15°cs15°cs9°+sin15°sin9°−sin9°sin15° =sin15°cs9°cs15°cs9° =tan15° =tan(60°−45°) =3−11+3 =(3−1)22 =2−3.
故答案为：2−3.
3．（23-24高一·全国·假期作业）sin47°−sin17°cs30°cs17°= ．
【答案】12/0.5
【分析】注意所求式中角的关系，对47∘进行拆角为30∘+17∘，利用和角公式化简即得.
【详解】由sin47∘−sin17∘cs30∘cs17∘ =sin(30∘+17∘)−sin17∘cs30∘cs17∘
=sin30∘cs17∘+cs30∘sin17∘−sin17∘cs30∘cs17∘ =sin30∘cs17∘cs17∘=sin30∘=12.
故答案为：12.
4．（多选）（23-24高一上·陕西西安·期末）下列选项中正确的有（ ）
A．若 α是第二象限角，则 tanα1sin2α−1=−1
B．1−2sin100°cs280°cs370°−1−cs2170°=1
C．2cs10°−sin20°sin70°=3
D．1+tan15∘1−tan15∘=−3
【答案】ABC
【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；对于B，可利用sinα−csα2=1−2sinαcsα及同角三角函数基本关系化简；对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；对于D，可利用两角和的正切公式化简.
【详解】对于A，因为α是第二象限角，所以sinα>0,csα<0，
从而tanα1sin2α−1=sinαcsα⋅csαsinα=−1，故A正确；
对于B，1−2sin100°cs280°cs370°−1−cs2170°=1−2sin80°cs80°cs10°−1−cs210°=sin80°−cs80°cs10°−sin10°
=cs10°−sin10°cs10°−sin10°=1，故B正确；
对于C，2cs10°−sin20°sin70°=2cs30°−20°−sin20°cs20°=3cs20°cs20°=3，故C正确；
对于D，1+tan15°1−tan15°=tan45°+tan15°1−tan45°⋅tan15°=tan45°+15°=3，故D错误.
故选：ABC.
题型六 加减型凑角求值
1．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知α，β都是锐角，sinα=45，csα+β=513，则sinβ=（ ）
A．413B．1665C．3665D．5665
【答案】B
【分析】利用同角三角函数关系得到sinα+β=1213和csα=35，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案.
【详解】因为α，β都是锐角，所以α+β∈0,π，
故sinα+β=1−cs2α+β=1213，
又sinα=45，所以csα=1−1625=35，
所以sinβ=sinα+β−α=sinα+βcsα−csα+βsinα
=1213×35−513×45=1665.
故选：B
2．（23-24高一下·山东临沂·开学考试）已知tanα+β=25，tanβ−π4=14，则 tanα+π4的值是（ ）
A．1318B．322C．1312D．16
【答案】B
【分析】利用两角差的正切公式求解.
【详解】因为tanα+β=25，tanβ−π4=14，
所以tanα+π4=tanα+β−β−π4，
=tanα+β−tanβ−π41+tanα+β⋅tanβ−π4=25−141+25⋅14=322，
故选：B
3．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知α为锐角，csα=35．
(1)求tanα的值；
(2)若sin(α+β)=−55，求sinβ的值．
【答案】(1)43
(2)−11525或55
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）由题意利用同角三角函数的基本关系求得csα+β的值，再利用两角差的正弦公式，求得sinβ=sinα+β−α的值．
【详解】（1）∵α为锐角，csα=35 ∴sinα=1−cs2α=45
∴tanα=sinαcsα=43.
（2）∵sin(α+β)=−55 ∴cs(α+β)=±255
∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα =−11525或55.
4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知α,β都是锐角，
(1)若sinα=45,csα+β=513，求sinβ的值；
(2)若tanα=17,sinβ=1010，求tanα+2β的值．
【答案】(1)1665
(2)1
【分析】（1）由平方关系以及两角和差的正弦公式即可求解.
（2）由平方关系以及两角和差的正切公式即可求解.
【详解】（1）∵已知α,β都是锐角，sinα=45,∴csα=1−sin2α=35．
∵csα+β=513,∴sinα+β=1−cs2α+β=1213，
∴sinβ=sinα+β−α=sinα+βcsα−csα+βsinα=1213×35−513×45=1665.
（2）已知α,β都是锐角，tanα=17,sinβ=1010,∴csβ=1−sin2β=31010，
tanβ=sinβcsβ=13，∴tan2β=2tanβ1−tan2β=34，
∴tanα+2β=tanα+tan2β1−tanα⋅tan2β=1．
题型七 已知一个角型凑角求值
1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）若α∈0,π2，且csα−π6=35，则sinα的值为（ ）
A．3+4310B．43−310
C．3±4310D．43±310
【答案】A
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得sinα−π6=45，再利用两角和的正弦公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为α∈0,π2，可得α−π6∈−π6,π3，
又因为csα−π6=35所以sinα−π6=1−cs2α−π6=45，
则sinα=sinα−π6+π6=32sinα−π6+12csα−π6=3+4310.
故选：A.
2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0<α<π2，csα+π3=14，则sinα=（ ）
A．15−38B．15+38C．35+18D．35−18
【答案】A
【分析】由平方关系以及两角差的正弦公式即可求解.
【详解】因为0<α<π2，csα+π3=14>0,π3<α+π3<5π6，
所以π3<α+π3<π2，sinα+π3=1−116=154，
所以sinα=sinα+π3−π3=sinα+π3csπ3−csα+π3sinπ3
=154×12−14×32=15−38.
故选：A.
3．（23-24高一下·河南新乡·开学考试）已知csθ=35，θ∈π,2π，求sinθ+π6以及tanθ−π4的值．
【答案】sinθ+π6=3−4310，tanθ−π4=7
【分析】利用同角三角函数基本关系得到sinθ，tanθ，然后根据和差公式求sinθ+π6和tanθ−π4即可.
【详解】因为csθ=35 θ∈π,2π，所以sinθ=−45，tanθ=−43，
sinθ+π6=sinθcsπ6+csθsinπ6 =−45×32+35×12 =3−4310，
tanθ−π4=tanθ−tanπ41+tanθ⋅tanπ4=−43−11+−43=7.
4．（23-24高一上·广西河池·期末）已知sin60∘+α=45,60∘<α<120∘，则tanα的值为（ ）
A．43−310B．253−4839C．253+4839D．4−3310
【答案】C
【分析】利用同角关系得到cs60∘+α=−35，tan60∘+α=−43,进而利用配角法与两角差的正切公式可得结果.
【详解】∵60∘<α<120∘，∴120∘<60∘+α<180∘，
又sin60∘+α=45，∴cs60∘+α=−35，tan60∘+α=−43,
所以tanα=tan60∘+α−60∘=tan60∘+α−tan60∘1+tan60∘+αtan60∘=253+4839.
故选：C
题型八 在三角形中的应用
1．（23-24高一上·山东聊城·期末）在△ABC中，A=π3，AB边上的高等于33AB，则tan∠ACB= ．
【答案】33
【分析】由题意得AD=CDtanA=13c【详解】由题意设CD为AB边上的高，CD=33AB=33c，
又A=π3，所以AD=CDtanA=33ctanπ3=13c
BD=c−13c=23c，tan∠BCD=23c33c=233，
又tan∠ACD=tanπ2−π3=tanπ6=33，
所以tan∠ACB=233+331−233×33=33.
故答案为：33.
2．（2024高一上·全国·专题练习）已知锐角三角形ABC中，三内角A，B，C分别对应三边a，b，c．若B=π6，则csA+sinC的取值范围为 ．
【答案】32,32
【分析】根据三角形内角关系以及三角恒等变换整理得csA+sinC=3sinC−π6，注意到π3【详解】因为B=π6，则A+C=5π6，即A=5π6−C，
则csA+sinC=cs5π6−C+sinC=−32csC+12sinC+sinC
=332sinC−12csC=3sinC−π6，
由于△ABC为锐角三角形，所以0<5π6−C<π20则π6所以csA+sinC的取值范围为32,32．
故答案为：32,32.
3．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知非直角三角形△ABC中，满足A+2B=2π3，tanA2tanB=2−3，则A= ，B= .
【答案】 π6/16π π4/14π
【分析】由已知及三角形内角和的性质得A=2π3−2B，然后利用两角差的正切公式求得tanB=1或tanB=2−3，再结合角的范围求出B=π4，进一步求出A=π6，即可解答.
【详解】由题意知A+B+C=πA+2B=2π3，所以C=π3+B，A=2π3−2B，
又tanA2tanB=2−3即tanπ3−BtanB=2−3，所以3−tanB1+3tanBtanB=2−3，
所以tanB2−3−3tanB+2−3=0，解得tanB=1或tanB=2−3，
又0所以B=π4，所以A=2π3−π2=π6.
故答案为：π6；π4
4．（2024高二上·广东·学业考试）△ABC的三个内角是A,B,C，且tanA,tanB是方程3x2−5x+1=0的两个实数根，则△ABC是 三角形．
【答案】钝角
【分析】根据韦达定理可得tanA+tanB=53,tanA⋅tanB=13,进而根据和差角公式即可求解.
【详解】由于tanA,tanB是方程3x2−5x+1=0的两个实数根，
所以tanA+tanB=53,tanA⋅tanB=13,
所以tanA+B=tanA+tanB1−tanA⋅tanB=52>0,
又tanA+B=−tanC=52>0,故tanC<0,C∈0,π,C为钝角，
因此△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角
1．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知θ∈0,π4，sin4θ+cs4θ=1725，则tanθ+π4=（ ）
A．13B．12C．2D．3
【答案】D
【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于sinθ、csθ的方程组，解出这两个量的值，可得出tanθ的值，再利用两角和的正切公式可求得tanθ+π4的值.
【详解】由已知可得sin4θ+cs4θ=1725sin2θ+cs2θ=10所以，tanθ=sinθcsθ=55⋅525=12，
故tanθ+π4=tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=12+11−12×1=3.
故选：D.
2．（多选）（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角α,β0<α<β<π2的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A,B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则（ ）

A．∠AOB=β−α
B．OM=csβ−α2
C．点C的坐标为csα+β2,sinα+β2
D．点M的坐标为csα+β2csβ−α2,sinα+β2sinβ−α2
【答案】ABC
【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.
【详解】对于A：因为∠AOx=α,∠BOx=β，0<α<β<π2，所以∠AOB=β−α，正确；
对于B：依题意M为线段AB的中点，则OM⊥AB，则∠AOM=β−α2，
又OA=1，所以OM=OAcs∠AOM=csβ−α2，正确；
对于C：M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为AB的中点，
所以∠COx=α+β−α2=α+β2，
又OC=1，所以点C的坐标为csα+β2,sinα+β2，正确；
对于D：xM=12xA+xB=12(csα+csβ)=12csα+β2+α−β2+csα+β2−α−β2
=12csα+β2csα−β2−sinα+β2sinα−β2+csα+β2csα−β2+sinα+β2sinα−β2
=12⋅2csα+β2csα−β2=csα+β2csα−β2，
yM=12yA+yB=12(sinα+sinβ)=12sinα+β2+α−β2+sinα+β2−α−β2
=12sinα+β2csα−β2+csα+β2sinα−β2+sinα+β2csα−β2−csα+β2sinα−β2
=12⋅2sinα+β2csα−β2=sinα+β2csα−β2，
所以点M的坐标为csα+β2csβ−α2,sinα+β2csβ−α2，错误.
故选：ABC
3．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinB=3sinCsinA，则tanA+tanB+tanC的最小值为 ．
【答案】12
【分析】由题意求得tanA+tanC=3tanAtanC，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，化简tanA+tanB+tanC，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，在锐角△ABC中，sinB=sin(A+C)=3sinCsinA，
sinAcsC+sinCcsA=3sinCsinA，
等式两边同时除以csAcsC，得tanA+tanC=3tanAtanC，
又tanB=−tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC−1>0，
所以tanA+tanC=tanB(tanAtanC−1)，
得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，且tanAtanC−1>0，
所以tanA+tanB+tanC=tanAtanC⋅tanA+tanCtanAtanC−1，
令tanAtanC−1=m，则m>0，
故tanA+tanB+tanC=(m+1)⋅tanA+tanCm=(m+1)⋅3tanAtanCm
=(m+1)⋅3(m+1)m=6+3m+3m≥6+23m⋅3m=12，
当且仅当3m=3m即m=1时等号成立，此时tanAtanC=2，
所以tanA+tanB+tanC的最小值为12.
故答案为：12