数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.4 三角恒等变换的应用精品同步练习题

这是一份数学第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.4 三角恒等变换的应用精品同步练习题，文件包含人教B版2019高中数学必修第三册824三角恒等变换的应用分层练习原卷docx、人教B版2019高中数学必修第三册824三角恒等变换的应用分层练习解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。

题型一 半角公式的应用
1．（20-21高一·全国·课时练习）设3π<α<4π，csα2＝m，那么csα4等于（ ）
A．m+12B．－m+12C．－1−m2D．1−m2
【答案】B
【分析】先分析α4的范围，确定象限，利用cs2α4＝1+csα22求解即可.
【详解】由于csα2＝2cs2α4－1，可得cs2α4＝1+csα22.又3π<α<4π，所以3π4<α4<π.所以
csα4<0.所以csα4＝－m+12.
故选：B
2．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知α∈0,π2，csα=13，则sinα2= .
【答案】33
【分析】由半角公式求解.
【详解】α∈0,π2，则sinα2>0，
由半角公式可得sinα2=1−csα2=1−132=33.
故答案为：33
3．（20-21高一·全国·课时练习）已知tanα2＝13，则csα＝ .
【答案】45
【分析】利用tan2α2 =1−csα1+csα求出csα=45即可
【详解】由tan2α2 =sin2α2cs2α2=1−csα1+csα可得
∴1−csα1+csα=19，解得csα=45
故答案为：45
4．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，csB=13，则cs2B2+tan2A+C2= .
【答案】83/223
【分析】先利用三角恒等变换化简得到cs2B2+tan2A+C2=1+csB2+1+csB1−csB，从而代入csB=13，求出答案.
【详解】cs2B2+tan2A+C2=1+csB2+sin2A+C2cs2A+C2=1+csB2+1−csA+C21+csA+C2
=1+csB2+1−csA+C1+csA+C=1+csB2+1−csπ−B1+csπ−B=1+csB2+1+csB1−csB=1+132+1+131−13=83
故答案为：83
题型二 积化和差公式的应用
1．（22-23高一下·全国·课时练习）若csα+π4⋅csα−3π4=−13，则sin2α等于（ ）
A．23B．−43C．13D．−13
【答案】C
【分析】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案.
【详解】因为csα+π4csα−3π4=12×csα+π4+α−3π4+csα+π4−α+3π4
=12×cs2α−π2+csπ=12(sin2α−1)=−13，所以sin2α=13.
故选：C.
2．（20-21高一·全国·课时练习）2cs(2x+π3)sin(2x−π3)=（ ）
A．12+cs 4xB．12−sin 4x
C．32+cs 4xD．−32+sin 4x
【答案】D
【分析】利用积化和差求解,
【详解】解：2cs(2x+π3)sin(2x−π3)，
=sin(2x+π3)+(2x−π3)−sin(2x+π3)−(2x−π3)，
=sin4x−sin2π3，
=sin4x−32，
故选：D.
3．（20-21高一下·全国·课时练习） sinπ4+α⋅csπ4+β化为和差的结果是 .
【答案】12cs(α+β)+12sin(α−β)
【详解】原式=12sinπ2+α+β+sin(α−β)=12cs(α+β)+12sin(α−β)，
故答案为：12cs(α+β)+12sin(α−β).
4．（19-20高一·全国·课时练习）已知cs α+cs β=12，则csα+β2csα−β2的值为 .
【答案】14
【解析】对csα+β2csα−β2积化和差即得解.
【详解】∵cs α+cs β=12，
∴csα+β2csα−β2=12[cs（α+β2－α−β2）+cs（α+β2+α−β2）]
=12（cs α+ cs β）
=12×12=14.
故答案为：14
【点睛】本题主要考查三角积化和差，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
题型三 和差化积公式的应用
1．（20-21高一下·全国·课时练习）cs2α−cs3α化为积的形式为 .
【答案】2sin5α2sinα2
【分析】直接利用和差化积公式即可得到答案.
【详解】cs2α−cs3α=−2sin2α+3α2sin2α−3α2=−2sin5α2sin−α2=2sin5α2sinα2，
故答案为：2sin5α2sinα2.
2．（20-21高一·全国·课时练习）设sinα+sinβ=a，csα+csβ=bb≠0，求tanα+β2的值．
【答案】ab
【分析】分别利用和差化积公式化简，做商直接求tanα+β2.
【详解】解：
sinα+sinβ=sinα+β2+α−β2+sinα+β2−α−β2=2sinα+β2csα−β2=a，
csα+csβ=csα+β2+α−β2+csα+β2−α−β2=2csα+β2csα−β2=b所以tanα+β2=2sinα+β2csα−β22csα+β2csα−β2=ab.
3. （20-21高一·全国·课时练习）把下列各式化为积的形式：
(1)sin114∘+sin26∘；
(2)csα+π4+csα−π4．
【答案】(1)2sin70∘cs44∘
(2)2csα
【分析】（1）本题可通过正弦的和差化积公式得出结果；
（2）本题可通过余弦的和差化积公式得出结果.
【详解】（1）sin114∘+sin26∘=2sin114∘+26∘2cs114∘−26∘2=2sin70∘cs44∘.
（2）csα+π4+csα−π4
=2csα+π4+α−π42csα+π4−α−π42
=2csαcsπ4=2csα.
4．（22-23高一下·全国·课时练习）若A+B=120°，则sinA+sinB的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．62
【答案】C
【分析】根据题意利用和差化积公式分析运算.
【详解】因为sinA+sinB=2sinA+B2csA−B2=3csA−B2≤3，
当且仅当A=B=60°时，等号成立，
所以sinA+sinB的最大值为3.
故选：C.
题型四 凑角求值问题
1．（23-24高一·河南新乡·期末）若tanα=2,tan2α+β=8，则tanα+β=（ ）
A．1017B．−35C．25D．617
【答案】D
【分析】根据tanα+β=tan2α+β−α结合两角差的正切公式计算即可.
【详解】tanα+β=tan2α+β−α=tan2α+β−tanα1+tan2α+βtanα=8−21+8×2=617.
故选：D.
2．（20-21高一下·上海徐汇·阶段练习）若锐角α、β满足sinα=52626，tanβ=32，则α+β= ．
【答案】3π4
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tanα，再由两角和的正切公式即可求解.
【详解】锐角α满足sinα=52626，则csα=1−sin2α=2626，
所以tanα=sinαcsα=5，又tanβ=32，
所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=5+321−5×32=−1，
由α、β均为锐角，则α+β=3π4.
故答案为：3π4
3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知csα=13,α是第四象限角，sinβ=35,β是第二象限角，求csa−β的值.
（2）已知α,β∈0,π2，且sinα=45,csα+β=−1665，求csβ的值.
【答案】−4+6215；204325.
【分析】（1）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可；
（2）利用角的范围、同角三角函数的平方关系及三角恒等变换计算即可.
【详解】（1）由题意可知sinα=−1−cs2α=−223，csβ=−1−sin2β=−45，
所以csa−β=csαcsβ+sinαsinβ=−415−6215=−4+6215；
（2）由题意可知0<α+β<π,∴sinα+β=1−cs2α+β=6365，
且csα=35，
所以csβ=csα+β−α=csα+βcsα+sinα+βsinβ
=−1665×35+6365×45=204325.
4．（21-22高一下·北京顺义·阶段练习）已知α∈0,π2且tanα=34．
(1)求tan2α，sin2α，cs2α；
(2)若β为锐角，且cs(α+β)=513，求sinβ．
【答案】(1)tan2α=247，sin2α=2425，cs2α=725.
(2)sinβ= 3365
【分析】（1）二倍角公式直接求tan2α，由tan2α的正负判断角的范围，结合sin2α2+cs2α2=1解出sin2α和cs2α的值.
（2）由tanα的值和α的范围求出sinα、csα的值，利用β=α+β−α，结合两角差的正弦公式即可求出sinβ的值.
【详解】（1）解：因为tanα=34，所以tan2α=2tanα1−tan2α=321−916=247；
又α∈0,π2，2α∈0,π，tan2α=247>0，所以2α∈0,π2，则sin2α>0，cs2α>0，又tan2α=sin2αcs2α=247，且sin2α2+cs2α2=1，解得：sin2α=2425，cs2α=725.
（2）因为α∈0,π2且tanα=34，所以sinα=35，csα=45，
因为β为锐角，cs(α+β)=513>0，所以sin(α+β)=1213，
则sinβ=sinα+β−α=sinα+βcsα−csα+βsinα
=1213×45−513×35=3365.
题型五 实际应用
1．（23-24高一·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为O，筒车的半径为r，筒车转动的周期为24s，如图2所示，盛水桶M在P0处距水面的距离为ℎ0.4s后盛水桶M在P1处距水面的距离为ℎ1，若ℎ1−ℎ0=22r，则直线OP0与水面的夹角为（ ）

A．π12B．π6C．π4D．π3
【答案】A
【分析】首先做出辅助线，然后结合几何体的特征进行计算即可求得直线与水面的夹角．
【详解】如图，

过O作直线l与水面平行，
过 P0作P0A⊥l，垂足为点A，过 P1作P1B⊥l，垂足为点B，
设∠AOP0=α，∠BOP1=β，则β−α=424×2π=π3，其中0<α<π2，
则sinα=P0Ar，sinβ=P1Br，
所以，sinβ−sinα=P1B−P0Ar=ℎ1−ℎ0r=22，
所以sinα+π3−sinα=12sinα+32csα−sinα=−12sinα−32csα=−sinα−π3=22，
整理可得sinα−π3=−22，
因为0<α<π2，则−π3<α−π3<π6，所以，α−π3=−π4，解得α=π12.
故选：A.
2．（23-24高一·河南省直辖县级单位·期末）如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=x，矩形ABCD的面积为fx．

(1)求fx；
(2)求fx的最大值及此时x的值；
(3)若fx≥3−36，求x的取值范围．
【答案】(1)fx=33sin2x+π6−123x∈0,π3；
(2)fxmax=36，此时x=π6；
(3)x∈π12,π4.
【分析】（1）解直角三角形结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用三角函数的图象与性质计算即可；
（3）利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】（1）根据题意可知BC=AD=sinx,OB=csx,OA=33AD=33sinx，
所以fx=AB×AD=OB−OA×AD=csx−33sinx⋅sinx，
整理得fx=csxsinx−33sin2x=12sin2x+123cs2x−123
=33sin2x+π6−123x∈0,π3，
（2）由（1）知fx=33sin2x+π6−123x∈0,π3，
所以2x+π6∈π6,5π6，显然2x+π6=π2时，fxmax=36，此时x=π6；
（3）由（1）（2）知fx=33sin2x+π6−123≥3−36⇒sin2x+π6≥32，
且2x+π6∈π6,5π6
所以2x+π6∈π3,2π3⇒x∈π12,π4，
即不等式的解集为π12,π4.
3．（23-24高一·安徽·期末）某学校校园内有一个扇形空地AOB（∠AOB<π），该扇形的周长为20+10π3，面积为50π3，现要在扇形空地AOB内部修建一矩形运动场馆CDEF，如图所示.
(1)求扇形空地AOB的半径和圆心角；
(2)取CD的中点M，记∠MOD=θ.
（i）写出运动场馆CDEF的面积S与角θ的函数关系式；
（ii）求当角θ为何值时，运动场馆CDEF的面积最大？并求出最大面积.
【答案】(1)扇形空地AOB的半径为10，圆心角为π3；
(2)（i）S=200sin(2θ+π3)−1003，θ∈(0,π6)；（ii）θ=π12，200−1003.
【分析】（1）利用扇形弧长公式、扇形面积公式列出方程求解并验证即得.
（2）（i）借助直角三角形的边角关系求出函数关系式；（ii）利用正弦函数的性质求解最值.
【详解】（1）设扇形空地AOB所在圆半径为r，扇形弧长为l，依题意，2r+l=20+10π312rl=50π3，
解得r=10l=10π3或r=5π3l=20，当r=5π3l=20时，圆心角∠AOB=lr=12π>π，不符合题意，
当r=10l=10π3时，圆心角∠AOB=lr=π3<π，符合题意，
所以扇形空地AOB的半径为10，圆心角为π3.
（2）（i）由（1）知，∠AOB=π3，则θ∈(0,π6)，
在Rt△MOD中，OM=10csθ,DM=10sinθ，则EN=DM=10sinθ，
在Rt△EON中，∠EON=π6，ON=ENtan∠EON=103sinθ，
于是MN=OM−ON=10csθ−103sinθ，
所以S=2EN⋅MN=20sinθ(10csθ−103sinθ)
=200sinθcsθ−2003sin2θ=100sin2θ−1003(1−cs2θ)
=100(sin2θ+3cs2θ)−1003=200sin(2θ+π3)−1003，θ∈(0,π6).
（ii）由（i）知，当θ∈(0,π6)时，2θ+π3∈(π3,2π3)，
则当2θ+π3=π2，即θ=π12时，Smax=200−1003，
所以当θ=π12时，运动场馆CDEF的面积最大，最大面积为200−1003.
【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.
4．（23-24高一·广东惠州·期末）某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=253米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=π2.
(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示为α的函数，并求出此函数的定义域；
(2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用.
【答案】(1)l=25sinα+csα+1sinαcsα，a∈π6,π3
(2)当BE=AF=25米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为200002元
【分析】（1）根据三角函数定义以及勾股定理表示出△OEF的三边，由此可得l关于α的函数，结合E,F的极限位置可知定义域；
（2）先表示出OE+OF，然后通过三角换元，令t=sinα+csα，由此可得OE+OF关于t的函数，利用函数单调性求解出OE+OF的最小值，则结果可知.
【详解】（1）因为AB=50，所以OA=OB=25，
当F在点D时，此时α最小，又tan∠FOA=25325=3，所以∠FOA=π3，所以α=π2−π3=π6，
当E在C点时，此时α最大，又tanα=25325=3，所以α=π3，
由上可知，α∈π6,π3；
因为OAOF=csπ2−α=sinα,OBOE=csα，所以OF=25sinα,OE=25csα，
又因为∠EOF=π2，且sinα>0,csα>0，
所以EF=OE2+OF2=25csα2+25sinα2=25sinαcsα，
所以l=25sinα+25csα+25sinαcsα，
所以l=25sinα+csα+1sinαcsα，定义域为π6,π3；
（2）据题意可知：要使照明装置的费用最低，只需OE+OF最小即可，
由（1）可知：OE+OF=25sinα+csαsinαcsα且α∈π6,π3，
设t=sinα+csα，且sinα+csα2=1+2sinαcsα，所以sinαcsα=t2−12，
所以OE+OF=25sinα+csαsinαcsα=25tt2−12=50t−1t，
又因为t=sinα+csα=2sinα+π4，且α+π4∈5π12,7π12，
且2sin5π12=2sin7π12=2sinπ6+π4=212×22+32×22=3+12，2sinπ2=2，
所以t∈3+12,2，
令ft=t−1t，因为y=t,y=−1t均在3+12,2上单调递增，
所以ft=t−1t在3+12,2上单调递增，
所以ft∈f3+12,f2，即ft∈3−32,22，
所以OE+OF的最小值为5022=502，此时t=2，所以α+π4=π2，所以α=π4，
综上所述，当BE=AF=25米时，此时照明装置的费用最低，且最低费用为200002元.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角函数解决实际问题，其中涉及到三角函数定义、三角恒等变换以及根据函数单调性求最值等问题，难度较大.解答本题第二问的关键：通过三角换元，将复杂的三角函数问题转化为分析函数单调性求最值.
1．（23-24高一·山东济南·期末）已知函数fx=cs2ωx−3sinωxcsωx+12(ω>0)在区间0,π有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．43,73B．83,143C．712,1312D．1712,2912
【答案】A
【分析】由题意首先得函数fx=cs2ωx+π3+1(ω>0)在区间0,π上的两个零点只能是π,3π，由此即可进一步列出不等式组求解.
【详解】由题意fx=cs2ωx−3sinωxcsωx+12
=1+cs2ωx2−32sin2ωx+12=cs2ωx+π3+1(ω>0)，
当x=0时，t=2ωx+π3=π3<π，
若函数fx=cs2ωx−3sinωxcsωx+12(ω>0)在区间0,π有且仅有2个零点，
则这两个零点只能是π,3π，
则当x=π时，t=2ωπ+π3≥3πt=2ωπ+π3<5π，解得43≤ω<73.
故选：A.
2．（23-24高一下·四川绵阳·开学考试）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比t=5−12≈0.618，现给出三倍角公式cs3α=4cs3α−3csα和二倍角角公式sin2α=2sinαcsα，则t与sin18°的关系式正确的为（ ）
A．2t=3sin18°B．t=2sin18°
C．t=3sin18°D．t=4sin18°
【答案】B
【分析】考虑cs54°=sin36°，结合cs3α,sin2α整体代换即可求解.
【详解】因为cs54°=sin36°，即cs3×18°=sin2×18°，令β=18°，
则cs3β=sin2β，cs3β=4cs3β−3csβ，sin2β=2sinβcsβ，
即4cs3β−3csβ=2sinβcsβ，因为csβ≠0，所以4cs2β−3=2sinβ，
即41−sin2β−3=2sinβ，整理得4sin2β+2sinβ−1=0，
解得sinβ=−2±4+168，因为sin18°>0，所以sin18°=−1+54，
故t=2sin18°=5−12.
故选：B
3．（23-24高一下·上海·阶段练习）定义一个新运算，已知a=x,y，则a=x2+y2，已知a=2−sinθ+csθ,sinθ+csθ,θ∈π,2π，且a=825，求csθ2+π8与sinθ的值
【答案】csθ2+π8=−45,sinθ=−31250
【分析】根据题意结合三角恒等变换整理得csθ+π4=725，再结合角的范围利用三角恒等变换分别求csθ2+π8,sinθ，注意三角函数值的符号.
【详解】因为a=2−sinθ+csθ,sinθ+csθ，
可得a=2−sinθ+csθ2+sinθ+csθ2
=4+22csθ−sinθ=21+csθ+π4，
由a=825可得21+csθ+π4=825，解得csθ+π4=725∈0,22，
且θ∈π,2π，则θ+π4∈5π4,9π4，可得θ+π4∈3π2,2π，
所以sinθ+π4=−1−cs2θ+π4=−2425，
所以sinθ=sinθ+π4−π4=sinθ+π4csπ4−csθ+π4sinπ4=−31250，
又因为csθ+π4=2cs2θ2+π8−1=725，解得csθ2+π8=±45，
由θ∈π,2π可知θ2+π8∈5π8,9π8，则csθ2+π8<0，所以csθ2+π8=−45.