人教B版（2019）高中数学必修第三册 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 单元测试卷（原卷+解析卷）

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第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末综合检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（23-24高一·北京延庆·期末）向量a=2,1，b=1,x，若a⊥b，则（    ）A．x=12 B．x=−12 C．x=2 D．x=−22．（2024高一下·全国·专题练习）已知a=23,b=2，向量a,b的夹角为30°，则以向量a,b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为（    ）A．10 B．10C．2 D．223．（23-24高一·广东深圳·期末）如图，有三个相同的正方形相接，若∠ABC=α，∠ACD=β，则α+β=（   ）A．π6 B．π4C．π3 D．5π124．（23-24高一·福建宁德·期末）sin83°cos53°−cos83°sin53°=（    ）A．−32 B．32 C．−12 D．125．（23-24高一下·云南大理·阶段练习）设sinθ−cosθ=23，则sin2θ=（    ）A．79 B．19 C．−19 D．−796．（2024高一下·全国·专题练习）已知a,b,c是平面上的非零向量，则“a⋅c=b⋅c”是“a=b”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（2024高一下·江苏·专题练习）已知非零向量a,b满足a=2b，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为（    ）A．π6 B．π4C．π3 D．π28．（23-24高一下·山西朔州·阶段练习）已知cosα+π4=35，且α∈0,π4，则cosπ2−α等于（    ）A．6−210 B．6+210 C．45 D．210二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目9．（23-24高一·福建厦门·阶段练习）设α是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（    ）A．sinα B．cosα C．tanα D．cosα+sinα10．（23-24高一·河南郑州·期末）已知函数f(x)=sinx−3cosx，则（    ）A．f(x)的最大值为2B．函数y=f(x)的图象关于点π3,0对称C．直线x=π3是函数y=f(x)图象的一条对称轴D．函数y=f(x)在区间−π2,0上单调递增11．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列结论不正确的是（    ）A．单位向量都相等B．对于任意a，b，必有a+b≤a+bC．若a∥b，则一定存在实数λ，使a=λbD．若a⋅b=0，则a=0或b=012．（2024高一下·全国·专题练习）（多选）已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ，则下列结论正确的是（　　）A．e1在e2方向上的投影向量为cosθe2B．e12=e22C．e1+e2⊥e1−e2D．e1⋅e2=1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（23-24高一·湖北荆州·期末）若函数y=sinx+acosx+3的最小值为1，则实数a= ．14．（23-24高一下·上海·开学考试）sin2216°−12sin18°的值为 ．15．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, AB=3, CD=2, AD=3, ∠BAD=90°.若P为线段AB上一动点，则CP→⋅DP→的最大值为 16．（21-22高一·安徽合肥·期末）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载，在公元前1120年，商高答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五，既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩. ”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后，希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理，因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积（阴影部分）是大正方形面积一半，则直角三角形中较小的锐角α的大小为 .四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（22-23高一下·海南儋州·期中）已知向量a=(−1,3),b=(1,2)．(1)求|a|,|b|；(2)求a与b夹角的大小；18．（22-23高一下·湖北省直辖县级单位·期中）已知sinα=−35，且α是第三象限角.(1)求cosα和tanα的值；(2)求cos2α−sin2αcos2α+1的值.19．（2024高一下·上海·专题练习）已知cos(α+β)=255，tanβ=17，且α,β∈0,π2.(1)求cos2β−sin2β+sinβcosβ的值；(2)求2α+β的值.20．（23-24·浙江·期末）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分别为AC，BC上的两点AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于点P．  (1)求AM的值；(2)求证：AM⊥PN．21．（23-24高一·广东深圳·期末）已知函数fx=3sin2x+2cos2x+m在区间0,π2上的最小值为3．(1)求常数m的值；(2)将函数fx向右平移π4个单位，再向下平移4个单位，得到函数gx，请求出函数y=gx，x∈−π6,π2的单调递减区间．22．（23-24高一·山东青岛·期末）如图，正方形ABCD的边长为a(a>1)，点W，E，F，M分别在边AB，BC，CD，DA上，EM//AB，WF//BC，EM与WF交于点N，EF=1，记∠FEC=x0