人教B版（2019）高中数学必修第三册 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末重点题型复习（原卷+解析卷）

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第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习 题型一 向量的数量积【例1】（21-22高一下·北京·期中）已知向量a和b的夹角为60°，a=3，b=4，则2a−b⋅a等于（　　）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】根据向量数量积运算求解即可.【详解】∵向量a和b的夹角为60°，a=3，b=4，∴2a−b⋅a=2a2−a⋅b=2×32−3×4×cos60°=18−3×4×12=12.故选：B.【变式1-1】（21-22高一下·甘肃张掖·阶段练习）已知a=(2,−1),b=(1,−1)，则(a+2b)⋅(a−3b)等于（　　）A．10 B．−10 C．3 D．−3【答案】B【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.【详解】由向量a=(2,−1),b=(1,−1)，可得a+2b=(4,−3),a−3b=(−1,2)，所以a+2b⋅a−3b=4×−1+−3×2=−10.故选：B.【变式1-2】（多选）（23-24高一·浙江绍兴·期末）下面给出的关系式中，不正确的是（    ）A．a⊥b⇒a⋅b=a⋅b2 B．a⋅b=a⋅c⇒b=cC．a⋅b⋅c=a⋅b⋅c D．a⋅b≤a⋅b【答案】BCD【分析】根据向量数量积的运算性质求解.【详解】对A：由a⊥b可得a⋅b=0，而a⋅b2=02=0，故A说法正确；对B：取a=0，则a⋅b=a⋅c成立，但b=c不一定成立，故B说法错误；对C：a⋅b⋅c表示与c共线的向量，而a⋅b⋅c表示与a共线的向量，所以a⋅b⋅c=a⋅b⋅c不一定成立，故C说法错误；对D：a⋅b=a⋅b⋅cosa,b,a⋅b=a⋅b⋅cosa,b，故a⋅b≥a⋅b，故D说法错误.故选：BCD【变式1-3】（2024高一下·江苏·专题练习）在△ABC中，若AB=1，AC=3，AB+AC=BC，则AB⋅BC|BC|＝（    ）A．−32 B．−12C．12 D．32【答案】B【分析】根据向量的平行四边形法则可得∠A=90°，由AB=1，AC=3，可得BC=2，从而得到答案.【详解】由向量的平行四边形法则，知当AB+AC=BC时，∠A=90°，又AB=1，AC=3，故∠B=60°，∠C=30°，则BC=2，所以AB⋅BC|BC|=ABBCcos120°|BC|=−12．故选：B【变式1-4】（23-24高一·浙江杭州·期末）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2x,y∈R，则把有序数对x,y叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.(1)设OM=0,3，ON=4,0，求OM⋅ON的值；(2)若OP=3,4，求OP的大小.【答案】(1)6(2)37【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】（1）∵OM=3e2，ON=4e1，∴OM⋅ON=12e1⋅e2=12cos60°=6；（2）∵OP2=3e1+4e22=9e12+24e1⋅e2+16e22=25+24cos60°=37，∴OP=37.题型二 两个向量的夹角【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）已知e1，e2是单位向量，m=e1+2e2，n=5e1−4e2．若m⊥n，则e1与e2的夹角为 ．【答案】π3【分析】由m⊥n，可得m⋅n=0，化简得到e1⋅e2=12，利用向量夹角公式即可得到答案.【详解】因为m⊥n，e1=e2=1，所以m⋅n=e1+2e2⋅5e1−4e2=5e12+6e1⋅e2−8e22=−3+6e1⋅e2=0．所以e1⋅e2=12，设e1与e2的夹角为θ，则cosθ=e1⋅e2e1e2=12，因为θ∈0,π，所以θ=π3故答案为：π3【变式2-1】（2024高一下·全国·专题练习）已知向量a=−1,2，b=x,2，且a与b夹角的余弦值为35，则x= .【答案】1或−11【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出.【详解】因为 a⋅b=−x+4，a=−12+22=5，b=x2+22=x2+4，，显然x<4，故有：x2+10x−11=0，解得x=1或x=−11故答案为：1或−11.【变式2-2】（2024高一下·全国·专题练习）已知菱形ABCD中，AC=22,BD=2，点E为CD上一点，且CE=2ED，则∠AEB的余弦值为 .【答案】33【分析】建立如图平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示和数量积的定义与坐标表示计算即可求解.【详解】设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0),B(0,1),E(−23,−23)，所以EA=(423,23),EB=(23,53)，有EA→·EB→=423×23+23×53=2,EA→=4232+232=2,EB→=232+532=3，则cos∠AEB=EA⋅EBEAEB=223=33.故答案为：33【变式2-3】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知向量a，b，c，满足a+b+c=0，a=1，b=3，c=2，则a与c的夹角为 ．【答案】120∘【分析】因要求a与c的夹角，故将a+b+c=0化成b=−(a+c)，再利用向量的数量积性质即可求得.【详解】设a与c的夹角为θ，由a+b+c=0可得：b=−(a+c)，两边取平方，b2=(a+c)2=a2+c2+2a⋅c =a2+c2+2|a|⋅|c|cosθ，可得：cosθ=b2−(a2+c2)2|a|⋅|c|=3−(1+4)4=−12，因0∘≤θ≤180∘，故θ=120∘.故答案为：120∘.【变式2-4】（2024高一下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=120°,AB=AC=3，点D在线段BC上，且BD=12DC.求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小.【答案】(1)3(2)90∘【分析】（1）设AB=a,AC=b，根据平面向量的线性运算可得AD=AB+BD=23a+13b，利用数量积的定义计算AD2=(23a+13b)2即可求解；（2）根据数量积的定义和运算律计算即可求解.【详解】（1）设AB=a,AC=b，则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC=23a+13b，∴AD2=(23a+13b)2=49a2+2×29a⋅b+19b2=49×9+2×29×3×3cos120°+19×9=3，故AD=3.（2）设∠DAC=θ，则θ为向量AD与AC的夹角.∵cosθ=AD⋅ACADAC=(23a+13b)⋅b3⋅3=13b2+23a⋅b33=13×9+23×3×3cos120°33=0，∴θ=90°，即∠DAC=90°.题型三 向量的模长问题【例3】（2024高一下·全国·专题练习）已知向量a=1,3，b=3,1，则a+3b= .【答案】27【分析】根据向量的坐标运算，求得a+3b=4,23，结合模的坐标运算，即可求解.【详解】由向量a=1,3，b=3,1，所以a+3b=1,3+33,1=4,23，所以a+3b=42+232=27.故答案为：27.【变式3-1】（22-23高一下·广西柳州·阶段练习）若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且a=b=1，c=3，则a+b+c= .【答案】2或5【分析】根据向量的数量积的定义和模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，平面向量a，b，c两两的夹角相等，包括两种情况，可得两两夹角为0°或两两夹角为120°，当两两夹角为0°时，可得a⋅b=1,a⋅c=3,b⋅c=3，则a+b+c=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=5；当两两夹角为120°时，可得a⋅b=−12,a⋅c=−32,b⋅c=−32，则a+b+c=a2+b2+c2+2a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=2．故答案为：2或5.【变式3-2】（23-24高一下·山东泰安·开学考试）设a=2，e为单位向量，则a+e的最大值为 ．【答案】3【分析】根据数量积的公式求模，再根据夹角的范围，求模的最大值.【详解】a+e=a+e2=5+4cosa,e，当向量a,e同向时，a+e的最大值为3.故答案为：3【变式3-3】（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=6，∠ABC=60°，D，E分别在边AB，AC上，且满足ADDB=2，CEEA=3，F为BC中点.(1)若DE=λAB+μAC，求实数λ，μ的值；(2)若AF⋅DE=−8，求边BC的长.【答案】(1)λ=−23，μ=14.(2)8【分析】（1）根据向量的线性运算以及平面向量的基本定理求得正确答案.（2）利用转化法化简AF⋅DE=−8，从而求得BC的长.【详解】（1）∵ADDB=2，CEEA=3，∴AD=23AB，AE=14AC∴DE=AE−AD=14AC−23AB，∴λ=−23，μ=14.（2）AF=BF−BA=12BC−BA，DE=14AC−23AB=14BC−BA+23BA=14BC+512BA，AF⋅DE=12BC−BA⋅14BC+512BA=18BC2−124BC⋅BA−512BA2设BC=a，∵AB=6，∠ABC=60°，AF⋅DE=18a2−124×6×12a−512×62=−8，即a2−a−56=0，解得a=−7（舍）或a=8，∴BC长为8.【变式3-4】（23-24高一·北京延庆·期末）已知等边△ABC的边长为6，D在AC上且AD=2DC，E为线段AB上的动点，求AE+BD的取值范围（    ）A．23,4 B．23,27C．4,27 D．4,6【答案】B【分析】设AB=a,AC=b，AE=λAB(0≤λ≤1)，用a,b表示出AE+BD，然后平方转化为数量积的运算得出关于λ的函数，再由二次函数知识得最大值和最小值，从而得其范围．【详解】设AB=a,AC=b，则a=b=6，a⋅b=6×6×cos60°=18，设AE=λAB(0≤λ≤1)，又AD=2DC，则AE=λAB=λa，BD=AD−AB=23b−a，AE+BD=(λ−1)a+23b，AE+ED2=(λ−1)a+23b2=(λ−1)2a2+49b2+43(λ−1)a⋅b=36(λ−1)2+24(λ−1)+16=4(3λ−2)2+12，所以λ=23时，AE+BD2取得最小值12，λ=0时，AE+BD2取得最大值28，所以AE+BD的取值范围是[23,27]，故选：B．题型四 向量的共线与垂直问题【例4】（23-24高一·浙江绍兴·期末）已知向量a=1,1，b=x,2，且a⊥b，则x=（    ）A．12 B．2 C．−12 D．−2【答案】D【分析】由a⊥b，可得a⋅b=0，计算即可得x的值.【详解】由a⊥b，故a⋅b=x+2=0，故x=−2.故选：D.【变式4-1】（2024高一下·全国·专题练习）已知单位向量e1，e2分别与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量AC=3e1−e2，BD=2e1+6e2，则平面四边形ABCD的面积为（    ）A．10 B．210C．10 D．20【答案】A【分析】由已知可得AC⋅BD=0，则有AC⊥BD，平面四边形ABCD的面积为12AC⋅BD，计算AC与BD，可得结果.【详解】单位向量e1，e2分别与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，则有e12=e22=1，e1⋅e2=0，AC⋅BD=3e1−e2⋅2e1+6e2=6e12+16e1⋅e2−6e22=6−6=0，所以AC⊥BD，又AC=3e1−e22=9e12−6e1⋅e2+e22=10，BD=2e1+6e22=4e12+24e1⋅e2+36e22=210，所以平面四边形ABCD的面积为12AC⋅BD=12×10×210=10．故选：A．【变式4-2】（22-23高一下·江苏苏州·阶段练习）已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=1,2.(1)若c=25，且c//a，求c向量；(2)若b=352，且a+2b与2a−b垂直，求a与b的夹角的正弦值.【答案】(1)c=2,4或c=−2,−4(2)2149【分析】（1）利用平面向量共线及模长的坐标表示计算即可；（2）利用平面向量垂直的坐标表示及数量积公式结合同角三角函数的平方关系计算即可.【详解】（1）∵c//a，可设c=λa，∴c=λa，则25=λ×12+22，∴λ=±2∴c=2,4或c=−2,−4.（2）∵a+2b与2a−b垂直，∴a+2b⋅2a−b=0，即2a2−2b2+3a⋅b=0∴10−2×454+35×352cosθ=0，∴cosθ=59，∵0≤θ≤π，∴sinθ=2149，所以a与b的夹角的正弦值2149.【变式4-3】（22-23高一下·广西柳州·阶段练习）已知a=−1,0，b=2,1.(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值.(2)当实数k为何值时，ka−b与a+2b垂直？【答案】(1)−12(2)−83【分析】（1）根据题意，由A、B、C三点共线，可得AB与BC共线，列出方程即可得到m的值；（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，AB=−4,−1,BC=2m−1,m，且A、B、C三点共线，则可得AB//BC， 即−4m−2m−1−1=0，解得m=−12；（2）由题意可得，ka−b=−k−2,−1,a+2b=3,2，因为ka−b与a+2b垂直，则可得3(−k−2)+2×(−1)=0,解得k=−83.【变式4-4】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）已知向量a=cos−θ,sin−θ,b=cosπ2−θ,sinπ2−θ．(1)求证：a⊥b；(2)若存在不为0的实数k和t，使x=a+t2+3b,y=−ka+tb，满足x⊥y，试求此时k+t2t的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)114.【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合诱导公式化简，计算a⋅b=0即可；（2）由x⋅y=0，求得k,t关系，结合二次函数的最值，即可求得结果.【详解】（1）a=cos−θ,sin−θ,b=cosπ2−θ,sinπ2−θ．⇒a=cosθ,−sinθ,b=sinθ,cosθ⇒a⋅b= cosθsinθ−sinθcosθ=0，故a⊥b.（2）显然a=b=cos2θ+sin2θ=1，x⊥y⇒x⋅y=a+t2+3b⋅−ka+tb=0，故可得−ka2+tt2+3b2+t−kt2+3a⋅b=0，即−k+tt2+3=0，⇒k=tt2+3，∴k+t2t=t2+t+3=t+122+114，所以当t=−12时，k+t2t取得最小值114．题型五 投影向量【例5】（2024高一下·全国·专题练习）已知|a|=8，与a同向的单位向量为e，|b|=4，a,b的夹角为120∘，则向量b在向量a方向上的投影向量为（　　）A．4e B．－4e C．2e D．－2e【答案】D【分析】根据向量b在向量a方向上的投影向量的定义表达式计算即得.【详解】向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos120∘e=4×(−12)e=−2e.故选：D.【变式5-1】（23-24高一·浙江宁波·期末）已知a=23b，且满足a,b=5π6，则a在b上的投影向量为（    ）A．3b B．−3b C．3b D．−3b【答案】D【分析】根据acosa,b⋅bb进行求解，得到答案.【详解】因为a=23b，a,b=5π6，所以a在b上的投影向量为acosa,b⋅bb=abcosa,b⋅b=23cos5π6⋅b=−3b.故选：D【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知向量a=32,−2,b=1,t，且向量a在向量b上的投影向量为−12b，则t=（    ）A．−1 B．12 C．2 D．−1或2【答案】C【分析】利用投影向量的定义，由数量积的坐标表示即可求出t=2.【详解】利用投影向量的定义，由向量a在向量b上的投影向量为−12b可得a⋅bb⋅bb=−12b，即可得a→⋅b→=−12b→2=−12b→2，结合a=32,−2,b=1,t，得32−2t=−121+t2，即t2−4t+4=0，所以t=2，故选：C．【变式5-3】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知向量a→=−1,2，b→=3,2，则a+b在a−b方向上投影长度为（    ）A．4 B．−2 C．2 D．−4【答案】B【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【详解】解：a→=−1,2，b→=3,2，则a⃗+b⃗=(2,4)，a⃗−b⃗=(−4,0)，故a+b在a−b方向上的投影长度为：(a−b)⋅(a+b)|a−b|=a2−b2|a−b|=−84=−2．故选：B．【变式5-4】（2024高一下·全国·专题练习）已知a=1,3，b=2,−2.(1)设c=2a+b，求b⋅a⋅c；(2)求向量a在b上的投影的数量.【答案】(1)−16,−16(2)−2【分析】（1）根据题意，利用向量的坐标运算，以及数量积的运算公式，准确运算，即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的几何意义，即可求解.【详解】（1）解：由向量a=1,3，b=2,−2，可得c=2a+b=21,3+2,−2=4,4，且b⋅a=1×2+3×(−2)=−4，所以b⋅a⋅c=−16,−16.（2）解：由向量a=1,3，b=2,−2，可得a⋅b=−4，且b=22，所以向量a在b上的投影的数量为a⋅bb=−422=−2.题型六 四心问题【例6】（多选）（22-23高一下·山东枣庄·期末）已知点M是△ABC的重心，点A1,2，B2,3，C(−2,5)，点D是BC上靠近点B的三等分点，则（    ）A． M13,103 B． D23,113 C． 〈MD,AC〉=π3 D． |3MD−AC|=26【答案】AB【分析】根据三角形的重心坐标公式即可求得点M坐标，利用共线向量的坐标计算公式易得点D坐标，利用平面向量的夹角公式计算即得MD⊥AC，通过平面向量的线性运算求出3MD−AC的坐标，易得其模长.【详解】对于A项，如图，点M是△ABC的重心，点A1,2，B2,3，C−2,5，设点Mx,y，则x=1+2+−23=13y=2+3+53=103，故A选项正确；对于B项，因点D是BC上靠近点B的三等分点，则3BD=BC,设Da,b,则3a−2,b−3=−4,2,即3a−2=−43b−3=2,解得a=23,b=113，故B项正确；对于C项，因为MD=13,13,AC=−3,3，则cosMD,AC=MD⋅ACMDAC=−1+132×23=0，故MD⊥AC,即MD,AC≠π3，故C项错误；对于D项，因3MD−AC=313,13−−3,3=4,−2,则3MD−AC=42+−22=25，故D项错误.故选:AB.【变式6-1】（23-24高一·浙江绍兴·期末）已知点O为△ABC所在平面内一点，若AC2−AB2=2AO⋅BC，则点O的轨迹必通过△ABC的 .（填：内心，外心，垂心，重心）【答案】外心【分析】M为BC的中点，由AC2−AB2=2AO⋅BC，得MO⊥BC，则点O的轨迹必通过△ABC的外心.【详解】点O为△ABC所在平面内一点，若AC2−AB2=2AO⋅BC，设M为BC的中点，AC2−AB2=AC+ABAC−AB=2AM⋅BC=2AO⋅BC，则有AO−AM⋅BC=MO⋅BC=0，所以MO⊥BC，所以动点O在线段BC的中垂线上，则点O的轨迹必通过△ABC的外心.故答案为：外心【变式6-2】（多选）（22-23高一下·河南郑州·期中）点O为△ABC所在平面内一点，则（   ）A．若OA+OB+OC=0，则点O为△ABC的重心B．若OA⋅ACAC−ABAB=OB⋅BCBC−BABA=0，则点O为△ABC的垂心C．若OA+OB⋅AB=OB+OC⋅BC=0．则点O为△ABC的垂心D．在△ABC中，设AC2−AB2=2AO⋅BC，那么动点O的轨迹必通过△ABC的外心【答案】AD【分析】根据三角形四心的定义，结合向量数量积的几何意义，对题目中的四个选项逐一进行运算判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．【详解】A．由于OA=−OB+OC=−2OD，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点（靠近线段BC），故O为△ABC的重心；选项A正确.B．向量ACAC，ABAB，分别表示在边AC和AB上取单位向量AC'和AB'，它们的差是向量B'C'，当OA⋅ACAC−ABAB=0，即OA⊥B'C'时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由OB⋅BCBC−BABA=0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；选项B错误.C．OA+OB是以OA，OB为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB是该平行四边形的另一条对角线的长，OA+OB⋅AB=0表示这个平行四边形是菱形，即OA=OB，同理有OB=OC，故O为△ABC的外心．选项C错误.对于D，设M是BC的中点，AC2−AB2=AC+AB⋅AC−AB=2AO⋅BC=2AM⋅BC，即AO−AM⋅BC=MO⋅BC=0，所以MO⊥BC，所以动点O在线段BC的中垂线上，故动点O的轨迹必通过△ABC的外心.选项D正确.故选：AD.【变式6-3】（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知△ABC所在平面内一点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则点O是△ABC的 心(填“内”、“外”、“重”、“垂”)，若△ABC的内角A=π3，边BC=2，则OB⋅BABA+CO⋅CACA的最大值是 ．【答案】 垂 3【分析】根据向量数量积为零可得OB⊥AC， OA⊥BC，所以点O是△ABC的垂心；利用向量的夹角和向量数量积的运算，化简得OB⋅BABA+CO⋅CACA=32OC−OB，由OC−OB≤BC得结论.【详解】∵OA⋅OB=OB⋅OC，∴OA−OC⋅OB=0，即CA⋅OB=0，∴AC⊥OB，同理可得：BC⊥OA，AB⊥OC，∴O是△ABC的垂心，延长BO交AC于D，延长CO交AB于E，则BD⊥AC，CE⊥AB，∵A=π3，∴∠ABD=∠ACE=π6，∴OB⋅BABA+CO⋅CACA=OB⋅cos5π6+OC⋅cosπ6=32OC−OB，显然当O与B重合时，OC−OB取得最大值BC=2，故OB⋅BABA+CO⋅CACA的最大值为32×2=3．故答案为：垂，3【点睛】关键点睛：本题第二空解决的关键是，利用向量数量积的定义，同时结合图形将所求转化为OC−OB的最大值，从而得解.【变式6-4】（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足OP=OA+λABAB+ACAC， λ∈0,+∞，则直线AP一定经过△ABC的____心，点H满足HA=HB=HC，则H是△ABC的____心，点N满足NA+NB+NC=0，则N是△ABC的____心，点Q满足QA·QB=QB·QC=QC·QA，则Q是△ABC的____心，下列选项正确的是（    ）A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心【答案】B【分析】推出AP=λABAB+ACAC，又ABAB+ACAC所在直线一定为∠BAC的平分线，从而得到直线AP一定经过△ABC的内心，点H到△ABC三个顶点相等，故点H是△ABC的外心，作出辅助线，得到C,N,D三点共线，且CN=2ND，所以N是△ABC的重心，推导出CA⊥QB，CB⊥QA,BA⊥QC，得到Q为△ABC的垂心.【详解】OP=OA+λABAB+ACAC，变形得到AP=λABAB+ACAC，其中ABAB,ACAC分别代表AB,AC方向上的单位向量，故ABAB+ACAC所在直线一定为∠BAC的平分线，故直线AP一定经过△ABC的内心，HA=HB=HC，即点H到△ABC三个顶点相等，故点H是△ABC的外心，因为NA+NB+NC=0，所以NA+NB=−NC，如图，取AB的中点D，连接ND，则NA+NB=2ND，所以NC=−2ND，故C,N,D三点共线，且CN=2ND，所以N是△ABC的重心，  由QA·QB=QB·QC可得QA·QB−QB·QC=QA−QC·QB=CA·QB=0，故CA⊥QB，同理可得CB⊥QA,BA⊥QC，故Q为△ABC三条高的交点，Q为△ABC的垂心.故选：B题型七 面积比问题【例7】（多选）（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA、SB、SC，则有SAOA+SBOB+SCOC=0，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的是（    ）．A．若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心B．若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:3C．若O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0D．若OA=OB=2，∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=92【答案】ABC【分析】根据向量的线性运算结合三角形重心判断A；结合“奔驰定理”即可判断B；根据三角形垂心性质，推出S△BOC:S△AOC:S△AOB =tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB，结合“奔驰定理”判断C；求出S△AOB=1，结合“奔驰定理”可得S△BOC=12,S△AOC=34，从而求得S△ABC，判断D.【详解】对于A，设BC的中点为D，则OB+OC=2OD=−OA，  即O,A,D三点共线，则AO=23AD，设E,F为AB,AC的中点，同理可得CO=23CE,BO=23BF，故O为△ABC的重心，A正确；对于B，若OA+2OB+3OC=0，结合SAOA+SBOB+SCOC=0，可知SA:SB:SC=1:2:3，B正确；对于C，S△BOC=12|OB||OC|sin∠BOC，S△AOC=12|OA||OC|sin∠AOC，S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB，又O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，设AO延长后交BC与G，则AG⊥BC,同理BH⊥AC,CI⊥AB，则∠BOI=∠BAC，即∠BOC+∠BOI=∠BOC+∠BAC=π，同理∠AOB+∠ACB=π,∠AOC+∠ABC=π，  故sin∠BOC=sin∠BAC，同理sin∠AOC=sin∠ABC,sin∠AOB=sin∠ACB，又OA⋅OB=|OA||OB|cos∠AOB=−|OA||OB|cos∠ACB，OB⋅OC=|OB||OC|cos∠BOC=−|OB||OC|cos∠BAC，又O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则OB⋅AC=OB⋅OC−OA=OB⋅OC−OA⋅OB=0，故|OA|cos∠ACB=|OC|cos∠BAC，即|OA|:|OC|=cos∠BAC:cos∠ACB，同理|OA|:|OB|:|OC|=cos∠BAC:cos∠ABC:cos∠ACB，则S△BOCS△AOC=|OB||OC|sin∠BOC|OA||OC|sin∠AOC=|OB|sin∠BAC|OA|sin∠ABC=cos∠ABCsin∠BACcos∠BACsin∠ABC=sin∠BACcos∠BAC:sin∠ABCcos∠ABC，同理S△AOCS△AOB=sin∠ABCcos∠ABC:sin∠ACBcos∠ACB，故S△BOC:S△AOC:S△AOB=sin∠BACcos∠BAC:sin∠ABCcos∠ABC:sin∠ACBcos∠ACB=tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB，又SAOA+SBOB+SCOC=0，可得tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0，C正确；对于D，△AOB中，OA=OB=2，∠AOB=5π6，则S△AOB=12×2×2×12=1，又2OA+3OB+4OC=0，故SBOC:S△AOC:S△AOB=2:3:4，则S△BOC=12,S△AOC=34，故S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1+12+34=94，D错误，故选：ABC【点睛】关键点睛：本题题意比较新颖，综合考查了向量知识的应用，解答的关键是能灵活应用向量知识，比如三角形“心”的向量表示，结合“奔驰定理”进行解答.【变式7-1】（多选）（22-23高一下·安徽六安·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0，O是△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若2OA+3OB+4OC=0，则SA:SB:SC=4:3:2B．若OA=OB=2，∠AOB=2π3，且2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=934C．若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O为△ABC的垂心D．若O为△ABC的内心，且5OA+12OB+13OC=0，则 ∠ACB=π2【答案】BCD【分析】根据题意得到SA:SB:SC=2:3:4，A错误，计算S△AOB=3，根据比例关系得到B正确，确定CA⊥OB得到C正确，根据面积公式得到BC:AC:AB=5:12:13，得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：2OA+3OB+4OC=0，则SA:SB:SC=2:3:4，错误；对选项B：S△AOB=12×2×2×sin120°=3，2OA+3OB+4OC=0，故SA:SB:SC=2:3:4，S△ABC=94×SA=934，正确；对选项C：OA⋅OB=OB⋅OC，即OA−OC⋅OB=CA⋅OB=0，故CA⊥OB，同理可得CB⊥OA，AB⊥OC，故O为△ABC的垂心，正确；对选项D：5OA+12OB+13OC=0，故SA:SB:SC=5:12:13，设内接圆半径为r，SA=12r⋅BC，SB=12r⋅AC，SC=12r⋅AB，即BC:AC:AB=5:12:13，即AB2=AC2+BC2，∠ACB=π2，正确.故选：BCD【变式7-2】（多选）（19-20高一下·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的是（    ）A．对于向量a→，b→，c→，有a→⋅b→⋅c→=a→⋅b→⋅c→B．在△ABC中，向量AB→与AC→满足AB→|AB|→+AC→|AC|→⋅BC→=0，且BA→|BA→|⋅BC→|BC→|=12，则△ABC为等边三角形C．若2OA→+OB→+3OC→=0→，S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC=1:6D．在△ABC中，设D是BC边上一点，且满足CD→=2DB→，CD→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝0【答案】BCD【分析】对A，由平面向量乘法的运算律即可判断；对B，由AB→|AB|→+AC→|AC|→⋅BC→=0得出∠BAC的平分线垂直于BC，进而AB=AC，再根据题意求出∠BAC即可判断；对C，通过2OA→+OB→+3OC→=0→，延长OA到A'，使得OA'=2OA，延长OC到C'，使得OC'=3OC，可得O为△BA'C'的重心，进而根据重心的性质得到答案；对D，由AB→−AC→=CB→和CD→=2DB→⇒CB→=32CD→即可判断.【详解】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误；对B，因为AB→|AB|→+AC→|AC|→⋅BC→=0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB=AC，又因为cos∠BAC=BA→|BA→|⋅BC→|BC→|=12⇒∠BAC=π3，所以△ABC为等边三角形，B正确；对C，如图：因为2OA→+OB→+3OC→=0→，延长OA到A'，使得OA'=2OA，延长OC到C'，使得OC'=3OC，可得O为△BA'C'的重心，设△AOC,△AOB,△COB的面积分别为x,y,z，则△A'OB,△C'OB,△A'OC'的面积分别为2y,3z,6x，由重心性质可知2y=3z=6x⇒y=3xz=2x，所以S△AOC:S△ABC=x:x+y+z=1:6，C正确；对D，因为AB→−AC→=CB→，而CD→=2DB→⇒CB→=32CD→，所以AB→−AC→=32CD→,所以AB→−AC→=32CD→⇒CD→=23AB→−23AC→，所以λ+μ=0，D正确.故答案为：BCD.【点睛】本题难点在于答案C，这里需要对三角形的重心性质比较熟悉，这样才能很好的进行构造，如本题，根据2OA→+OB→+3OC→=0→，我们可以构造出A',C'使得O为重心，进而解决问题，因此平常要注重对常见结论的总结.【变式7-3】（22-23高一下·北京·期中）正△ABC的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M，N，AM=λAB,AN=μACλ,μ>0，BD=DC．给出下列四个结论：①AO=13AB+13AC；②若AN=2NC，则AD⋅BN=−14③1λ+1μ不是定值，与直线l的位置有关；④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为49．其中所有正确结论的序号是 ．【答案】①②④【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断①；利用向量数量积的定义可判断②；根据M,O,N三点共线即可判断③；由三角形的面积公式结合③，利用基本不等式即可判断④.【详解】  对于①，由AO=23AD=23×12AB+AC=13AB+13AC,故①正确；对于②，AD⋅BN=12(AB+AC)⋅23AC−AB=13AC2−12AB2−16AB⋅AC=13−12−16×12=−14 ，故②正确；对于③，由 ①AO=13AB+13AC=13λAM+13μAN ，因为M,O,N三点共线，所以 13λ+13μ=1 ，即 1λ+1μ=3 ，故③错误；对于④, S△AMNS△ABC=12AMANsinA12ABACsinA=AMANABAC=λ⋅μ,又1λ+1μ=3且λ>0,μ>0，由基本不等式得1λ+1μ=3≥21λ⋅1μ⇒λ⋅μ≥49，当且仅当λ=μ=23时取等号，即△AMN与△ABC之比的最小值为49，故④正确.故答案为: ①②④.【变式7-4】（21-22高一下·云南昆明·期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量AB=a，AD=b．(1)若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，求证：AB⊥BD；(2)若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5AP=AC+3AD，求△ACP与△ACD的面积比；(3)若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，AE=λAD，CF=μCD，且BE⋅BF=1，DE⋅DF=−23，求λ+μ的值．【答案】(1)证明见解析(2)35(3)λ+μ=56【分析】（1）以a,b为基底表示出BD，利用平面向量数量积的运算律即可证得AB⋅BD=0，即AB⊥BD；（2）由5AP=AC+3AD变形可得3DP=2PO，由此可知D，P，O三点共线，△ACP与△ACD的面积比等于高之比，也等于OPOD，即可解出；（3）根据BE⋅BF=1，DE⋅DF=−23，即可得到关于λ,μ的两个方程，即可解出λ+μ的值．【详解】（1）∵BD=AD−AB=b−a，AB⋅BD=a⋅b−a2，又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，∴a⋅b=1×2×cos60°=1，a2=a2=1，∴AB⋅BD=a⋅b−a2=1−1=0，即AB⊥BD．（2）由5AP=AC+3AD，得3AP−3AD=2AO−2AP，即3DP=2PO，故D，P，O三点共线，过P点作ΔAPC的高H，所以ℎ:H=3:5所以ΔAPC与ΔACD的面积之比为35．（3）BE=BA+AE=BA+λAD，BF=BC+CF=BC+μCD，BE⋅BF=BA+λAD⋅BC+μCD =BA⋅BC+μBA⋅CD+λAD⋅BC+λμAD⋅CD=2×2×−12+4μ+4λ+2×2×−12λμ=−2+4λ+μ−2λμ=1所以2λ+μ−λμ=32①又DE⋅DF=1−λDA⋅1−μDC=1−λ−μ+λμDA⋅DC=2×2×−121−λ−μ+λμ=−2λμ−λ+μ+1=−23所以λμ−λ+μ=−23②，由①＋②得λ+μ=56．题型八 锐角、钝角问题【例8】（23-24高一下·山东泰安·开学考试）已知e1，e2是夹角为60∘的两个单位向量．若a=3e1+2e2，b=te1+2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，求t的取值范围．【答案】−74,3∪3,+∞．【分析】由数量积的定义，转化为a⋅b>0，且a，b不共线，再结合数量积的定义以及共线向量的定理，即可列式求解.【详解】因为a，b的夹角为锐角，所以a⋅b>0，且a，b不共线，当a⋅b>0时，3e1+2e2⋅te1+2e2=3te12+6+2te1⋅e2+4e22 =3t+126+2t+4>0，得t>−74，当a，b共线时，存在唯一的实数λ，使a=λb，即3e1+2e2=λte1+2e2，所以3=λt2=2λ，解得λ=1t=3，所以当t≠3时，a，b不共线，综上，t的取值范围为t>−74且t≠3，即−74,3∪3,+∞【变式8-1】（多选）（22-23高一下·重庆长寿·期中）给出下列命题，其中正确的选项有（    ）A．等边△ABC中，向量AC与向量BC的夹角为60∘B．a=2,1，b=−3,1，则向量a在向量b上的投影向量为32,−12C．非零向量a,b满足a=b=a−b，则a与a+b的夹角为30∘D．若OA=3,−4，OB=6,−3，OC=5−m,−3−m，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围为m>−34【答案】ABC【分析】由向量夹角定义知A正确；由投影向量定义，结合向量坐标运算知B正确；根据向量线性运算的几何意义可确定C正确；由cos∠ABC=BA⋅BCBA⋅BC，根据∠ABC为锐角可构造不等式组求得D错误.【详解】对于A，∵AC,BC=∠C，△ABC为等边三角形，∴AC,BC=60∘，A正确；对于B，∵acosa,b=a⋅bb=−510=−102，bb=−3,110=−31010,1010，∴a在b上的投影向量为acosa,b⋅bb=32,−12，B正确；对于C，∵a=b=a−b，∴以a,b,a−b构成如图所示的等边三角形ABC，其中AB=a，AC=b，CB=a−b，以AB,AC为邻边作平行四边形ABCD，则a+b=AD，四边形ABCD为菱形，∴a,a+b=∠BAD，又∠CAB=60∘，AD平分∠CAB，∴a,a+b=∠BAD=30∘，C正确；对于D，∵BA=OA−OB=−3,−1，BC=OC−OB=−m−1,−m，∴cos∠ABC=BA⋅BCBA⋅BC=4m+310⋅−m−12+−m2，∵∠ABC为锐角，∴cos∠ABC>0cos∠ABC≠1，解得：m>−34且m≠12，D错误.故选：ABC.【变式8-2】（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）已知OA=2，OB=1，OC=xOA+yOB，且x+y=1，∠AOB为钝角，若f(t)=OA−tOB的最小值为3，则OC的最小值是 【答案】217【分析】根据数量积的运算律及二次函数的性质求出OA⋅OB=−1，再由OC=xOA+yOB2结合数量积的运算律及x+y=1转化为关于x的二次型最值问题.【详解】f(t)=OA−tOB=OA−tOB2=OA2−2tOA⋅OB+t2OB2=4−2tOA⋅OB+t2，因为f(t)=OA−tOB的最小值为3，所以gt=4−2tOA⋅OB+t2的最小值为3，又gtmin=gOA⋅OB=4−OA⋅OB2，所以4−OA⋅OB2=3，所以OA⋅OB=±1，又∠AOB为钝角，所以OA⋅OB=−1，即OA⋅OB=OA⋅OBcos∠AOB=−1，则cos∠AOB=−12，所以∠AOB=2π3，所以OC=xOA+yOB2=x2OA2+2xyOA⋅OB+y2OB2=x2OA2−2xy+y2OB2=4x2−2xy+y2，又x+y=1，所以OC=4x2−2x1−x+1−x2=7x2−4x+1=7x−272+37，所以当x=27时OCmin=217.故答案为：217【变式8-3】（多选）（22-23高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量a=−2，1，b=−1,t，则下列说法正确的是（    ）A．若a⊥b，则t的值为−2B．若a//b，则t的值为12C．若00，解得λ<514，且λ≠0，所以a与a+λb的夹角为锐角，实数λ的取值范围为−∞,0∪0,514.题型九 两角和差、二倍角公式的运用【例9】（23-24高一下·安徽·开学考试）已知角α，β满足tanαtanβ=−3，cosα+β=12，则cosα−β=（    ）A．−14 B．−1 C．−38 D．18【答案】A【分析】根据商数关系得到sinαsinβ=−3cosαcosβ，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.【详解】∵tanαtanβ=sinαsinβcosαcosβ=−3，∴sinαsinβ=−3cosαcosβ，∵cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ=4cosαcosβ=12，∴cosαcosβ=18，∴cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ=−2cosαcosβ=−14，故选：A.【变式9-1】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）在△ABC中，cosA=31010，tanB=2，则tan2A+2B的值为（    ）A．−724 B．724 C．−13 D．3【答案】A【分析】将tan2A+2B运用和角公式化简，需求tan2A,tan2B,这就需要根据cosA值求sinA，再求tanA，最后求tan2A,由tanB=2易求tan2B，代入公式可得.【详解】在△ABC中，00，则4x2−2x−1=0，解得x=5+14,x=−5+14舍.故答案为：3sinα−4sin3α；5+14.题型十 求角问题【例10】（23-24高一·陕西西安·期末）已知α，β∈0，π，且cosα=55，tanα+β=−17，则α−β= .【答案】−π4【分析】根据题意求出tanα=−1，再判断α−β的范围，进而求解.【详解】因为0<α<π，且cosα=55，所以0<α<π2，sinα=255，所以tanα=2，则tan2α=2tanα1−tan2α=−43，因为tanα+β=−17，所以tanα−β=tan[2α−α+β]=tan2α−tanα+β1+tan2αtanα+β=−1，因为0<α<π2，0<β<π，所以0<2α<π，0<α+β<3π2，又tanα+β=−17，所以π2<α+β<π，所以−π<−α+β<−π2，所以−π<2α−α+β<π2，即−π<α−β<π2，则α−β=−π4.故答案为：−π4.【变式10-1】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数fx=sinπ−x−cosπ+x3cosπ−x+sin−π−x.(1)若fφ=3，求tanφ的值；(2)若fα−β=−35，fα=−12，且α∈0,π，β∈π2,π，求2α−β的值.【答案】(1)5(2)−3π4【分析】（1）先用诱导公式化简，然后转化为用tanx表示，再根据条件列方程求解即可；（2）利用（1）的结果先求出tanα−β，tanα，然后利用tan2α−β=tanα−β+α展开计算，确定角的范围即可求角.【详解】（1）由已知fx=sinx+cosx−3cosx+sinx，即fx=tanx+1−3+tanx，因为fφ=3，即tanφ+1−3+tanφ=3，解得tanφ=5；（2）依题意，由fα−β=−35，fα=−12得tanα−β+1−3+tanα−β=−35，tanα+1−3+tanα=−12解得tanα−β=12，tanα=13，∴tan2α−β=tanα−β+α=tanα−β+tanα1−tanα−βtanα=12+131−16=1.∵α∈0,π，tanα=13，∴α∈0,π6，又β∈π2,π，∴α−β∈−π,−π3，∴2α−β∈−π,−π6，∴2α−β=−3π4.【变式10-2】（23-24高一·福建福州·期末）已知函数fx=2cos2x+π4．(1)求fx的单调减区间；(2)A,B,C为△ABC的内角，若fA2=105,fB2=255，求角C的大小．【答案】(1)−π8+kπ,3π8+kπ,k∈Z(2)C=3π4【分析】（1）整体法求单调区间；（2）由三角形内角性质及同角三角函数关系，结合（1）求得A+π4、B+π4的正余弦值，利用两角和正弦公式和诱导公式可得cosA+B=22，从而可解.【详解】（1）令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π,k∈Z，得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，所以fx减区间为−π8+kπ,3π8+kπ,k∈Z．（2）由fA2=105得cosA+π4=1010，由fB2=255得cosB+π4=55，由00，所以π4β【分析】（1）利用特殊三角函数值确定角所属范围，及同角三角函数的平方关系，三角恒等变换计算即可；（2）结合（1）的结论及余弦二倍角公式、余弦函数的单调性判定两角大小即可.【详解】（1）由α∈0,π，得α+π3∈π3,4π3，又sinα+π3=1114∈22,32，所以α+π3∈2π3,3π4，从而cosα+π3<0，有cosα+π3=−1−sin2α+π3=−5314，所以cosα=cosα+π3−π3=cosα+π3cosπ3+sinα+π3sinπ3=−5314×12+1114×32=3314；（2）由（1）知α∈π3,5π12，得2α∈2π3,5π6，而β∈0,π，cosβ=−57，所以β∈π2,π，易知cos2α=2cos2α−1=2×27196−1=−7198<−7098=−57=cosβ，又y=cosx在π2,π上单调递减，所以2α>β．题型十一 求值问题【例11】（2022高一·河南·专题练习）若tanα+2π3=−35，则cosαsinα−3cosα=（    ）A．−233 B．−33 C．233 D．33【答案】A【分析】借助两角和的正切函数公式可得tanα的值，借助弦切转化计算即可得.【详解】依题意，tanα+2π3=tanα−31+3tanα=−35，解得tanα=32，故cosαsinα−3cosα=1tanα−3=−233.故选：A．【变式11-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知sinα+π12=−23，则sin2α+2π3= .【答案】59【分析】注意到2α+2π3=π2+2(α+π12)，利用诱导公式和二倍角公式,将解析式转化为sin(α+π12)的关系式计算即得.【详解】由sin2α+2π3=sin[π2+2(α+π12)]=cos2(α+π12)=1−2sin2(α+π12)=1−2×(−23)2=59.故答案为：59.【变式11-2】（23-24高一·浙江杭州·期末）已知函数fx=3sin2x+2cos2x−1.(1)求fx的单调递增区间；(2)若fα2−π3=1013，α∈π2,π，求sinα+π4的值.【答案】(1)−π3+kπ,π6+kπ,k∈Z(2)7226【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由fα2−π3=1013，代入函数解析式解出cosα和sinα，由两角和的正弦公式求解sinα+π4的值.【详解】（1）fx=3sin2x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x =232sin2x+12cos2x=2sin2x+π6， 令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ,k∈Z，即−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z， 所以fx的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ,k∈Z.（2）由fα2−π3=1013得sinα−π2=513，所以cosα=−513，又因为α∈π2,π，所以sinα=1−cos2α=1213， 所以sinα+π4=sinαcosπ4+cosαsinπ4=7226.【变式11-3】（23-24高一·浙江·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α和角β0<α<π2<β<2π3的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为35，点C与点B关于x轴对称．(1)求cos2α−π2sin2α+cos2α的值；(2)若cos∠AOC=−6365，求cosβ的值．【答案】(1)83(2)−513【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、二倍角公式可求解；（2）根据三角函数的定义及两角差的余弦公式，可求解.【详解】（1）因为A点的横坐标为35，且OA=1，A点在第一象限，所以A点纵坐标为45，所以cosα=35，sinα=45.所以cos2α−π2sin2α+cos2α=sin2αsin2α+cos2α−sin2α =2sinαcosαcos2α=2sinαcosα=2×4535=83.（2）因为cos∠AOC=−6365，由图可知：sin∠AOC=1−cos2∠AOC=1−−63652=1665.而−β+2kπ=α−∠AOC,k∈Z，故α+β=∠AOC+2kπ（k∈Z）⇒ β=∠AOC−α+2kπ（k∈Z），所以cosβ=cos∠AOC−α+2kπ=cos∠AOC−α =cos∠AOCcosα+sin∠AOCsinα =−6365×35+1665×45=−513.【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值问题，利用三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，还有两角差的余弦公式可求解.属于中档题目.【变式11-4】（23-24高一下·山东滨州·开学考试）在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点P32,m，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B．(1)求2cos3α+sin2α+π2−2cos−α−π2+2cos29π+α+cos−α的值；(2)记点B的横坐标为fθ，若fθ−π6=13，且θ∈0,π2，求sinθ−π3+cosθ+7π6的值．【答案】(1)32(2)22−33【分析】（1）由题意可得cosα=32，进而利用诱导公式化简、求解；（2）由题意可得：fθ=cosθ+π6，进而可知cosθ=13，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解.【详解】（1）由于点P在单位圆上，可得cosα=32，所以2cos3α+sin2α+π2−2cos−α−π2+2cos29π+α+cos−α=2cos3α+cos2α+2cosα2+2cos2α+cosα=cosα=32.（2）由（1）可知cosα=32，且α为锐角，可得α=∠xOP=π6，根据三角函数定义可得：fθ=cosθ+π6，因为fθ−π6=13，即cosθ=13，且θ∈0,π2，可得sinθ=1−cos2θ=223，所以sinθ−π3+cosθ+7π6=sinθ+π6−π2+cosθ+π6+π=−cosθ+π6−cosθ+π6=−2cosθ+π6=sinθ−3cosθ=22−33，即sinθ−π3+cosθ+7π6的值为22−33.题型十二 化简求值【例12】（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）若θ∈π2,π，tan2θ=3cosθ2−sinθ，则cosθ=（    ）A．−12 B．−32 C．32 D．12【答案】B【分析】运用切化弦及二倍角公式化简即可求得sinθ，再结合同角三角函数平方关系即可求得cosθ.【详解】因为tan2θ=sin2θcos2θ=2sinθcosθ1−2sin2θ=3cosθ2−sinθ，θ∈(π2,π)，所以4sinθ−2sin2θ=3−6sin2θ，即4sin2θ+4sinθ−3=0，解得sinθ=12或sinθ=−32（舍），又因为θ∈(π2,π)，所以cosθ=−1−sin2θ=−32.故选：B.【变式12-1】（23-24高一·河南洛阳·期末）已知tan2023π+α−1tan2024π−α=103,α∈π4,π2，则2sin2α+π4+2cos2α=（    ）A．−25 B．−310 C．−15 D．0【答案】D【分析】由已知利用诱导公式可求得tanα的值，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解．【详解】因为tan2023π+α−1tan2024π−α=103,α∈π4,π2，所以tanα>1，所以tanα+1tanα=103，解得tanα=3或13(舍去)，则2sin2α+π4+2cos2α=2×22sin2α+22cos2α+2cos2α=sin2α+cos2α+2cos2α=2sinαcosα+cos2α−sin2α+2cos2αsin2α+cos2α=2tanα+3−tan2αtan2α+1=2×3+3−3232+1=0．故选：D．【变式12-2】（多选）（23-24高一·浙江杭州·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（    ）A．sin102°+3cos102° B．2cos78°+2cos42°C．2tan9°cos18°1−tan29° D．sin36°sin108°【答案】AD【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】对于A中，由sin102°+3cos102°=2sin(102°+60°)=2sin162° =2sin(180°−162°)=2sin18°，所以A正确；对于B中，由2cos78°+2cos42°=2cos(60°+18°)+2cos(60°−18°) =4cos60°cos18°=4×12cos18°=2cos18°，所以B不正确；对于C中，由2tan9°cos18°1−tan29°=tan18°cos18°=sin18°，所以C不正确；对于D中，由sin36°sin108°=2sin18°cos18°sin(90°+18°)=2sin18°cos18°cos18°=2sin18°，所以D正确.故选：AD.【变式12-3】（2024高一·全国·专题练习）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1:0.618:1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为7∶3，设∠CAB=α，则1sin2α−tanα= ．【答案】2021【分析】由已知得到tanα=37，利用二倍角公式，同角三角函数关系化弦为切，代入求值．【详解】依题意BCAB=37，所以tanα=37，所以1sin2α−tanα=sin2α+cos2α2sinαcosα−tanα=tan2α+12tanα−tanα=tan2α+1−2tan2α2tanα=1−tan2α2tanα=1−3722×37=2021．故答案为：2021.【变式12-4】（23-24高一·山东临沂·期末）已知fθ=sinπ−θcos2π−θtanπ+θtan−π−θsin−π−θ(1)若角θ是第三象限角，且sinθ−π=15，求f(θ)的值；(2)若θ为锐角，且(4cos50∘−tan40∘)tanθ=1，求f(θ)的值.【答案】(1)265(2)−32【分析】（1）利用诱导公式化简fθ=−cosθ，求出sinθ，利用平方关系求出cosθ，代入fθ；（2）利用诱导公式、弦化切、两角差的正弦展开式化简可得tanθ=33，求出θ可得答案.【详解】（1）fθ=sinπ−θcos2π−θtanπ+θtan−π−θsin−π−θ=sinθcosθtanθ−tanθsinθ=−cosθ因为θ是第三象限角，且sinθ−π=15，所以sinθ=−15，则cosθ=−1−sin2θ=−265，所以fθ=265；（2）方法一：4cos50∘−tan40∘=4sin40∘−tan40∘=4sin40∘cos40∘cos40∘−sin40∘cos40∘=2sin120∘−40∘−sin40∘cos40∘=3cos40∘+sin40∘−sin40∘cos40∘=3，∴tanθ=13=33，又θ是锐角，所以θ=π6，则fθ=−cosπ6=−32.方法二：4cos50∘−tan40∘=4sin40∘−tan40∘=4sin40∘cos40∘cos40∘−sin40∘cos40∘=2cos10∘−sin30∘+10∘cos40∘ =32cos10∘−32sin10∘cos40∘=332cos10∘−12sin10∘cos40∘ =3sin50∘cos40∘=3，∴tanθ=13=33，又θ是锐角，所以θ=π6，则fθ=−cosπ6=−32.题型十三 辅助角公式的运用【例13】（23-24高一·浙江·期末）已知锐角αα≠50°满足3cos140°−α⋅cosα+sin100°+α=sinα−20°，则cos2α=（    ）A．13 B．−13 C．−33 D．33【答案】B【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得到cosα=33，再利用余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由3cos140°−α⋅cosα+sin100°+α=sinα−20°，可得3cos180°−40°−α⋅cosα+sin180°−80°+α=sinα−20°，可得−3cos40°+α⋅cosα+sin80°−α=sinα−20°，所以−3cos40°+α⋅cosα+cos10°+α=sinα−20°可得−3cos40°+α⋅cosα+cos[30°−(20°−α)]=sinα−20°即−3cos40°+α⋅cosα+32cos(20°−α)+12sin(20°−α)=sinα−20°，可得−3cos40°+α⋅cosα=32sinα−20°−32cos(α−20°)=3sin(α−20°−30°)=−3sin(50°−α)=−3cos(40°+α)，所以cosα=33，则cos2α=2cosα−1=2×(33)2−1=−13.故选：B.【变式13-1】（23-24高一·福建福州·期末）函数fx=sinx−acosxx∈R的图象的一条对称轴方程是x=−π4，则a的值是（    ）A．1 B．－1 C．0 D．±1【答案】A【分析】利用三角函数对称轴和最值的关系，列式求解.【详解】函数fx=1+a2sinx+φ的最大值为1+a2，因为函数fx的图象的一条对称轴方程是x=−π4，所以f−π4=−22−22a=1+a2，解得：a=1.故选：A【变式13-2】（23-24高一·山东菏泽·期末）已知fx=sinx+2cosx，当x=θ时，fx取得最大值，则tanθ= .【答案】12/0.5【分析】利用辅助角公式可得出fx=5sinx+α，其中cosα=55，sinα=255，α为锐角，根据题意确定θ与α的关系，结合诱导公式可求得tanθ的值.【详解】令cosα=55，sinα=255，其中α为锐角，则fx=sinx+2cosx=555sinx+255cosx=5sinxcosα+cosxsinα=5sinx+α，因为当x=θ时，fx取得最大值，则θ+α=2kπ+π2k∈Z，所以，θ=2kπ+π2−αk∈Z，所以，sinθ=sin2kπ+π2−α=cosα=55，cosθ=cos2kπ+π2−α=sinα=255，故tanθ=sinθcosθ=55⋅525=12.故答案为：12.【变式13-3】（23-24高一·山东济南·期末）已知函数fx=asinx+cosx的图象关于直线x=π4对称，则f3π4的值为 .【答案】0【分析】由题意利用辅助角公式，化简fx=asinx+cosx，结合图象关于直线x=π4对称可求得φ的值，即可求得a的值，进而求得答案.【详解】由题意得函数fx=asinx+cosx=a2+1sinx+φ，显然a≠0，sinφ=1a2+1,cosφ=aa2+1,tanφ=1a，又函数fx=asinx+cosx的图象关于直线x=π4对称，故π4+φ=π2+kπ,k∈Z,则φ=π4+kπ,k∈Z，故tanφ=tan(π4+kπ)=1=1a，则a=1，故f(3π4)=sin3π4+cos3π4=0.故答案为：0【变式13-4】（22-23高一下·北京·期中）已知函数f(x)=2sin(ωx−π4)（其中ω>0）的最小正周期为π．(1)求f(x)的单调增区间；(2)设gx=fx+22cos2x，若gx在区间0,m上的最大值为2，求m的取值范围．【答案】(1)[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z)；(2)[π8,+∞).【分析】（1）根据给定条件，求出函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性求解即得.（2）由（1）求出函数g(x)，利用和差角的正弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】（1）依题意，2πω=π，解得ω=2，则f(x)=2sin(2x−π4)，令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2,k∈Z，得kπ−π8≤x≤kπ+3π8,k∈Z，所以f(x)的单调增区间[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z).（2）由（1）知，g(x)=f(x)+22cos2x=2sin(2x−π4)+22cos2x=2sin2x−2cos2x+22cos2x=2sin(2x+π4)，由x∈0,m，得2x+π4∈[π4,2m+π4]，由g(x)在区间0,m上的最大值为2，则2m+π4≥π2，解得m≥π8，所以m的取值范围是[π8,+∞).题型十四 函数值域、最值问题【例14】（23-24高一·湖北武汉·期末）已知θ∈0,π2，则函数y=sinθ−cosθ+2sinθcosθ的值域为（    ）A．−1,1 B．−1−2,54 C．1,54 D．−1,54【答案】D【分析】令t=sinθ−cosθ=2sinθ−π4∈−1,1，可得出y=−t2+t+1，求出二次函数y=−t2+t+1在−1,1上的值域即可得解.【详解】因为θ∈0,π2，则−π4≤θ−π4≤π4，则−22≤sinθ−π4≤22，令t=sinθ−cosθ=2sinθ−π4∈−1,1，所以，t2=sinθ−cosθ2=1−2sinθcosθ，则2sinθcosθ=1−t2，则y=sinθ−cosθ+2sinθcosθ=t+1−t2=−t2+t+1，函数y=−t2+t+1在−1,12上单调递增，在12,1上单调递减，所以，ymax=−122+12+1=54，当t=−1时，y=−1−1+1=−1；当t=1时，y=−1+1+1=1，则ymin=−1.因此，当θ∈0,π2时，则函数y=sinθ−cosθ+2sinθcosθ的值域为−1,54.故选：D.【变式14-1】（23-24高一·河南许昌·期末）已知函数fx=sinx+π3，若关于x的方程fx=m在区间−π6,π上有两个不同实根x1,x2，则cosx1−x2−23m的最小值为 .【答案】−52/−2.5【分析】画出函数fx=sinx+π3的图象，结合图象得12≤m<1,−π6≤x1<π6，根据对称性把cosx1−x2−23m转化为cos2x1−π3−23sinx1+π3，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可.【详解】方程fx=m在−π6,π上有两个不同的实根等价于y=fx与y=m的图象在−π6,π上有两个交点，如图为函数fx=sinx+π3在−π6,π上的图象：由图中可以看出当y=fx与y=m有两个交点时，有12≤m<1，x1+x2=π6×2=π3且−π6≤x1<π6，此时m=sinx1+π3，所以cosx1−x2−23m=cos2x1−π3−23sinx1+π3 =2cos2x1−π6−23cosx1−π6−1令t=cosx1−π6，因为−π6≤x1<π6，则x1−π6∈−π3,0，所以t∈12,1，记gt=2t2−23t−1，t∈12,1，因为函数gt=2t2−23t−1开口向上，且对称轴为t=32，所以当t=32时，gtmin=2×322−23×32−1=−52，所以cosx1−x2−23m的最小值为−52.故答案为：−52【点睛】关键点点睛：本题以方程有根为背景考查了正弦函数的对称性及三角恒等变换、余弦型复合函数值域问题.解题的关键是把方程有根问题转化为函数交点问题，利用正弦函数对称性消元，从而转化为余弦型复合函数的最值问题，采用换元法，利用二次函数性质求解最值即可.【变式14-2】（23-24高一·浙江宁波·期末）已知函数fx=sinx−bcosx−2+ax在R上既有最大值M，又有最小值m.若M+m=4，则a= ，b= .【答案】 0 2【分析】根据fx在R上的值域为m,M，判断出a=0，得到fx=sinx−bcosx−2，然后根据三角函数的有界性，转化为不等式的解集问题，再根据方程与不等式的关系，即可求b的值.【详解】对于函数fx=sinx−bcosx−2+ax，当a≠0时，它在R上没有最大值，也没有最小值，所以，由fx在R上既有最大值M，又有最小值m，必有a=0，所以fx=sinx−bcosx−2，其值域为m,M.由y=sinx−bcosx−2得cosx−2y=sinx−b，sinx−ycosx=b−2y，1+y211+y2sinx−y1+y2cosx=b−2y，1+y2sinx−φ=b−2y，其中tanφ=y，所以sinx−φ=b−2y1+y2，因为sinx−φ≤1，所以b−2y1+y2≤1，所以b−2y≤1+y2，两边平方得y2−22by+b2−1≤0，因为Δ=22b2−4b2−1 =4b2+4>0，根据题意可得y2−22by+b2−1≤0的解集为m,M.所以m,M为方程y2−22by+b2−1=0的根，所以m+M=22b，所以22b=4，解得b=2.故答案为：0，2.【变式14-3】（23-24高一·广东深圳·期末）已知实数x,y>0，且1x+4y≤9x+y.记u=cosx+cosy，则yx= ，u的最小值为 .【答案】 2 −98/−118【分析】先将题设不等式等价转化，再利用基本不等式推理得到yx=4xy，从而求得yx的值；对于函数u=cosx+cosy，利用前面的结论消去x，运用二倍角公式将其整理成二次函数型，换元后利用图像分析即得.【详解】∵x,y>0，且1x+4y≤9x+y,∴x+y1x+4y≤9，化简得yx+4xy≤4，又yx+4xy≥2yx⋅4xy=4,∴yx+4xy=4，当且仅当yx=4xy时，等号成立，易求得：yx=2.故u=cosx+cosy=cosx+cos2x=2cos2x+cosx−1=2cosx+142−98，因x>0时，−1≤cosx≤1，设t=cosx,则u=2(t+14)2−98，t∈[−1,1],故当t=cosx=−14,(x>0)时，u的最小值为−98.故答案为：2；−98.【变式14-4】（23-24高一·安徽芜湖·期末）如图，已知l1∥l2,A是l1,l2之间的一点，点A到l1,l2的距离分别为ℎ1,ℎ2，且ℎ1+ℎ2=2,B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C．设∠ABD=α．  (1)若α=π6，求3AC+1AB的最小值；(2)若ℎ1=ℎ2=1，求△ABC周长的最小值．【答案】(1)144+23(2)22+1【分析】（1）由题意可得AC=ℎ1cosα,AB=ℎ2sinα，即3AC+1AB=32ℎ1+12ℎ2，进而利用基本不等式即可求解；（2）由题意可得AB=1sinα,AC=1cosα，由勾股定理得BC=1sinαcosα，进而得△ABC的周长cosα+sinα+1sinαcosα，令t=cosα+sinα，利用辅助角公式求t的取值范围，在利用同角三角函数的基本关系得sinαcosα=t2−12，从而进行化简并利用函数的单调性求最小值.【详解】（1）由题意知，∠ADB=∠AEC=∠BAC=π2，于是∠BAD+α=π2∠BAD+∠CAE=π2，则∠CAE=α.当α=π6时，AC=ℎ1cosα=ℎ132,AB=ℎ2sinα=2ℎ2，即1AC=32ℎ1,1AB=12ℎ2，所以3AC+1AB=32ℎ1+12ℎ2，又ℎ1+ℎ2=2，于是32ℎ1+12ℎ2=32ℎ1+12ℎ2ℎ1+ℎ22=144+3ℎ2ℎ1+ℎ1ℎ2≥144+23，当且仅当ℎ1=3−3，ℎ2=3−1时，等号成立．故3AC+1AB的最小值为144+23.（2）由题意知：AB=ℎ2sinα=1sinα,AC=ℎ1cosα=1cosα，因为∠ADB=π2，所以0<α<π2，又Rt△ABC中BC=1cos2α+1sin2α=1sinαcosα0<α<π2，所以△ABC的周长C=1sinα+1cosα+1sinαcosα=cosα+sinα+1sinαcosα0<α<π2，令t=cosα+sinα=2sinα+π4∈1,2，由cosα+sinα2=t2得sinαcosα=t2−12，所以周长C=t+1t2−12=2t−1，易知函数y=2t−1在1,2上单调递减，所以当t=2，即α=π4时周长最小，最小值为22+1．故当ℎ1=ℎ2=1时，△ABC周长的最小值为22+1.题型十五 新定义习题【例15】（多选）（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，存在以原点O为圆心的单位圆，过点Px,0,x>1作该单位圆的两条切线，切点分别为A,B，切线长PA、角∠APB随x变化的函数分别为lx,θx，定义fx=l2x⋅cosθx，则（   ）A．函数fx的零点是2B．函数fx的零点是3C．函数fx的最小值为22−3D．函数fx的最小值为23−4【答案】AC【分析】由fx=0可知必有cosθx=0，可得∠APB=π2，可得四边形PAOB为正方形，则x=OP=2OA=2，可判断A正确，B错误；利用三角函数性以及二倍角公式可得函数fx=l2x⋅cosθx=x2+2x2−3，再由对勾函数性质可得函数fx的最小值为22−3.【详解】连接OA,OB，如下图所示：由题意可知OA=OB=1，OA⊥PA，OB⊥PB，切线长lx>0，因此fx=l2x⋅cosθx=0时必有cosθx=0，可得∠APB=π2，即PA⊥PB，则四边形PAOB有三个内角为直角，同时有两条邻边相等，其必为正方形，则x=OP=2OA=2，故函数fx的零点是2，即A正确，B错误；易证△OAP≅△OBP，则∠APO=∠BPO，而OA=1，OP=x，可得l2x=PA2=OP2−OA2=x2−1，sin∠APO=AOOP=1x，cos∠APB=cos2∠APO=1−2sin2∠APO=1−2x2，故fx=l2x⋅cosθx=x2−11−2x2=x2+2x2−3，令t=x2>1，由对勾函数性质可知gt=t+2t−3在1,2上单调递减，2,+∞上单调递增；则gt的最小值为g2=2+22−3=22−3，即fx的最小值为22−3，即C正确，D错误；故选：AC【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用几何关系写出fx=l2x⋅cosθx=x2+2x2−3，再利用对勾函数单调性即可得出最值.【变式15-1】（23-24高一·云南德宏·期末）已知直线m//n，点A是m,n之间的一个定点，并且点A到m,n的距离分别为d1,d2．点B是直线n上的一个动点，作AC⊥AB，且使AC与直线m交于点C．过点A作AD⊥n，垂足为D．设∠ABD=θ，已知△ABC的面积S是关于角θ的函数，记为Sθ，则Sθ的最小值为 ．【答案】d1d2/d2d1【分析】根据三角形的有关知识求得Sθ的表达式，再根据三角函数的知识求得Sθ的最小值.【详解】过点A作AE⊥m，垂足为E，由于m//n，AC⊥AB，∠ABD=θ，所以∠EAC=θ，所以AB=d2sinθ,AC=d1cosθ，所以Sθ=12AB⋅AC=d1d22sinθcosθ=d1d2sin2θ，依题意可知0<θ<π2，所以0<2θ<π，所以当2θ=π2,θ=π4时，Sθ取得最小值为d1d2.故答案为：d1d2【点睛】求得三角函数的最值、值域有关问题，可以先将需要求解最值的表达式进行化简，需要用到三角恒等变换的有关公式，转化为一个角、次数为1，形如Asinωx+φ+B的形式，再由此来求得三角函数的最值或值域.【变式15-2】（2024高一下·上海·专题练习）对于集合A=θ1,θ2,⋅⋅⋅,θn和常数θ0，定义：μ=cos2 θ1−θ0+cos2 θ2−θ0+…+cos2 θn−θ0n为集合A相对θ0的“余弦方差”．(1)若集合A=π6,π4，θ0=0，求集合A相对θ0的“余弦方差”；(2)求证：集合A=π3,2π3,π，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，并求此定值；(3)若集合A=π4,α,β，α∈0,π,β∈π,2π，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值，求出α、β．【答案】(1)58(2)证明见解析，12(3)α=712π，β=2312π或α=1112π，β=1912π【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解，（2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解，（3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得cos2α+cos2β=01+sin2α+sin2β=0，即可结合三角函数的性质求解.【详解】（1）依题意得，μ=cos2π6−0+cos2π4−02=34+122=58；（2）证明：由“余弦方差”定义得：μ=cos2 π3−θ0+cos2 2π3−θ0+cos2 π−θ03，则分子=cosπ3cosθ0+sinπ3sinθ02+cos2π3cosθ0+sin 2π3sinθ02+cosπcosθ0+sinπsinθ02=12cosθ0+32sinθ02+−12cosθ0+32sinθ02+cos2θ0=12cos2θ0+32sin2θ0+cos2θ0=32，∴μ=323=12为定值，与θ0的取值无关．（3）分子=cosπ4cosθ0+sinπ4sinθ02+cos αcosθ0+sin αsinθ02+cos βcosθ0+sin βsinθ02 =12cos2θ0+12sin2θ0+sinθ0cosθ0+cos2αcos2θ0+sin2αsin2θ0+2sinθ0cosθ0sinαcosα +cos2βcos2θ0+sin2βsin2θ0+2sinθ0cosθ0sinβcosβ=12+cos2α+cos2βcos2θ0+12+sin2α+sin2βsin2θ0+1+sin2α+sin2βsinθ0cosθ0 =1+cos2θ0212+cos2α+cos2β+1−cos2θ0212+sin2α+sin2β+121+sin2α+sin2βsin2θ0 =cos2θ02cos2α+cos2β+sin2θ021+sin2α+sin2β+1212+cos2α+cos2β+1212+sin2α+sin2β=32+12sin2θ0⋅1+sin2α+sin2β+12cos2θ0⋅cos2α+cos2β．要使μ是一个与θ0无关的定值，则cos2α+cos2β=01+sin2α+sin2β=0，∵cos2α=−cos2β，∴2α与2β终边关于y轴对称或关于原点对称，又sin2α+sin2β=−1，得2α与2β终边只能关于y轴对称，∴sin2α=sin2β=−12cos2α=−cos2β ,又α∈0,π,β∈π,2π则当2α=76π时，2β=236π当2α=116π时，2β=196π． 故α=712π，β=2312π或α=1112π，β=1912π故α=712π，β=2312π或α=1112π，β=1912π时，相对任何常数θ0的“余弦方差”是一个与θ0无关的定值．【点睛】关键点点睛：利用公式μ=cos2 θ1−θ0+cos2 θ2−θ0+…+cos2 θn−θ0n将所给的集合A代入运算，利用和差角公式，二倍角公式化简.【变式15-3】（23-24高一·云南昆明·期末）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割secα=1cosα，余割cscα=1sinα，则函数f(x)=3secx+1cscx的值域为（   ）A．f(x)−2≤f(x)≤2 B．f(x)−2≤f(x)≤2且f(x)≠±1且f(x)≠±3C．fx−2≤f(x)≤2且f(x)≠±3 D．f(x)−10x2+6x+5=2x−3a有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.【详解】（1）因为ℎ(x)=sinx−π6=sinxcosπ6−cosxsinπ6=32sinx−12cosx =32f1x−12f2x，取a=32,b=−12，故ℎx=af1x+bf2x，故存在实数a=32,b=−12，使得ℎ(x)为f1(x)与f2(x)的生成函数.（2）若存在，则f1x+f2x=ex，故f1−x+f2−x=ex，所以−f1x+f2x=ex，故f1x=ex−e−x2,f2x=ex+e−x2.（3）依题意可得，ℎ(x)=ln(x2+6x+5)−ln(2x−3a)，  令ℎ(x)=0，可得x2+6x+5>0x2+6x+5=2x−3a，即x2+4x+5=−3a（x<−5或x>−1），令g(x)=x2+4x+5（x<−5或x>−1），结合图象可知，当2<−3a≤10时，y=g(x)的图象与直线y=−3a只有一个交点，所以，实数a的取值范围为[−103,−23).题型十六 恒成立问题【例16】（23-24高一·重庆·期末）若不等式2a−sinx+acosx≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．【答案】33,+∞【分析】根据题意分析可得2a≥a2+1sinx−φ，根据恒成立问题结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】因为2a−sinx+acosx≥0，则2a≥sinx−acosx=a2+1sinx−φ，其中sinφ=aa2+1,cosφ=1a2+1，当x−φ=2kπ+π2,k∈Z时，a2+1sinx−φ取到最大值a2+1，可得2a≥a2+1，解得a≥33，所以实数a的取值范围是33,+∞.故答案为：33,+∞.【变式16-1】（23-24高一·重庆·期末）已知函数f(x)=1−2ex+1−log21+x2−x,x∈R．点Px0,y0x0>0是单位圆上的动点，若不等式fm−2x0y0−1+fx0+y0+m+1<0恒成立，则实数m的范围为 ．【答案】−∞,−58【分析】由题意首先得f(x)在R上是奇函数和增函数，将不等式等价转换为2m<2x0y0−x0+y0，通过三角换元等即可求得不等号右边的最小值，由此即可得解.【详解】由题意f(x)=1−2ex+1−log21+x2−x=ex−1ex+1−log21+x2−x,x∈R，所以f(x)+f−x=ex−1ex+1−log21+x2−x+e−x−1e−x+1−log21+x2+x=ex−1ex+1+1−exex+1−log21=0，所以f(x)在R上是奇函数，且f(x)=1−2ex+1+log211+x2−x=1−2ex+1+log21+x2+x,x∈R是增函数，由fm−2x0y0−1+fx0+y0+m+1<0，得fx0+y0+m+1<−fm−2x0y0−1=f−m+2x0y0+1,x0+y0+m+1<−m+2x0y0+1，2m<2x0y0−x0+y0，因为Px0,y0x0>0是单位圆上的动点，设x0=cosα,y0=sinα−π2<α<π2，则2x0y0−x0+y0=2sinαcosα−(sinα+cosα)，令t=sinα+cosα=2sinα+π4，则−10恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)a=1，fx在R上为减函数(2)k<−32【分析】（1）根据奇函数的性质f0=0，即可求解a=1，进而由指数函数的单调性即可作出判断，（2）根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为−k>3sinθcosθ+cos2θ在θ∈0,π6上恒成立，构造函数gθ=3sinθcosθ+cos2θ，利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解最值即可求解.【详解】（1）因为fx是奇函数，所以f0=0，即f0=−1+a1+1，解得a=1,a=1时，fx=−2x+12x+1,f−x=−2−x+12−x+1=−1+2x2x+1=−fx，满足fx是奇函数，故a=1，fx=−2x+12x+1=−1+22x+1，定义域为R，由于函数y=2x+1 单调递增，则y=22x+1单调递减，故fx=−1+22x+1为单调递减函数，故fx在R上为减函数，（2）fx是奇函数，由f3sinθcosθ+fk+cos2θ>0得：f3sinθcosθ>f−k−cos2θ，又fx为减函数所以3sinθcosθ<−k−cos2θ，即−k>3sinθcosθ+cos2θ在θ∈0,π6上恒成立，设gθ=3sinθcosθ+cos2θ，则gθ=sin2θ+π6+12因为θ∈0,π6，则2θ+π6∈π6,π2，所以sin2θ+π6∈12,1所以，gθ∈1,32，所以−k>32，即k<−32【变式16-3】（23-24高一·山西朔州·期末）（1）已知tanπ+θ−1tan2π−θ=103,θ∈π4,π2，求2sin2θ+π4+2cos2−θ的值.（2）已知函数fx=2sinx+cosx,x∈0,2π，其中x表示不超过x的最大整数.例如：1=1,0.5=0,−0.5=−1.若fx>x+a对任意x∈0,3π2都成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）0（2）−∞,14−3π2【分析】（1）根据tanπ+θ−1tan2π−θ=103求出tanθ，据此即可求出2sin2θ+π4+2cos2−θ的值；（2）讨论x的取值范围，求出fx−x>14−3π2，根据不等式恒成立，只需a≤14−3π2即可求解.【详解】（1）因为tanπ+θ−1tan2π−θ=103，所以tanθ−1tan−θ=103，所以tanθ+1tanθ=103，所以3tan2θ−10tanθ+3=0，所以tanθ=13或tanθ=3，因为θ∈π4,π2，所以tanθ>1，所以tanθ=3，所以2sin2θ+π4+2cos2−θ=2sin2θcosπ4+cos2θsinπ4+2cos2θ=sin2θ+cos2θ+2cos2θ =2sinθcosθsin2θ+cos2θ+cos2θ−sin2θ+2cos2θ=2tanθtan2θ+1+3cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ =2tanθtan2θ+1+3−tan2θtan2θ+1=2×3+3−99+1=0；（2）sinx+cosx=2sinx+π4，当x∈0,π2时，2sinx+π4∈1,2,fx−x=21−x=2−x∈2−π2,2，当x∈π2,3π4时，2sinx+π4∈0,1,fx−x=20−x=1−x∈1−3π4,1−π2，当x∈3π4,π时2sinx+π4∈−1,0,fx−x=2−1−x=12−x∈12−π,12−3π4，x∈π,3π2,2sinx+π4∈−2,−1,fx−x=2−2−x=14−x∈14−3π2,14−π，f3π2−3π2=2−1−3π2=12−3π2;又fx>x+a对任意x∈0,3π2都成立，即a14−3π2，所以a≤14−3π2，所以实数a的取值范围是−∞,14−3π2.【变式16-4】（23-24高一·福建宁德·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程y=c(exc+e−xc)2，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数coshx=ex+e−x2，类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=ex−e−x2.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)∀x∈[−1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0恒成立，求实数m的取值范围；(3)若x∈[π4,3π2]，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.【答案】(1)2sinhxcoshx；(2)m≥−1；(3)cosh(sinx)>sinh(cosx).【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解.（2）根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得.（3）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.【详解】（1）sinh2x=e2x−e−2x2=(ex−e−x)(ex+e−x)2=2sinhxcoshx.（2）依题意，∀x∈[−1,1]，不等式cosh2x+mcoshx≥0⇔e2x+e−2x2+m⋅ex+e−x2≥0，函数u=ex在[−1,1]上单调递增，u∈[e−1,e]，令t=ex+e−x=u+1u，显然函数t=u+1u在[e−1,1]上单调递减，在[1,e]上单调递增，t∈[2,e−1+e]，又e2x+e−2x=(ex+e−x)2−2=t2−2，于是∀x∈[−1,1]，cosh2x+mcoshx≥0⇔t2−22+mt2≥0，因此∀t∈[2,e−1+e]，m≥2t−t，显然函数y=2t−t在[2,e−1+e]上单调递减，当t=2时，ymax=−1，从而m≥−1，所以实数m的取值范围是m≥−1.（3）∀x∈[π4,3π2]，cosh(sinx)>sinh(cosx).依题意，x∈[π4,3π2]，cosh(sinx)−sinh(cosx)=esinx+e−sinx2−ecosx−e−cosx2=12(esinx−ecosx+e−sinx+e−cosx)，当x∈[π4,5π4]时，x−π4∈[0,π]，sinx−cosx=2sin(x−π4)≥0，即sinx≥cosx，于是esinx−ecosx≥0，而e−sinx+e−cosx>0，因此cosh(sinx)−sinh(cosx)>0，当x∈(5π4,3π2]时，cosx≤0，则−cosx≥cosx，ecosx≤e−cosx，即ecosx−e−cosx≤0，而esinx+e−sinx>0，因此cosh(sinx)−sinh(cosx)>0，于是∀x∈[π4,3π2]，cosh(sinx)−sinh(cosx)>0，所以cosh(sinx)>sinh(cosx).【点睛】结论点睛：函数y=fx的定义区间为D，①若∀x∈D，总有mf(x)成立，则m>f(x)max；③若∃x∈D，使得mf(x)成立，则m>f(x)min.题型十七 实际应用【例17】（23-24高一·广东广州·期末）如图，要在一块半径为6．圆心角为45°的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设∠AOP=α，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为 ，此时tanα= ．【答案】 9 12/0.5【分析】根据题意，得到矩形ABCD的面积为AD⋅CD=36sinα(cosα−sinα)，矩形EFGC的面积为GC⋅FG=9sin2α，进而化简S=452sin(2α+θ)−272，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解.【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为45°的扇形铁皮，可得0∘<α<45∘且AD=6sinα,OD=6cosα，在直角△BCO中，∠BOC=45∘，所以OC=BC=AD=6sinα，所以CD=6cosα−6sinα，所以矩形ABCD的面积为AD⋅CD=36sinα(cosα−sinα)，因为F为OB的中点，所以EF=FG=12BC=3sinα，所以矩形EFGC的面积为GC⋅FG=9sin2α，所以两块矩形铁皮的面积之和为：S=36sinα(cosα−sinα)+9sin2α=36sinαcosα−27sin2α=18sin2α−27sin2α=18sin2α−27×1−cos2α2=18sin2α+272cos2α−272=452sin(2α+θ)−272，其中0∘<α<45∘，且cosθ=45,sinθ=35,0∘<θ<90∘，所以，当sin(2α+θ)=1时，S取得最大值9，此时2α+θ=90∘，即2α=90∘−θ，所以tan(2α)=tan(90∘−θ)=cosθsinθ=43，因为tan(2α)=2tanα1−tan2α，所以2tanα1−tan2α=43，即2tan2α+3tanα−2=0，解得tanα=12或tanα=−2（不合题意，舍去），综上可得，当tanα=12时，S取得最大值9.故答案为：9；12【点睛】知识方法点拨：求解三角函数实际应用问题的处理策略：1.若已知三角函数模型，根据给定的三角函数模型，利用三角函数的图象与性质解决问题，其关键在于准确理解自变量的意义，以及自变量与函数之间的对应关系；2、把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，结合三角函数的图象与性质等有关知识解决问题，其关键在于正确理解题意，合理建模.【变式17-1】（23-24高一·江苏无锡·期末）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上.记梯形ABCD的周长为y，∠CAB=θ.  (1)将y表示成θ的函数；(2)求梯形ABCD周长的最大值.【答案】(1)y=8sinθ+4cos2θ+4,θ∈(0,π4)；(2)10.【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形边角关系求解即得.（2）利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值.【详解】（1）由AB是半圆的直径，得AC⊥BC，则AD=BC=ABsin∠CAB=4sinθ，过O作OE⊥CD交CD于E，连接CO，则∠COB=2θ,∠EOC=π2−2θ，  因此CD=2CE=2OCsin∠EOC=4cos2θ，所以y=8sinθ+4cos2θ+4,θ∈(0,π4).（2）由（1）知y=8sinθ+4cos2θ+4=−8sin2θ+8sinθ+8,θ∈(0,π4)，设t=sinθ∈(0,22)，则y=−8t2+8t+8，显然当t=12时，y有最大值10，所以梯形ABCD周长的最大值是10.【变式17-2】（23-24高一·山东济南·期末）如图所示，在等腰直角△OAB中，∠AOB=π2,OA=2,M为线段AB的中点，点P,Q分别在线段AM,BM上运动，且∠POQ=π4，设∠AOP=θ.  (1)设PM=fθ，求θ的取值范围及fθ；(2)求△OPQ面积的最小值.【答案】(1)fθ=tanπ4−θ,θ∈0,π4(2)2−1【分析】（1）根据条件得OM=1,∠AOM=π4,OM⊥AB，即可得θ∈0,π4，在Rt△OMP中，利用PM=OM⋅tan∠POM即可求出结果；（2）根据条件得到S△OPQ=121−tanθ1+tanθ+tanθ，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为△OAB为等腰直角三角形，OA=2,M为线段AB的中点，所以OM=1,∠AOM=π4,OM⊥AB.因为点P在线段AM上运动，所以θ∈0,π4，因为∠AOP=θ，所以∠POM=π4−θ,PM=OM⋅tan∠POM=tanπ4−θ，所以fθ=tanπ4−θ,θ∈0,π4.（2）因为∠POQ=∠MOA=π4，所以∠QOM=θ,QM=OM⋅tan∠QOM=tanθ，所以PQ=PM+QM=tanπ4−θ+tanθ，所以S△OPQ=12PQ⋅OM=12tanπ4−θ+tanθ=121−tanθ1+tanθ+tanθ=1221+tanθ+tanθ−1=1221+tanθ+1+tanθ−2≥1222−2=2−1，当且仅当tanθ=2−1∈0,1时，等号成立，所以△OPQ面积的最小值为2−1.  【变式17-3】（23-24高一·重庆·期末）如图所示，ABCD是一块边长为8米的荒地，小花想在其中开圼出一块地来种植玫瑰花.已知一半径为6米的扇形区域TAN已被小明提前撒下了蔬菜种子，扇形区域外能供小花随意种植玫瑰花.最后小花决定在能种植玫瑰的区域选定一块矩形PQCR区域进行种植，其中R在DC边上，Q在BC边上，P是弧TN上一点.设∠TAP=θ，矩形PQCR的面积为S平方米.(1)求S关于θ的函数解析式；(2)求S的取值范围【答案】(1)S=64−48sinθ+cosθ+36sinθcosθ,0≤θ≤π2(2)14,16【分析】（1）用三角函数分别表示出PR=8−6sinθ,PQ=8−6cosθ，再由矩形的面积公式表示出S关于θ的函数解析式即可.（2）令sinθ+cosθ=t，由同角的三角函数关系得到t2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，即sinθcosθ=t2−12，再由二次函数的性质求出取值范围即可.【详解】（1）如图，延长RP交AB于点E，延长QP交AD于点F.由四边形ABCD是正方形，四边形PQCR是矩形，可知PE⊥AB,PF⊥AD.由∠TAP=θ,AP=6，可得EP=6sinθ,FP=6cosθ,∴PR=8−6sinθ,PQ=8−6cosθ，∴S=PR⋅PQ=8−6sinθ8−6cosθ=64−48sinθ+cosθ+36sinθcosθ.S=64−48sinθ+cosθ+36sinθcosθ,0≤θ≤π2.（2）令sinθ+cosθ=t，由0≤θ≤π2，可得θ+π4∈π4,3π4，故t=sinθ+cosθ=2sinθ+π4∈1,2t2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，即sinθcosθ=t2−12，∴S=18t2−48t+46,t∈1,2，其对称轴为t=43,t∈1,2所以当t=1时，S取最大值，最大值为16；所以当t=43时，S取最小值，最小值为14.即S∈14,16.【变式17-4】（23-24高一·福建厦门·期末）水星是离太阳最近的行星，在地球上较难观测到.当地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角达到最大时，称水星东（西）大距，这是观测水星的最佳时机（如图1）.将行星的公转视为匀速圆周运动，则研究水星大距类似如下问题：在平面直角坐标系中，点A，B分别在以坐标原点O为圆心，半径分别为1，3的圆上沿逆时针方向做匀速圆周运动，角速度分别为ωA=π3rad/s，ωB=π6rad/s.当∠OBA达到最大时，称A位于B的“大距点”.如图2，初始时刻A位于(1,0)，B位于以Ox为始边的角φ(0≤φ<2π)的终边上.  （1）若φ=0，当A第一次位于B的“大距点”时，A的坐标为 ；（2）在30s内，A位于B的“大距点”的次数最多有 次【答案】 −79,429 6【分析】根据题意可得Acosπ3t,sinπ3t，B3cosπ6t,3sinπ6t，可得cos∠AOB=cosπ6t=13，结合倍角公式运算求解；根据题意分析可知求“大距点”个数的问题转化为直线y=13与y=cosπ6t−φ在t∈[0,30]的交点个数问题，结合图象分析求解.【详解】（1）当φ=0时，经过时间t，Acosπ3t,sinπ3t，B3cosπ6t,3sinπ6t，当A位于B的“大距点”时，AB与小圆相切，此时△ABO为直角三角形，所以cos∠AOB=OAOB=13，因为ωA>ωB，所以cos∠AOB=cosπ3t−π6t=cosπ6t=13，因为A是第一次位于B的“大距点”，可知0<π6t<π2，则sinπ6t=223，所以cosπ3t=2cos2π6t−1=−79，sinπ3t=2sinπ6tcosπ6t=429，即A的坐标为−79,429；（2）经过时间t，Acosπ3t,sinπ3t，B3cosπ6t+φ,3sinπ6t+φ，对于任意φ∈[0,2π)，当A位于B的“大距点”时，A，B两点坐标满足cosπ3t−π6t+φ=13，即cosπ6t−φ=13，当t∈[0,30]时，求“大距点”个数的问题转化为直线y=13与y=cosπ6t−φ在t∈[0,30]的交点个数问题.若y=13与y=cosπ6t−φ有7个交点，则第1个交点到第7个交点间隔恰好3个周期，共长度等于36，因为30<36，所以30s内不可能有7个交点.又当φ=π2时，y=cosπ6t−π2=sinπ6t如图所示，y=13与y=sinπ6t有6个交点，故A最多有6次位于B的“大距点”.故答案为：−79,429；6.  【点睛】方法点睛：数形结合求交点个数：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个．题型十八 零点问题【例18】（多选）（23-24高一·湖北武汉·期末）已知函数fx=sin2x−π6−sin4x+cos4x，则下列关于函数fx的说法正确的是（    ）A．函数fx在2π3,π上单调递增B．函数fx的图象可以由y=sin2x图象向左平移π12个单位长度得到C．fx=fπ6−xD．若函数y=fx+12在a,b上至少有11个零点，则b−a的最小值为5π【答案】ABD【分析】先化简函数f(x)=sin2x+π6，根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.【详解】因为fx=sin2x−π6−sin4x+cos4x=32sin2x−12cos2x−sin2x+cos2xsin2x−cos2x=32sin2x−12cos2x−sin2x−cos2x=32sin2x−12cos2x+cos2x=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，对A，令3π2<2x+π6<5π2，则2π30)，若fx的最小正周期为π．(1)求fx的解析式；(2)若函数gx=f2x−afx+a4在−π6,π4上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1−π4，求实数a的取值范围．【答案】(1)fx=sin2x+π3(2)①1,43；②5+15316,43【分析】（1）利用三角恒等变换化简fx，根据题意求解即可；（2）①根据（1），利用换元法，结合二次函数根的分布分情况讨论即可，②设t1，t2为方程t2−at+a4=0的两个不相等的实数根，由①可求得x1，x2的取值范围，根据2x1+x2>−π4，结合三角函数的性质和三角恒等变换求得t1，t2的关系，根据韦达定理求解t1，t2，代入t1，t2的关系式中，即可求得a的取值范围.【详解】（1）fx=3cos2ωx−sinωx+32πcosωx−π2−32=3cos2ωx+cosωxsinωx−32=31+cos2ωx2+12sin2ωx−32=32cos2ωx+12sin2ωx=sin2ωx+π3因为fx的最小正周期为π，所以2π2ω=π，即ω=1，所以fx=sin2x+π3；（2）①由（1）知gx=sin22x+π3−asin2x+π3+a4，由−π6≤x≤π4，可得0≤2x+π3≤5π6，令t=sin2x+π3，则gt=t2−at+a4，0≤t≤1，若函数gx=sin22x+π3−asin2x+π3+a4在−π6,π4有三个零点，即sin22x+π3−asin2x+π3+a4=0在−π6,π4有三个不相等的实数根，也就是关于t的方程t2−at+a4=0在区间0,12有一个实根，另一个实根在12,1上，或一个实根是1，另一个实根在12,1，当一个根在0,12，另一个实根在12,1，所以g0>0g12<0g1>0，即a4>014−12a+a4<01−a+a4>0，解得：1−π4得2x1>−π4−x2，所以2x1+π3>−π4−x2+π3=π12−x2，因为2x1+π3∈0,π6，π12−x2∈0,π6，所以sin2x1+π3>sinπ12−x2，所以sin22x1+π3>sin2π12−x2=1−cosπ6−2x22=1−sin2x2+π32，所以2t12>1−t2，又t1+t2=at1⋅t2=a4，且t11−a+a2−a2，整理得a−18a2−5a−4>0，因为a−1>0，所以8a2−5a−4>0，解得a<5−15316或a>5+15316，又11(2)s+t≤−2【分析】（1）用换元法转化成二次函数的值域问题求解.（2）把问题转化成−s−6≤yn≤−s+6，−2≤n≤2恒成立，再化为最值问题，讨论求解.【详解】（1）fx=2sin2x+22sinx+π4−t+t+2 =4sinxcosx+22sinx+cosx−t+t+2,设n=2sinx+cosx，则4sinxcosx=n2−2，−2≤n≤2.则yn=n2+2n−t+t.当t≤−1时，函数yn=n2+2n−t在−2,−1上递减，在−1,2上递增.此时Mt=y2=8−t，mt=y−1=−1−t，gt=Mt−mt=9;当−11时，函数yn在−2,1上递减，在1,2上递增.此时Mt=y−2=8+3t，mt=y1=3t−1，gt=Mt−mt =9.综上：gt=9,t≤−1−t2−2t+8,−11.（2）fx+s≤6恒成立可化为−s−6≤yn≤−s+6，−2≤n≤2恒成立.①当t>1时，Mt=y−2=8+3t，mt=y1=3t−1，所以−s−6≤3t−1且8+3t≤−s+6，解得：s+t≤−2t−2<−4；②当0n>0，不等式λ−(1m+12n)(m+2n)≤ℎ(t)≤2λ+m2+1mn+1m(m−n)对任意的t∈[0,5]恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)ℎt=2t+1,t<2−t2+6t−3,2≤t≤4−2t+13,t>4(2)1,5【分析】（1）利用向量数量积公式及三角恒等变换，换元后得到F(x)=wu=16u2−8tu+6t−3，因为u∈12,1，从而结合对称轴位置，分三种情况进行求解，得到ℎt；（2）先得到当t∈[0,5]时，ℎt∈1,6，从而得到λ−1m+12nm+2n≤12λ+m2+1mn+1m(m−n)≥6恒成立，利用基本不等式求出1m+12nm+2n与m2+1mn+1m(m−n)的最值，从而得到λ−4≤12λ+4≥6，求出λ的取值范围.【详解】（1）f(x)=p⋅q=2sinxcosx+5π6+2cosxsinx+5π6=2sin2x+5π6=2cos2x+π3=4cos2x+π6−2，又g(x)=4cosx+π6，故F(x)=16cos2x+π6−8−8tcosx+π6+6t+5=16cos2x+π6−8tcosx+π6+6t−3，当x∈−π3,π6时，x+π6∈−π6,π3，cosx+π6∈12,1，令u=cosx+π6∈12,1，则F(x)=wu=16u2−8tu+6t−3=16u−t42−t2+6t−3，因为u∈12,1，当t4<12，即t<2时，wu在u∈12,1上单调递增，故ℎt=wumin=w12=2t+1，当12≤t4≤1，即2≤t≤4时，wu在u∈12,t4上单调递减，在u∈t4,1上单调递增，故ℎt=wumin=wt4=−t2+6t−3，当t4>1，即t>4时，wu在u∈12,1上单调递减，故ℎt=wumin=w1=−2t+13，综上：ℎt=2t+1,t<2−t2+6t−3,2≤t≤4−2t+13,t>4；（2）当t∈0,2时，ℎt=2t+1单调递增，故ℎt=2t+1∈ℎ0,ℎ2=1,5，当t∈2,4时，ℎt=−t2+6t−3=−t−32+6在t∈2,3上单调递增，在t∈3,4上单调递减，又ℎ3=6,ℎ2=ℎ4=5，故ℎt∈5,6，当t∈4,5时，ℎt=−2t+13单调递减，故ℎt=−2t+13∈ℎ5,ℎ4=3,5，综上：当t∈[0,5]时，ℎt∈1,6，故只需λ−1m+12nm+2n≤12λ+m2+1mn+1m(m−n)≥6恒成立，因为m>n>0，其中1m+12nm+2n=1+1+m2n+2nm≥2+2m2n⋅2nm=4，当且仅当m2n=2nm，即m=2n时，等号成立，m2+1mn+1m(m−n)=m2−mn+mn+1mn+1m(m−n)=mm−n+1m(m−n)+mn+1mn≥2mm−n⋅1m(m−n)+2mn⋅1mn=4，当且仅当mn=1mn且mm−n=1m(m−n)时，等号成立，即m=2n时，等号成立，故只需λ−4≤12λ+4≥6，解得1≤λ≤5，故实数λ的取值范围是1,5.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.【变式19-3】（22-23高一下·上海·期末）已知向量a=cos3x2,sin3x2,b=cosx2,−sinx2，函数fx=a⋅b−ma+b+1，x∈−π3,π4,m∈R．(1)当m=0时，求fπ6的值；(2)若fx的最小值为﹣1，求实数m的值；(3)是否存在实数m，使函数gx=fx+2449m2，x∈−π3,π4有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)32(2)2(3)存在，726,74【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数fx即可．（2）求出函数fx的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由gx=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）a⋅b=cos3x2,sin3x2⋅cosx2,−sinx2=cos3x2cosx2−sin3x2sinx2=cos3x2+x2=cos2x，当m=0时，fx=a⋅b+1=cos2x+1，则fπ6=cos2×π6+1=cosπ3+1=32；（2）∵x∈−π3,π4，∴cosx>0，∴a+b=2+2cos2x=4cos2x=2cosx，则fx=cos2x−2mcosx+1=2cos2x−2mcosx，令t=cosx，则12≤t≤1，则y=2t2−2mt，对称轴t=m2，①当m2<12，即m<1时，当t=12时，函数取得最小值，此时最小值y=12−m=−1，得m=32（舍），②当12≤m2≤1，即1≤m≤2时，当t=m2时，函数取得最小值，此时最小值y=−m22=−1，得m=2或−2（舍去），③当m2>1，即m>2时，当t=1时，函数取得最小值，此时最小值y=2−2m=−1，得m=32（舍），综上：若fx的最小值为﹣1，则实数m=2．（3）令gx=2cos2x−2mcosx+2449m2=0，得cosx=3m7或4m7，∴方程cosx=3m7或4m7在x∈−π3,π4上有四个不同的实根，则22≤3m7<122≤4m7<13m7≠4m7，解得726≤m<73728≤m<74m≠0，则726≤m<74，即实数m的取值范围是726,74．【变式19-4】（22-23高一下·四川成都·阶段练习）已知O为坐标原点，对于函数fx=asinx+bcosx，称向量OM=a,b为函数fx的伴随向量，同时称函数fx为向量OM的伴随函数.(1)设函数gx=sinx+2π3+cosπ2−x，试求gx的伴随向量OM；(2)记向量ON=1,3的伴随函数为fx，求当fx=65且x∈−π3,π6时，sinx的值；(3)已知将（2）中的函数y=fx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，再把整个图象向右平移π3个单位长度得到ℎx的图象，若存在x∈0,π2，使4ℎx+1=2⋅a−ℎ2x成立，求a的取值范围.【答案】(1)OM=12,32(2)3−4310(3)a∈−12,172【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由函数fx的伴随向量的定义可求得结果，（2）由定义求出fx，由fx=65得sinx+π3=35，再由同角三角函数的关系可求得cosx+π3=45，然后由sinx=sinx+π3−π3化简可得答案，（3）先利用三角函数图象变换规律求出ℎx，由x∈0,π2可求得ℎx∈−3,2，令t=ℎ(x)，则4ℎx+1=2⋅a−ℎ2x可化为4t+1=2⋅a−t2，然后利用二次函数的性质讨论可求得结果.【详解】（1）gx=sinx+2π3+cosπ2−x=−12sinx+32cosx+sinx=12sinx+32cosx，所以OM=12,32.（2）依题意fx=sinx+3cosx=2sinx+π3，由fx=65得2sinx+π3=65,sinx+π3=35，x∈−π3,π6,x+π3∈0,π2，所以cosx+π3=45，所以sinx=sinx+π3−π3=12sinx+π3−32cosx+π3=3−4310.（3）将fx=2sinx+π3图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得y=2sin2x+π3，再把整个图象向右平移π3个单位长度，得y=2sin2x−π3+π3=2sin2x−π3，所以ℎx=2sin2x−π3，若x∈0,π2，则2x−π3∈−π3,2π3，所以ℎx=2sin2x−π3∈−3,2令t=ℎ(x)∈−3,2，则4ℎx+1=2⋅a−ℎ2x可化为4t+1=2⋅a−t2，即a=t2+2t+12，因为函数y=t2+2t+12是开口向上，对称轴为t=−1的二次函数，所以t∈−3,−1时，函数y=t2+2t+12单调递减；t∈−1,2时，函数y=t2+2t+12单调递增，所以ymin=(−1)2−2+12=−12，又当t=−3时，y=72−23；当t=2时，y=172，所以y=t2+2t+12∈−12,172；因为存在x∈0,π2，使4ℎx+1=2⋅a−ℎ2x成立，所以存在t∈−3,−1使a=t2+2t+12成立，因此只需a∈−12,172.  -【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的综合问题，考查三角函数图象变换规律，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是对三角函数恒等变换公式的正确应用，考查计算能力和转化能力，属于较难题.